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指挥控制与仿真

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2025 , Vol. 47 >Issue 1: 84 - 92

DOI: https://doi.org/10.3969/j.issn.1673-3819.2025.01.011

指挥与控制

应召反潜区域封锁声呐浮标布放规划*

  • 许文琛 ,
  • 罗煦琼 ,
  • 乔士东
展开
  • 长沙理工大学数学与统计学院, 湖南 长沙 410114
†罗煦琼(1984—),男,博士,副教授。

许文琛(1996—),男,硕士研究生,研究方向为运筹与优化。

Office editor: 李楠

收稿日期: 2024-05-20

  修回日期: 2024-06-04

  网络出版日期: 2025-01-20

基金资助

*湖南省教育厅优秀青年项目(21B0313)

湖南教育厅重点项目(23A0266)

收起

Project on deployment of active sonobuoys for anti-submarine area blockade

  • XU Wenchen ,
  • LUO Xuqiong ,
  • QIAO Shidong
Expand
  • School of Mathematics and Statistics, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114,China

Received date: 2024-05-20

  Revised date: 2024-06-04

  Online published: 2025-01-20

Fold

摘要

针对投放式单基地声呐与双基地声呐浮标在应召反潜任务中,对目标潜艇潜在区域进行封锁时所需声呐数最少的布阵方案进行研究。在理想海况下,当单基地声呐探测区域与目标区域的交点连线为探测区域的直径时,所需声呐数量最少。由此提出了一种双基地最优布阵方案,在等效半径相同时,该方案与单基地声呐最优布阵所需声呐数量差距仅在-1到1个之间。最后通过实验模拟验证了布阵方案的有效性,计算了封锁不同半径区域所需的声呐数量,对应召反潜区域封锁布阵与兵力装备需求评估具有指导价值。

关键词： 区域封锁; 主动声呐浮标; 多基地声呐; 阵型优化

本文引用格式

许文琛 , 罗煦琼 , 乔士东 . 应召反潜区域封锁声呐浮标布放规划*[J]. 指挥控制与仿真, 2025 , 47(1) : 84 -92 . DOI: 10.3969/j.issn.1673-3819.2025.01.011

Abstract

This paper mainly studies the deployment scheme of the single base sonar and bistatic sonobuoys with the least number of sonars when blocking the potential area of the target submarine. Under ideal sea conditions, the minimum amount of sonar is required when the intersection line between the detection area and the target area is the diameter of the detection area. Therefore, a bistatic optimal array scheme is proposed in this paper. In the same equivalent radius, the difference between the number of sonars required by this scheme and the optimal array of single-base sonar is only -1 to 1. Finally, this paper verifies the effectiveness of the deployment scheme through experimental simulation, and calculates the number of sonar required for each scheme, which has guiding value for the anti-submarine area blockade.

Key words： area blockade; active sonobuoys; multi-base sonar; formation optimization

在应召搜索中,通过封锁目标潜在区域从而限制目标的活动空间,是一种常用的反潜手段[1]。在封锁区域时,通常采用投放式声呐浮标构造反潜探测栅栏,从而保证在作战地点长时间维持对目标的检测。目前的反潜声呐浮标可根据搭载性能分为单基地声呐与多基地声呐,多基地声呐较单基地声呐具有更强的战术隐秘性与更低的造价成本,但由于系统复杂设计双基地声呐的布阵方案更为困难[2]。
在应召反潜任务中能够前往目标区域的反潜力量往往是有限的,因此,计算封锁目标区域所需声呐数量并采取最优的声呐布阵方案对反潜作战有着重要意义[3-5]。尽管目前已有部分文献就如何利用单、双基地反潜声呐或雷达构造探测区域或栅栏覆盖展开研究,但应召反潜栅栏覆盖声呐布放方案通常将可布置点位固定在特定的点或线上,这限制了对声呐浮标最优布置点的探索[6-11]。
本文通过几何方法与最优化方法,探讨在二维情形下单基地声呐与双基地声呐浮标封锁不同大小的目标潜在区域的最优布阵方法及其所需的最少声呐个数。

1 应召搜索任务建模

1.1 搜索区域模型

设在t0时刻我方在位置点(x0,y0)跟丢敌方潜艇,且敌方潜艇此时的航向未知,即航向在[0,2π]内均匀分布。vmax为敌方潜艇估计的最大航行速度,t1为声呐浮标阵完成并开始运行的时刻,则此次反潜任务中目标潜艇潜在区域为
( x - x 0 ) 2+ ( y - y 0 ) 2≤vmax t 1-t0)
根据式(1),当反潜延误时长(t1-t0)不断增加,目标潜在圆域半径将不断增加,需要投入的反潜力量也将更多。

1.2 区域封锁模型

在现实中,对一片海域完全封锁意味着在这片海域中的潜艇无法在不被声呐阵侦测到的情况下突破声呐浮标探测阵。由此我们可以得出关于“封锁”的数学定义如下:
定义1:设在R2上,F为的有界闭域,A1,A2,…,An为一组有界闭域。设∀a∈F,∀b∈R2( b 2=+∞)。若线段ab满足ab∩(A1∪A2∪…∪An)≠Ø,则我们称F被A1,A2,…,An封锁。
根据定义1,我们可以进一步得到定理1。
定理1:设F为R2上的有界闭凸集,∀A∈R2,只要F的边界∂F满足∂F⊆A,则F被A封锁。
证明:反证法。假设∃A∈R2,尽管满足∂F⊆A,但是A未能封锁F。由于F为R2上的凸集,其只能存在三种情况:(1)为一个单点集;(2)为一条直线;(3)为一个凸面。情况(1)、(2)时,由于∀a∈F,有a∈∂F,则A∩F=F,A必定封锁了F。情况(3)时,∀a∈F,∀b∈R2,且 b 2=+∞,则必定满足线段ab∩∂F≠ϕ,又因为∂F⊆A,ab∩A≠ϕ,所以A必定封锁了F。由此可证明与假设矛盾,因此∀A∈R2,只要满足∂F⊆A,F都必定被A封锁。
本文所讨论的应召搜索区域均为圆域(有界闭凸集)。根据定理1,我们可以将封锁应召搜索区域的目标等价为:如何利用最少的声呐浮标构造出能完全覆盖应召搜索区域边界的探测区域。

2 二维声呐浮标探测建模

2.1 主动声呐浮标探测原理

主动声呐是指具有主动发声能力的声呐探测系统,其通过被动接收器接收主动声源的回波信号从而来探测水下目标的位置信息。声源发出的声音会随着在水下传播的距离而不断衰减,只有当返回的声信号大于设备的检测阈值DT时,声呐才能够检测到目标。以噪音为主要背景干扰的主动声呐方程为[12]
SL-TLs-TLt+TS-(NL-DI)=DT
式中,SL为声源水平,TLs和TLt分别是从源到目标和目标到接收器的传输损耗值,TS为目标强度,NL为环境噪声水平,DI为接收指向性指数。
假设海洋环境是均匀的并且信号以球形方式传播,则场中的两点之间的传输损耗与两点之间的距离呈对数关系。设海况等其他影响声波传导的相关系数为常数m>0,则式(2)可写为
SL-mlog(rs)-mlog(rt)+TS-(NL-DI)=DT
其中,rs和rt分别表示从声源到目标和目标到接收器的距离。
本文将采取二元检测模型进行研究:假设声呐的有效探测距离为rd,则其探测范围在平面上呈现为半径为rd的圆域。令潜艇与声呐的等效距离r≤rd时,探测成功率为1;否则探测成功率为0。记对潜艇探测成功率为Pd(r),其中rd为声呐浮标在该区域的探测半径,有
Pd(r)= 1 , r ≤ r d 0 , r r d

2.2 单基地声呐浮标探测模型与最优布阵方案

单基地声呐浮标是最为常见的一种水下探测声呐浮标,其特征为同时搭载了主动声源和被动接收器。由于单基地声呐的主动声源与被动接收器处于同一点位,即满足rs=rt。如图1,若记单基地声呐与目标潜艇距离r=rs=rt,则由公式(3)可得单基地声呐的声呐方程为
SL-2mlog(r)+TS-(NL-DI)=DT
图1 单基地声呐基本原理图

Fig.1 Single base sonar basic schematic

在二元检测模型下,若只考虑二维平面上完成封锁,则可通过让每个声呐尽可能长地去覆盖大圆弧段,使得投放的声呐总数n最少。
如图2,当两圆交点(x1,y1)、(x2,y2)满足 ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2=2rd时,声呐可覆盖边界最大,记覆盖弧段 L ^对应的圆心角为θ,则有
θ=2arcsin( r d R)
Ai覆盖F的弧长为
d L ^=R·2arcsin( r d R)
此时声呐与F圆心o的距离 F o为
F o= R 2 - r d 2
由此可得封锁F所需单基地声呐浮标最少的布放方案:设圆域F的半径为R,F的圆心o=(0,0),且此次任务中所有的单基地声呐在该海域附近探测半径均为rd,则封锁F的声呐浮标的极坐标为
r i = R 2 - r d 2 θ i = 2 i · a r c s i n ( r d R ),i=0,1,2,…, π a r c s i n ( r d R )-1
由公式(9)可得,最终封锁区域F最少需要的单基地声呐浮标数为
n= π a r c s i n ( r d R )
图2 单基地声呐浮标与目标潜在区域相对位置

Fig.2 Position of the single base sonobuoy relative to target potential area

2.3 双基地声呐浮标探测模型与最优布阵方案

2.3.1 双基地声呐浮标探测模型

双基地声呐浮标也被称为多基地声呐浮标,其特点在于发射声信号的主动声呐浮标与接收声信号的被动声呐浮标采用分离放置,具有更强的战术隐秘性,价格成本也更为低廉,这些优点使得近年来双基地声呐的研究与运用越发受到重视。
双基地声呐浮标对构成的探测区域会随着声源与接收器的距离改变而变化。记rs为声源浮标与潜艇的距离,rt为接收器浮标与潜艇的距离,当海洋环境基本确定,且声源强度、接收器、目标强度也确定不变时,由公式(3)可以推出存在一个固定的值rb,我们称之为等效半径。只有当rs·rt≤ r b 2时,目标才能满足被检测条件。由此可得该组浮标探测到潜艇需满足条件[12]:
rs·rt≤ r b 2
根据式(11),成功探测需要潜艇与两个声呐的距离乘积小于某个特定常数,由此我们可得双基地声呐的探测范围为以两个声呐为焦点的卡西尼卵形线的内部区域:
((x-a)2+y2)((x+a)2+y2)≤ r b 4
其中,2a为声源与接收器的距离,称为基线长度(如图3)。
图3 双基地声呐基本原理图

Fig.3 Basic schematic diagram of bistatic sonar

图4为不同基线长度下的双基地探测范围情况,阴影部分为有效探测区域。
图4 不同声呐间距下的双基地声呐探测范围

Fig.4 Bistatic sonar detection range with different sonar spacing

(1)a=0时,双基地声呐退化成单基地声呐,如图4(a)所示,此时探测范围为一个圆;
(2)0<a≤ 2 2rb时,圆随着a增大而逐渐扁平化,如图4(b)所示,并在a= 2 2rb时卵形线中部完全变平,如图4(c)所示;
(3) 2 2rb<a≤rb时,卵形线逐渐向内凹陷,如图4(d)所示,并在a=rb时形成伯努利双纽线,如图4(e)所示;
(4)a>rb时,卵形线分为两个独立的小区域,如图4(f)所示。

2.3.2 双基地声呐浮标封锁阵布阵方案

在图4中,若我们称卵形线内部区域所覆盖的x轴为卵形线中线,记中线长度为c。通过计算可得卡西尼卵形线的中线长度c为
c= 2 r 2 + a 2 , a r b 2 ( r 2 + a 2 - a 2 - r 2 ) , a ≥ r b
当a>rb时,根据公式(13)与图5,卵形线中线的长度c会随着rb的增大而迅速衰减。这意味着采取这样的间距布阵会导致声呐阵距的鲁棒性较差,且需要投放声呐的数量更多。考虑到声呐浮标布阵方案较为重要的一个目标便是尽可能减少声呐的投放数量,因此后续讨论仅考虑a≤rb的情况。
图5 双基地声呐间距a>rb时,卵形线中线长度的衰减情况

Fig.5 When the distance between bistatic sonar is a>rb, the attenuation of the middle line length of the oval line

当a≤rb时,双基地声呐的探测区域为一个单连通闭域,因此依然可以考虑让一个探测区域尽可能广地覆盖潜在区域F的边界,从而减少整体布阵消耗的声呐数量。由此,建立独对双基地声呐覆盖最优化模型:
max ( x 1 - x 2 ) 2+ ( y 1 - y 2 ) 2
s.t. x 1 2 + ( y 1 + L ) 2 = R 2 x 2 2 + ( y 2 + L ) 2 = R 2 ( ( x 1 - a ) 2 + y 1 2 ) ( ( x 1 + a ) 2 + y 1 2 ) = r 4 ( ( x 2 - a ) 2 + y 2 2 ) ( ( x 2 + a ) 2 + y 2 2 ) = r 4 R - L ≤ r 2 - a 2
最优化模型(14)中的(x1,y1)、(x2,y2)为双基地声呐探测区域与潜艇潜在区域的两个对称的交点。(0,-L)为潜在区域的圆心o的坐标,潜在区域半径为R;2a为基线长度,r为该双基地声呐浮标对的等效探测半径。当双基地声呐选择轴对称布放时,只有极点(0, r 2 - a 2)距圆心o距离大于R,才能确保该卵形线区域能覆盖完整的一段圆弧,因此有约束条件R-L≤ r 2 - a 2。
如图6,通过令双基地声呐探测区域与目标潜在区域的两个交点(x1,y1)、(x2,y2)之间的距离尽可能长,使得双基地声呐覆盖的弧段也尽可能长。令发声器、接收器关于y轴对称,确保每个声呐与圆心o的距离始终相等,降低了整体的布阵难度。由于我们采取的布放方案中声呐点位关于圆F直径对称,可通过简化模型(14),并减少计算迭代次数,得到新模型:
max x s.t x 2 + ( y + L ) 2 = R 2 ( ( x - a ) 2 + y 2 ) ( ( x + a ) 2 + y 2 ) = r 4 R - L ≤ r 2 - a 2
模型(14)和模型(15)是两个等价的连续非凸优化问题,并且模型(15)中的目标函数简化为一维线性函数,证明两模型均存在全局最优解。
图6 双基地声呐浮标与目标潜在区域相对位置

Fig.6 Position of the bistatic sonobuoy relative to the target potential area

图7三幅图分别为归一化半径下最优双基地布置点位的x、a和L关于R的函数图像。可看到:x、a、L均随R增加而单调递增,不同在于x与a均存在极限,而L与R线性相关。随着 R r的增大,目标潜在海域的圆曲率不断减小,其弧段相对于声呐探测区域近似于直线,即在最优布阵中Ai与F交点的连线无限逼近于卵形线的中线。当a=r时,卵形线中线最长,因此有 l i m R → ∞ a=r, l i m R → ∞ x= 2 r 2= 2r。
图7 双基地声呐最优布置方案数据与$\frac{R}{r}$的函数关系

Fig.7 The function relation between $\frac{R}{r}$ and data of the optimal layout scheme of bistatic sonar

本文所提出的布阵方案声源与接收器关于目标区域F对称,声源与接收器距F的圆心距离满足rs=rt= ( a 2 + L 2 )。由此可以计算得出不同半径R下的目标潜在区域双基地声呐最优封锁布阵方案:
算法:双基地最优布阵方案
输入:目标区域半径R,双基地声呐等效半径r
输出:声呐最优间距2a,截线长度2x,圆心o与声呐连线距离L,第i个声呐si布置点位(ri,θi)
布阵步骤:1)利用求解连续非凸优化问题的算法求得归一化半径 R r对应的声呐最优间距2a,截线长度2x,圆心o与声呐连线距离L
2) s i s i + 1=2a;
∠siosi+1=2arctan( a L);
n= π a r c t a n ( a L );
ri= ( a 2 + L 2 ),i=0,1,…,n-1;
for i = 0:n-1
(ri,θi) = ( ( a 2 + L 2 ),2i. arctan( a L));
if i == 0
投放发声声呐;
else
投放接收声呐;
i=i+1;
end
根据最后一段圆弧的覆盖情况可求封锁区域所需总声呐数:
N= π a r c t a n ( a L ) , 2 π a r c t a n ( a L ) π a r c t a n ( a L ) , 2 | / π a r c t a n ( a L ) 且 A r c ︿ N ⊂ ( C N - 1 , N ⋃ C 1,2 ) π a r c t a n ( a L ) + 1,2 | / π a r c t a n ( a L ) 且 A r c ︿ N ⊄ ( C N - 1 , N ⋃ C 1,2 )
(1)当 π a r c t a n ( a L )为偶数时,即声源浮标数Ns与接收器浮标数Nt相等,Ns=Nt,此时首尾两个异构声呐间距小于2a,因而形成的探测区域必定能够封锁F的最后一段圆弧;
(2)当 π a r c t a n ( a L )为奇数时,出现一处“声源-声源”或“接收器-接收器”相邻的情况,分为两种情况讨论:①若第一个声呐探测范围(记为C1,2)与最后一个声呐探测范围(记为CN-1,N),能够覆盖最后一段圆弧(记为 A r c ︿ N)时,即 A r c ︿ N⊆(C1,2∪CN-1,N),则无须额外增加声呐便能达成对潜在区域的封锁;②若 A r c ︿ N⊈(C1,2∪CN-1,N),则形成封锁需要在两者之间额外添加一个接收器或声源,使得Ns=Nt,额外的声呐同样放置在 F R 1上两个同类型声呐之间,均可覆盖此段圆弧。

3 实验模拟

为验证本文布阵方案的有效性,本文使用Matlab编程对第2大节中的布阵方案和策略进行模拟并计算在理想海况下,封锁不同半径的目标潜在区域F所需的声呐数量n的变化情况。
为体现本文布阵方案的优点,本文将使用三种不同布阵方案并进行对比:
(1)单基地最优布阵:采用本文2.2节的布阵方案,方案中的单基地声呐半径均为r。
(2)双基地外切布阵:双基地声呐等效探测半径为r,令a=r,以双基地的中线构成一个多边形包围区域F。此方案所需的声呐数量为
N= π a r c t a n ( r R ) , 2 π a r c t a n ( r R ) π a r c t a n ( r R ) , 2 | / π a r c t a n ( r R ) 且 A r c ︿ N ⊂ ( C N - 1 , N ⋃ C 1,2 ) π a r c t a n ( r R ) + 1,2 | / π a r c t a n ( r R ) 且 A r c ︿ N ⊄ ( C N - 1 , N ⋃ C 1,2 )
(3)双基地最优布阵:采用本文2.3节的布阵方法,方案中的双基地声呐等效探测半径为r。
设目标潜在区域F为半径R的圆,单基地声呐探测半径和双基地声呐等效探测半径r=1,分别模拟上述三种布阵方案在R=2,R=5时的封锁布阵。图8中红线为目标潜在区域边界,蓝线为布阵圆,黑线为探测区域边界。
图8 不同$\frac{R}{r}$下的封锁布阵方案

Fig.8 Blockade array scheme under different $\frac{R}{r}$

由图9和表1可以看到,本文提到的三种封锁布阵方案所需的声呐数量N均与 R r成正比,且增长速度贴近线性。
图9 封锁布阵所需声呐数n比对

Fig.9 Comparison of sonar numbers n needed to blockade the array

表1 各布阵方案所需的声呐个数比对

Tab.1 Comparison of the required number of sonar for each array scheme

声呐个数
区域大小		 R r=2 R r=3 R r=4 R r=5 R r=6
单基地最优 6 10 13 16 19
双基地外切 8 10 13 16 20
双基地最优 7 10 13 16 20
通过式(10)(16)(17)计算出特定 R r时布阵所需的声呐数量N,图9为N关于 R r的函数图。为方便计算,图9中的双基地最优和外切布阵声呐数只要满足$2 \nmid \left\lfloor\frac{\pi}{\arctan \left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{l}}\right)}\right\rfloor$2或$2 \nmid\left\lfloor\frac{\pi}{\arctan \left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)}\right\rfloor$,分别令N1= π a r c t a n ( a l )+1和N2= π a r c t a n ( r R )+1。由此得出以下结论:
(1)当 R r相同时,即便在不考虑 A r c ︿ N⊂(CN-1,N∪C1,2)的情况下,单基地最优布阵与双基地最优布阵的声呐数在绝大部分情况下都会相等,且仅在极少数的情况下存在-1~1个的差距。考虑双基地声呐的成本通常远低于单基地声呐,本文提出的双基地最优布阵方案较单基地声呐最优布阵方案的总数量差距极小,因此双基地最优布阵方案具有极大的成本优势。
(2) 在 R r较小时,单、双基地最优布阵方案较双基地外切布阵方案有明显的数量优势;但随着 R r的增大,圆F的曲率不断减小,双基地声呐的最优截线不断逼近中线,此时几种布阵方案所需的声呐数量差距不断缩小。当 R r充分大时,三种布阵方案所需的声呐数量将完全相等。
(3) 由图8可以发现,在以最少声呐完成边界封锁的情况下,声呐对于反潜区域内的覆盖率从高到低为:单基地最优布阵>双基地最优布阵>双基地外切布阵。三种封锁布阵覆盖区域最小的位置均处于两个声呐之间,且三种布阵方案对内部区域的覆盖率均随着目标区域的扩大而下降。当 R r充分大时,三种布阵方案对内部区域的覆盖率都近似于0。

4 结束语

针对圆形应召反潜区域的封锁问题,本文提出的双基地最优布阵方案在大部分的情况下,比单基地最优布阵能达到的最优效果仅存在-1~1个声呐的数量差距。考虑双基地声呐在成本以及战术隐蔽性上的优势远超单基地声呐,因此本文所提出的双基地最优布阵方案较单基地最优布阵方案在整体上有更高的效费比与反侦测能力,较双基地外切布阵在 R r较小时有明显的数量优势。此外本文通过两种最优布阵方案推导出了封锁不同半径的目标区域大致需要的声呐数量,对反潜作战具有一定参考价值。
本文的研究仍有不足之处:(1)本文根据优化模型(14)提出了一种双基地最优方案,但并未证明该方案为全局最优解;(2)本文的研究主要针对理想海况,但在现实反潜作战中海况往往会随时空而发生变化,目标地点的历史海况数据乃至实时海况数据对布阵方案都有巨大的影响[13-14]。因此,后续研究工作可对如何在动态海洋环境下进行静态声呐浮标布放或进行多装备协同反潜方向上开展研究。

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