中国指挥与控制学会会刊 
近年来,由于通信隐蔽、作用距离远等特点的海上通信手段受到了广泛的关注,相关技术已趋于成熟,并逐渐开始投入使用。与此同时,海上通信手段的组织运用技术也在快速发展,其中通信中继平台(以下简称中继平台)的阵位配置优化已逐渐成为研究热点[1-2],具有广阔的应用前景。通过对中继平台的阵位进行配置优化,来确保通信保障的最大化效能。目前,中继平台的阵位配置优化技术已有一定基础,从近几年该领域的研究情况看,阵位部署模型研究主要关注于中继平台覆盖能力的静态部署[3]以及多中继平台的协同部署[4-5],但阵位配置建模要素未考虑存在目标威胁的情况,并且模型缺乏分析导致最优解可解释性较差[6],求解方法主要以现代智能算法为主[7-8],如遗传算法、粒子群优化算法等,这些算法计算量较大[9],若约束条件复杂[10-11],使用迭代法或启发法求解将耗费大量的计算代价,甚至难以求解。因此,本文面向单中继平台保障两个海上任务平台的使用场景,在考虑存在目标威胁的情况下,建立中继平台阵位配置模型,利用优化方法给出任务平台和威胁目标不同位置分布下的解析解,实现动态的中继阵位优化,满足任务平台遂行阵位伏击任务时的通信需要。
1 海上通信中继平台阵位配置模型构建
本文的阵位配置优化模型是指在单个通信中继平台航路起点已定情况下,基于航路起点到中继阵位点距离最短原则,计算中继平台在目标威胁半径外的最优阵位点,在航路代价最小的情况下达到同时保障多个任务平台的效能,实现中继平台阵位点的优化配置,如图1 所示。
设任务平台i的任务点坐标为(mi,ni),任务平台i对应的最大通信距离为ri,威胁目标的坐标为(p,q),到威胁目标的安全半径为rt,假设任务平台之间坐标位置不重合,任务平台和威胁目标之间的坐标位置不重合,中继平台的航路起点坐标为(u,v),中继平台的最优阵位点坐标为(x,y),根据中继平台的航路起点到阵位点路径最小原则建立阵位配置优化模型为
min r(x,y)=(x-u)2+(y-v)2
s.t.
该模型为典型的带约束优化问题,由于最后一个约束条件的存在,该问题是一个非凸问题,因此使用传统优化迭代算法进行求解具有一定的困难。
在常见的使用模式中,中继平台一般只需保障2个任务平台的通信,因此相应的阵位配置优化模型可简化为
P:min r(x,y)=(x-u)2+(y-v)2
s.t.
以上问题P包括三个约束条件,分别为阵位点可同时保证对任务平台1和2的通信,并在安全范围之内。
2 海上通信中继平台阵位配置模型求解
对通信中继平台保障2个任务平台情况下的阵位配置最优解进行分析,以获取最优解的解析形式,避免迭代法难以求解非凸优化的困难。问题P的求解需要引入拉格朗日函数L(x,y,λ1,λ2,λ3),即
$\begin{array}{c} L\left(x, y, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right)= \\ r(x, y)+\lambda_{1}\left(\left(x-m_{1}\right)^{2}+\right. \\ \left.\left(y-n_{1}\right)^{2}-r_{1}^{2}\right)+\lambda_{2}\left(\left(x-m_{2}\right)^{2}+\right. \\ \left.\left(y-n_{2}\right)^{2}-r_{2}^{2}\right)+ \\ \lambda_{3}\left(r_{t}^{2}-\left((x-p)^{2}+(y-q)^{2}\right)\right) \end{array}$
根据凸优化理论中的最优性条件即可求出问题P的解,问题P最优性条件为:
$\begin{array}{c} \frac{\partial L}{\partial x}=(x-u)+\lambda_{1}\left(x-m_{1}\right)+ \\ \lambda_{2}\left(x-m_{2}\right)-\lambda_{3}(x-p)=0 \\ \frac{\partial L}{\partial y}=(y-v)+\lambda_{1}\left(y-n_{1}\right)+ \\ \lambda_{2}\left(y-n_{2}\right)-\lambda_{3}(y-q)=0 \end{array}$
$\begin{array}{c} \lambda_{1}\left(\left(x-m_{1}\right)^{2}+\left(y-n_{1}\right)^{2}-r_{1}^{2}\right)=0, \\ \lambda_{1} \geqslant 0 \\ \lambda_{2}\left(\left(x-m_{2}\right)^{2}+\left(y-n_{2}\right)^{2}-r_{2}^{2}\right)=0, \\ \lambda_{2} \geqslant 0 \\ \lambda_{3}\left(r_{t}^{2}-(x-p)^{2}+(y-q)^{2}\right)=0, \\ \lambda_{3} \geqslant 0 \end{array}$
$\begin{array}{l} \left(x-m_{1}\right)^{2}+\left(y-n_{1}\right)^{2} \leqslant r_{1}^{2} \\ \left(x-m_{2}\right)^{2}+\left(y-n_{2}\right)^{2} \leqslant r_{2}^{2} \\ (x-p)^{2}+(y-q)^{2} \geqslant r_{t}^{2} \end{array}$
根据最优性条件,按照3个约束条件是否起作用分为8种情况进行分析:
1)假设任务平台参数、威胁目标参数和中继平台航路起点关系满足:
$\begin{array}{c} \left(u-m_{1}\right)^{2}+\left(v-n_{1}\right)^{2}<r_{1}^{2} \\ \left(u-m_{2}\right)^{2}+\left(v-n_{2}\right)^{2}<r_{2}^{2} \\ (u-p)^{2}+(v-q)^{2}>r_{t}^{2} \end{array}$
则最优性条件中的三个约束条件都不起作用,对应的λ1=0,λ2=0,λ3=0,最优性条件为:
x-u=0
y-v=0
(x-m1)2+(y-n1)2<
(x-m2)2+(y-n2)2<
(x-p)2+(y-q)2>r2t
联立(1)、(2)解得x=u和y=v,若还满足(3)、(4)和(5),则求得问题解。
2)假设任务平台参数、威胁目标参数和中继平台航路起点关系满足:
$\begin{array}{c} \left(u-m_{1}\right)^{2}+\left(v-n_{1}\right)^{2}<r_{1}^{2} \\ \left(u-m_{2}\right)^{2}+\left(v-n_{2}\right)^{2}<r_{2}^{2} \\ (u-p)^{2}+(v-q)^{2}<r_{t}^{2} \end{array}$
则最优性条件中的第一个和第二个约束条件不起作用,对应的λ1=0,λ2=0,λ3>0,最优性条件为:
(x-u)+λ3(p-x)=0
(y-v)+λ3(q-y)=0
(x-p)2+(y-q)2=
(x-m1)2+(y-n1)2<
(x-m2)2+(y-n2)2<
联立(6)、(7)和(8)求解得
λ3=1±
x=
y=
若λ3>0,且满足(9)和(10),则求得问题解。
3)假设任务平台参数、威胁目标参数和中继平台航路起点关系满足:
$\begin{array}{l} \left(u-m_{1}\right)^{2}+\left(v-n_{1}\right)^{2}>r_{1}^{2} \\ \quad\left(u-m_{2}\right)^{2}+\left(v-n_{2}\right)^{2}< \\ \quad\left(u-m_{1}\right)^{2}+\left(v-n_{1}\right)^{2} \\ \quad(u-p)^{2}+(v-q)^{2}>r_{t}^{2} \end{array}$
则最优性条件中的第二个和第三个约束条件不起作用,对应的λ1>0,λ2=0,λ3=0,最优性条件为:
(x-u)+λ1(x-m1)=0
(y-v)+λ1(y-n1)=0
(x-m1)2+(y-n1)2=
(x-m2)2+(y-n2)2<
(x-p)2+(y-q)2>
联立(11)、(12)和(13)求解得
λ1= -1
x=
y=
若λ1>0,且满足(14)和(15),则求得问题解。
4)假设任务平台参数、威胁目标参数和中继平台航路起点关系满足:
$\begin{array}{l} \left(u-m_{2}\right)^{2}+\left(v-n_{2}\right)^{2}< \\ \quad\left(u-m_{1}\right)^{2}+\left(v-n_{1}\right)^{2} \\ (u-p)^{2}+(v-q)^{2}<r_{t}^{2} \end{array}$
则最优性条件中的第二个约束条件不起作用,对应的λ1>0,λ2=0,λ3>0,最优性条件为:
(x-u)+λ1(x-m1)-λ3(x-p)=0
(y-v)+λ1(y-n1)-λ3(y-q)=0
(x-m1)2+(y-n1)2- =0
(x-p)2+(y-q)2- =0
(x-m2)2+(y-n2)2≤
联立后两式(18)和(19)可得四组解。
当n1=q时,解为:
和
当n1≠q时,解为:
这里要求b2-4ac≥0,其中
a=4(m1-p)2+4(n1-q)2
b=4(p-m1)Δ-8p(n1-q)2
c=Δ2-4(n1-q)2 +4(n1-q)2p2
Δ= -p2-( - )+(n1-q2)2
联立式(16)和(17)可得
λ1=-
λ3=-
将求得的四组解带入λ1和λ3,满足λ1>0和λ3>0,且满足(20),则求得问题解。
5)假设任务平台参数、威胁目标参数和中继平台航路起点关系满足:
$\begin{array}{c} \left(u-m_{1}\right)^{2}+\left(v-n_{1}\right)^{2}< \\ \quad\left(u-m_{2}\right)^{2}+\left(v-n_{2}\right)^{2} \\ \left(u-m_{2}\right)^{2}+\left(v-n_{2}\right)^{2}>r_{2}^{2} \\ (u-p)^{2}+(v-q)^{2}>r_{t}^{2} \end{array}$
则最优性条件中的第一个和第三个约束条件不起作用,对应的λ1=0,λ2>0,λ3=0,最优性条件为:
(x-u)+λ2(x-m2)=0
(y-v)+λ2(y-n2)=0
(x-m2)2+(y-n2)2=
(x-m1)2+(y-n1)2<
(x-p)2+(y-q)2>
联立(21)、(22)和(23)求解得
λ2= -1
x=
y=
若λ2>0,且满足(24)和(25),则求得问题解。
6)假设任务平台参数、威胁目标参数和中继平台航路起点关系满足:
$\begin{array}{l} \left(u-m_{1}\right)^{2}+\left(v-n_{1}\right)^{2}< \\ \quad\left(u-m_{2}\right)^{2}+\left(v-n_{2}\right)^{2} \\ (u-p)^{2}+(v-q)^{2}<r_{t}^{2} \end{array}$
则最优性条件中的第一个约束条件不起作用,对应的λ1=0,λ2>0,λ3>0,对应的最优性条件为:
(x-u)+λ2(x-m2)-λ3(x-p)=0
(y-v)+λ2(y-n2)-λ3(y-q)=0
(x-m2)2+(y-n2)2- =0
(x-p)2+(y-q)2- =0
(x-m1)2+(y-n1)2<
联立式(28)和(29)可得的四组解。
当n2=q时,解为:
和
当n2≠q时,解为:
和
这里要求b2-4ac≥0,其中
a=4(m2-p)2+4(n2-q)2
b=4(p-m2)Δ-8p(n2-q)2
c=Δ2-4(n2-q)2 +4(n2-q)2p2
Δ= -p2-( - )+(n2-q2)2
联立式(26)和(27)可得
λ2=-
λ3=-
将求得的四组解带入λ2和λ3,满足λ2>0和λ3>0,且满足式(30),则求得问题解。
7)假设任务平台参数、威胁目标参数和中继平台航路起点关系满足:
(u-m1)2+(v-n1)2>
(u-m2)2+(v-n2)2>
(u-m1)2+(v-n1)2=(u-m2)2+(v-n2)2
(u-p)2+(v-q)2>
则最优性条件中的只有第三个约束条件不起作用,对应的λ1>0,λ2>0,λ3=0,对应的最优性条件变为
$ (x-u)+λ1(x-m1)+λ2(x-m2)=0$
$ (y-v)+λ1(y-n1)+λ2(y-n2)=0$
(x-m1)2+(y-n1)2- =0
(x-m2)2+(y-n2)2- =0
(x-p)2+(y-q)2>
联立式(33)和(34)可得两组解。
当n1=n2时,解为:
当n1≠n2时,解为
这里要求b2-4ac≥0,其中
a=4(m1-m2)2+4(n1-n2)2
b=4(m2-m1)Δ-8m2(n1-n2)2
c=Δ2-4(n1-n2)2 +4(n1-n2)2
Δ= - -( - )+(n1-n2)2
联立式(31)和(32)可得
λ1=-
λ2=-
将求得的四组解带入λ1和λ2,满足λ1>0和λ2>0,且满足式(35),则求得问题解。
8)假设任务平台参数、威胁目标参数和中继平台航路起点关系满足:
(u-m1)2+(v-n1)2=
(u-m2)2+(v-n2)2=
(u-p)2+(v-q)2=
则最优性条件中的三个约束条件都起作用,对应的λ1>0,λ2>0,λ3>0,最优性条件为:
(x-u)+λ1(x-m1)+λ2(x-m2)-λ3(x-p)=0
(y-v)+λ1(y-n1)+λ2(y-n2)-λ3(y-q)=0
(x-m1)2+(y-n1)2- =0
(x-m2)2+(y-n2)2- =0
(x-p)2+(y-q)2- =0
联立式(38)和(39)得到四组解,且与情况7)的解一致,对四组解进行检验,满足式(40)的解为问题的解。
由于中继平台阵位配置问题的解只要满足1)~8)中的一种即为KKT点,可以根据任务平台参数、威胁目标参数和中继平台航路起点关系的8种情况进行求解,获得中继平台阵位配置点。
3 阵位配置模型算例分析
假设任务平台1的任务点坐标为(-50,0),任务平台1的通信距离约束为100,任务平台2的任务点坐标为(0,50),任务平台2的通信距离约束为100,威胁目标的坐标为(0,150),威胁半径为100,由于情况4)、6)、8)和情况7)的求解类似,因此只给出情况1)、2)、3)、5)和7)5种场景的模型求解分析。
1)水面通信中继平台航路起点坐标为(0,0),场景如图2 所示。
按情况1)计算后有(x,y)=(0,0),并且(x,y)满足(3)、(4)和(5),因此(0,0)为问题解。
2)水面通信中继平台航路起点坐标为(0,75),场景如图3 所示。
按情况2)计算后有λ3=0.25>0,(x,y)=(0,50),并且(x,y)满足(9)和(10),因此(0,50)为问题解。
3)水面通信中继平台航路起点坐标为(150,0),场景如图4 所示。
按情况3)计算后有λ1=1>0,(x,y)=(50,0),并且(x,y)满足(14)和(15),因此(50,0)为问题解。
4)水面通信中继平台航路起点坐标为(-150,0),场景如图5 所示。
按情况5)计算后有λ2=1>0,(x,y)=(-50,0),并且(x,y)满足(24)和(25),因此(-50,0)为问题解。
5)水面通信中继平台航路起点坐标为(0,-50),场景如图6 所示。
按情况7)计算后解为(0,25 ),(0,-25 ),第一个解不满足λ1>0,λ2>0,第二个解对应的λ1>0,λ2>0,并且对应的(x,y)满足(35),因此(0,-25 )为问题解。
4 结束语
海上通信手段具有通信隐蔽、作用距离远等特点已成为保障任务平台的重要力量,在特定约束条件下,如何使用通信中继平台,实现部署阵位的优化配置,是实现高效通信保障亟须解决的问题。本文针对单个通信中继平台保障两个海上任务平台的使用背景,考虑了通信距离、威胁目标的约束条件,基于中继平台起点到阵位部署点距离最短原则提出了中继平台阵位配置模型,给出了解析解,求解速度比传统的迭代式或启发式方法求要快。下一步作者将继续针对存在海上限制区域的保障情况,考虑中继平台航程、海洋环境、地球曲率因素,展开深入研究,提出其他使用场景下中继平台阵位配置的优化目标形式。