中国指挥与控制学会会刊 
在传统的枪弹系统设计过程中,内弹道、外弹道以及终点弹道的设计过程通常相对独立。然而,各弹道之间的参数存在着耦合关系,这种串行的设计方法往往只能使得某一弹道的性能达到最优,而无法兼顾全弹道的综合性能指标,难以寻求使得枪弹全弹道综合性能最好的参数匹配关系。因此,本文以枪弹全弹道综合性能最佳为目标,将弹头结构参数作为优化变量,选取合适的多目标优化算法从可行方案中求解出最优解。
为实现全弹道的综合优化,本文从3个弹道中分别选择行程长、落点动能、穿透厚度3个性能指标作为枪弹系统优化设计的目标。上述枪弹全弹道优化设计过程是典型的多目标优化问题。针对此类多目标优化问题,国内外学者开展了大量研究。李克婧等[1]基于基本遗传算法对内弹道数学模型进行优化,能够得到最优的内弹道设计组合方案。Li[2]等基于NSGA (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm)算法通过多目标优化探究弧厚不均火药对内弹道性能的影响,并以一维两相流内弹道模型为基础,采用该算法得到了帕累托最优解集[3]。何新佳等[4]以最大膛压、初速、射击试验值的平均相对误差为目标函数,以燃速系数和燃速指数作为优化参数,运用了人工鱼群算法对加农炮内弹道参数进行了优化设计,结果表明优化后计算结果与实验结果的误差能有效降低。覃宗棣等[5]以提升枪弹弹头的侵彻能力为优化目标,建立了枪弹全弹道数学模型,并采用遗传算法进行优化,虽然优化后飞行时间,着靶速度,穿甲厚度等指标均有提升,但仍然是以单目标的形式进行优化求解。蔡昌鹏等[6]以最大速度和最小内弹道时间为目标,对某7.62 mm电击发狙击枪进行内弹道的优化设计,通过灵敏度分析迭取影响优化目标的关键变量,并利用多目标遗传算法得到内弹道参数的最优解。
上述文献表明,多目标优化方法是进行全弹道综合设计的重要手段。为了探索更有效的复杂优化问题解决方案,向自然界学习已成为一种重要途径[7]。然而,上述已有的研究工作中所采用的优化算法存在计算效率低下,易陷入局部最优解等问题[8],限制了枪弹设计工作的效率。因此,本文采用兼具快速性与全局性的模拟退火-粒子群(SA-PSO)算法[9]进行枪弹弹头的全弹道优化设计。本文首先集成弹头特征量、气动参数、内弹道、外弹道以及终点弹道等计算过程,形成全弹道综合模型;其次,选取弹头尾椎长、弹头圆柱部长度、弹头弧形部高度、弹心全长、弹心直径等结构参数作为优化变量;最后,为了进行全弹道的综合优化,选取了行程长、落点动能、穿透厚度作为优化目标,采用加权求和的方法进行优化计算。因为该优化设计具有多变量、非线性的特征,所以本文选择采用SA-PSO算法,以避免陷入局部最优解的同时具有较快的收敛速度,最终得到具有最优全弹道性能的枪弹设计参数。研究结果可为枪弹结构的优化设计提供参考。
1 枪弹全弹道综合模型
1.1 总体架构
为实现枪弹系统全弹道的综合设计优化,本文需要建立由枪弹系统结构设计参数到性能参数的全弹道综合模型。本文将全弹道综合模型分为特征量计算、气动力计算、内弹道计算、外弹道计算以及终点弹道计算5个模块,其框架及各模块之间的交互接口如图1所示。
枪弹全弹道综合模型以枪弹系统设计方案为输入,包括枪弹的结构参数、材料密度、发射药参数等。特征量计算利用枪弹的结构参数、材料密度等输出弹头的结构特征量,包括质心位置、弹头质量、转动惯量等。内弹道计算则利用弹头特征及发射药参数得到子弹初速作为外弹道输入。气动力主要用于计算马赫数、阻力系数等空气动力学参数,同样输入外弹道。外弹道用于获取特定目标距离下的落点运动状态并输入到终点弹道中进行计算。终点弹道根据枪弹落点运动状态计算得到终点的枪弹性能。
1.2 枪弹特征量计算
枪弹特征量计算是根据枪弹的结构参数及材料性能等计算得到枪弹的结构特征量,包括弹头质量、质心位置以及转动惯量(极转动惯量、赤道转动惯量)等参数:
$\left[m, l_{c d}, A, C\right]=f_{t z l}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{D})$
式中,X表示弹头结构参数,包括弹头尾锥长度、圆柱部长度等参数;D表示各部分的材料密度,包括弹头壳密度、铅套密度、钢芯密度等。m表示弹头质量,lcd表示质心距弹底长度,A表示赤道转动惯量,C表示极转动惯量。
1.3 气动参数计算
枪弹气动参数计算则是根据枪弹的外形得到其飞行时的一系列的气动参数:
$[M a, C x, C y, M z, M z w, M x w, M y]=f_{q d}\left(X, l_{c d}\right)$
式中,X为弹头结构参数,lcd表示质心距弹底长度,均作为气动参数计算的输入;Ma为马赫数;Cx为阻力系数;Cy为升力系数;Mz为俯仰力矩系数;Mzw为赤道阻尼力矩系数;Mxw为极阻尼力矩系数;My为马格努斯力矩系数。
1.4 内弹道计算
本文内弹道计算选取在工程上广泛应用的经典内弹道模型。该模型基于热力学原理,在膛压不太高时,其理论计算结果与试验结果具有较好的一致性。其控制方程如下[9]:
式中,n为火药的燃速指数;ψ为火药的已燃百分数;χ、λ和μ为药型参数;Z为火药的相对已燃厚度;u1为火药的燃速系数;p为枪膛内压力;φ为次要功系数;m为枪弹弹头质量;S为身管横截面积;l为弹头行程长;v为弹头速度;f为火药的火药力;ω为火药的装药质量。
1.5 外弹道计算
描述枪弹在上述的内弹道出膛条件与当地气象条件下的质点弹道方程组如下[10]:
式中,v为枪弹飞行速度,θ为弹道倾角,s为枪弹飞行的斜距,S1=πd2/4为枪弹弹头特征面积,Cx=i43Cxon为该弹头相对于某标准弹的弹道系数,其计算公式为
$i_{43}=2.9-1.373 H+0.32 H^{2}-0.0267 H^{3}$
式中,H=λn+λb-0.3;λn=ln/d,λb=lb/d,λc=lc/d,ln为弹头头部长度,lb为弹头尾部长度,lc为弹头圆柱部长度。Cxon为标准弹在不同速度条件下的阻力系数[10]。
1.6 终点弹道计算
终点弹道模型描述枪弹对目标的杀伤和穿甲作用。本文中采用别列金公式[11]进行计算:
$b=\frac{1}{k^{2}} \frac{m v_{c}{ }^{2}}{d^{2}}$
式中,b为穿透厚度,m为弹头质量;vc为枪弹弹头着靶速度;d为弹头直径;k为被测目标靶板的材料相关系数,对中硬度钢板取85 000,对木板取11 200。
2 全弹道多目标优化问题
全弹道多目标优化问题在数学上归结为带约束的函数优化问题,枪弹系统的整体优化问题一般具有多目标、多约束和多混合变量的特点。智能优化算法的引入为这类结构优化问题提供了高效、稳定、实用的求解算法。
2.1 优化变量的选择
枪弹由弹头、弹壳、发射药3部分组成,其中弹头又包括弹头壳、弹心、铅套3部分,其结构由多个变量控制。本研究综合考虑各参数对其全弹道飞行过程的影响,从枪弹全弹道综合模型的输入参数中选取部分参数进行优化。本文所选取的待优化特征量共12个,具体优化变量见表1。
表1 优化变量Tab.1 Optimization variables |
| 部件 | 参数 | 符号 |
|---|---|---|
| 弹头 | 弹头尾椎长 | l_w |
| 弹头壳厚度 | t_z | |
| 弹头圆柱部长度 | l_z | |
| 弹心全长 | l_d | |
| 弹头弧形部高度 | h1 | |
| 弹心直径 | d3 | |
| 弹心弧形部高度 | h3 | |
| 弹头尾锥角 | Alpha_w | |
| 药室容积 | W0 | |
| 发射药 | 装药量 | omiga |
| 弧厚 | el | |
| — | 行程长 | l |
2.2 优化目标及约束
枪弹系统的优化设计使得其在全弹道过程中综合性能最优。本文为体现全弹道的综合优化能力,分别针对3个弹道各选择一个优化目标进行优化设计[12]。内弹道优化目标为行程长,它与枪管尺寸相关,优化目标为越小越好。针对外弹道选择枪弹的落点动能作为优化目标,终点弹道则选择公式(6)表征的穿透厚度为优化目标,这两个目标均与枪弹威力性能相关,越大越好。
在多目标优化过程中,枪弹系统设计方案还应满足基本的约束条件,本文主要考虑弹头的结构强度以及稳定性两方面的约束,其中弹头结构强度包括压应力强度、剪切应力以及离心应力。综上所述,枪弹系统全弹道综合优化问题可以描述为
$\begin{array}{l}\min f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{11}\right)=l \\\max f_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{11}\right)=m v^{2} / 2 \\\max f_{3}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{11}\right)=b \\\text { s.t. } \quad g_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{11}\right) \leqslant 0 \\g_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{11}\right) \leqslant 0 \\g_{3}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{11}\right) \leqslant 0 \\g_{4}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{11}\right) \leqslant 0\end{array}$
式中,f表示优化目标,本问题中f1为弹头行程长,为全弹道综合模型计算的输入变量,反映内弹道性能;f2为落点动能,式中落点速度v由外弹道模块计算得到;f3为穿透厚度,由终点弹道模块计算并直接导出。x= 表示优化变量,为表1中的12个变量。g表示约束,包括:g1为 旋转稳定性约束,g2为许用压应力约束,g3为许用剪应力约束,g4为离心力约束。计算公式如下:
$g_{1}=\eta_{0}-a_{2}^{\pi} \sqrt{\frac{\mu C_{q}}{z \frac{B}{A} K_{M 0}}}$
式中,η0为枪管膛线缠度;μ为弹头质量分布系数;Cq为弹重系数;a为旋转稳定性安全系数;A为极转动惯量;B为赤道转动惯量;KM0为一与空气阻力有关的系数。
$g_{2}=\frac{N_{\max }}{l_{z} \alpha}-\tau_{\max }$
式中,Nmax为最大导转侧压力;lz为弹头圆柱部长度;α为阴线宽度;τmax为材料的许用切应力。
$g_{3}=\frac{N_{\max }}{l_{z} \delta_{\min }}-\sigma_{y}$
式中,δmin为弹头圆柱部嵌入膛线的最小深度;σy为材料的许用压应力。
$g_{4}=\pi^{2} \mathrm{~d}_{\mathrm{k}}^{2} \frac{\gamma_{k}}{g} \frac{v_{0}^{2}}{h^{2}} \frac{t_{0}}{t_{0}-\delta}-\sigma_{y}$
式中,dk为弹头壳外径;γk为弹头壳材料的比重;v0为弹头初速;h为膛线的导程;δ为弹头嵌入膛线的深度,σy为弹头壳材料的许用压应力。
3 全弹道多目标优化算法
本文选择采用SA-PSO算法考虑枪弹全弹道性能并对其设计参数进行优化设计。
模拟退火算法(SA)的出发点是基于物理中固体物质的退火过程与一般优化问题之间的相似性。该方法模拟将固体加温至充分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为最小。模拟退火算法的目标是求组合优化问题的全局最优解[13]。
粒子群优化算法(PSO)是进化算法的一种[14],和模拟退火算法相似,它也是从随机解出发,通过迭代寻找最优解,通过适应度来评价解的品质。该算法通过追随当前搜索到的最优解来寻找全局最优。在PSO中,每个优化问题的潜在解都是搜索空间中的一个粒子。所有粒子都有一个被优化函数决定的适应度(fitness value),此外还有一个速度决定其飞行方向和距离(即最优解的搜索策略),随后各粒子就追随当前的最优粒子在解空间中搜索最优解。
本文为将SA-PSO混合算法应用在枪弹系统全弹道多目标优化过程中,定义适应度函数。适应度函数可采用加权求和、模糊适应度、帕累托前沿等方法进行定义以筛选最优解。本文考虑枪弹系统综合性能的评价指标,采用加权和的方式给出适应度函数如下:
$f_{f i t}=w_{1} f_{1}+w_{2} f_{2}+w_{3} f_{3}$
基于此表征枪弹系统综合性能的适应度函数,SA-PSO算法的基本运算步骤如下:
(1)生成随机初始方案。初始化粒子群pop,设定算法参数并更新个体最优解 和全局最优解Pg,每个粒子在解空间中的位置均对应一个解;
(2)计算每个粒子的适应度ffit(), 代表第k代粒子群中的第i个粒子;
(3)按照如下准则更新个体最优解 和全局最优解Pg。若ffit()<ffit(),则令 = ;若ffit()<ffit(Pg),则令Pg= ;否则 与Pg不变;
(4)按照公式(13)更新粒子的位置和速度,其中,st代表第t代粒子;vt表示第t次迭代中 的速度; 表示第t次迭代中搜索得到的最优解;w表示惯性权重;c1,c2表示加速度常数。
$\begin{aligned}v_{t}= & w * v_{t}+c_{1} * \operatorname{random}[0,1] *\left(P_{l}^{t}-s^{t}\right)+ \\& c_{2} * \operatorname{random}[0,1] *\left(P_{g}-s^{t}\right)\end{aligned}$
(5)更新后的粒子位置和速度表示为 和 ,并计算适应度ffit( );
(6)计算适应度变化量Δffit=ffit( )-ffit(sik),按公式(14)计算接受概率P,如果满足P>random(0,1),则接受新解,即令sik= ,vik= ;
$P(s, \bar{s}, T)=\left\{\begin{array}{ll}1 & f(s)＜f(\bar{s}) \\\exp \left(\left(f_{f i t}(s)-f_{f i t}(\bar{s})\right) / T_{k}\right) & \text { 其他 }\end{array}\right.$
如果满足中止条件,则算法结束,输出最优解Pg,否则,进行退火处理并返回第2步,其中,k表示迭代次数,表示第k次迭代中粒子i的位置和速度,i=1,…,sizepop,k=1,…,N;sizepop表示种群大小;N表示最大迭代次数;ffit(sik)表示粒子的适应度函数,表示第k次迭代中的最优解;Pg表示全局最优解。
4 结果讨论
本文将SA-PSO算法应用于枪弹系统的全弹道多目标设计,调用全弹道综合模型计算优化目标参数,寻找最优的优化变量组合,设置算法的初始参数如表2所示。
表2 优化算法参数设置Tab.2 Optimize algorithm parameter settings |
| 初始参数类型 | 参数值 |
|---|---|
| 粒子群规模 | 5 |
| 学习因子q | 0.8 |
| 惯性权重 | 随迭代次数下降 |
| 初始温度 | 10 000 |
| 冷却系数 | 0.95 |
表3 优化变量前后对比Tab.3 Optimization variables comparison |
| 优化变量 | 优化方案 | 原始方案 |
|---|---|---|
| l_w | 4.74 | 3.7 |
| t_z | 0.56 | 0.56 |
| l_z | 9.24 | 7.15 |
| l_d | 26.34 | 20.3 |
| h1 | 19.60 | 15.95 |
| d3 | 4.11 | 5.85 |
| h3 | 7.16 | 8.5 |
| Alpha_w | 11.68 | 9 |
| W0 | 2.22 | 1.86 |
| omiga | 1.82 | 1.6 |
| el | 0.43 | 0.43 |
| l | 0.346 | 0.494 |
表4 优化目标对比Tab.4 Optimization objectives comparison |
| 优化目标 | SA-PSO | GA | 原始方案 |
|---|---|---|---|
| 行程长/m | 0.346 | 0.352 | 0.494 |
| 落点动能/J | 674.560 | 613.687 | 321.261 |
| 穿透厚度/mm | 4.010 | 3.748 | 2.290 |
| 最终评价值ffit | 0.885 | 0.828 | 0.086 |
综上可以看出,本文所提出的基于SA-PSO混合算法的枪弹全弹道多目标优化方法可以有效提升枪弹系统性能,提高优化设计求解速度,极大提升枪弹系统的设计效率。
5 结束语
为了实现枪弹系统的全弹道的综合设计优化,本文构建了全弹道综合模型并采用SA-PSO智能混合算法对全弹道多目标优化问题进行求解。具体结论如下:
(1)集成了全弹道过程,建立了枪弹系统全弹道综合模型,涵盖了枪弹特征量计算、气动参数计算、内弹道计算、外弹道计算以及终点弹道计算5个模块。
(2)以枪弹结构参数为优化变量,以行程长、落点动能、穿透厚度等3个弹道的枪弹性能参数为优化目标,采用SA-PSO混合算法实现了枪弹全弹道的多目标优化。
(3)优化后的方案相较于初始方案,落点动能提升了109.97%,穿透厚度提升了75.11%,行程长缩短了30.01%。
(4)相比于传统的优化算法,SA-PSO混合算法能够较快地完成收敛过程,在确保优化效果的同时,极大地提高了优化速度,提升了枪弹系统设计效率。