中国指挥与控制学会会刊 
水面无人艇(Unmanned Surface Vehicle, USV)自主跟踪与协同拦截作为海洋工程与智能控制领域的典型研究场景,在海上安防、搜救打捞、军事侦察等领域展现出广阔的应用前景,该场景需同步兼顾跟踪方的协同拦截需求与逃逸方的机动规避意图[1-2]。
现有研究中,智能优化算法因具备全局寻优能力、自适应能力强等特性,已成为解决水面无人艇自主跟踪路径规划与运动控制问题的核心技术手段[3]。如文献[4-7]中的蚁群算法和人工鱼群算法等仿生优化算法,通过模拟生物活动构建寻优机制;文献[8-10]中的多策略徒步旅行优化算法、企业发展粒子群算法等新型算法,依托特定场景下的行为逻辑与协同机制设计搜索策略;文献[11-13]中的算法则从量子力学特性、自然物理现象及生物生长规律等多元视角提供优化思路。
然而,现有的智能优化算法仍存在诸多不足:部分算法在复杂动态场景下易陷入局部最优,寻优精度与收敛速度难以兼顾;部分算法对跟踪任务的动态适应性较差,面对逃逸目标的机动规避时易出现跟踪失效;还有部分算法控制策略的稳定性不足,难以满足多艇协同跟踪的精准性要求。针对上述问题,本文提出一种基于朗之万方程的算法(Langevin Equation-based Evolutionary algorithm, LEE),为解决水面无人艇自主跟踪问题提供了高效可靠的新方法。在本研究的仿真场景设定中,关键参数的选取严格遵循工程应用标准与主流研究规范:选取60°扇区的角度参数,参考了潘光等在水下无人系统关键技术研究中仿真验证的50°~70°扇区角度能平衡探测效率与抗干扰能力,是兼顾聚焦性与环境适应性的最优区间[14];选取10米跟踪范围,该参数与马焱等提出的海流环境下无人潜航器避障跟踪策略中的参数选取原则一致,设定符合无人艇近距离跟踪的工程化要求,在近岸复杂水环境中被证实能有效提升目标跟踪的鲁棒性与实时性[15]。
1 朗之万方程演化算法
1.1 初始化
我们在指定的迭代范围内创建一个大小为Np的初始种群,种群中的每个个体记作xk$\left(n=\mathrm{1,2},\dots,K\right)$,代表优化问题的一个解,存在于D维空间中。初始位置是
xk,j=LBj+rand×$\left(U{B}_{j}-L{B}_{j}\right)$
其中,LBj和UBj表示问题第j维的下限和上限,rand表示一个在[0,1]区间内的随机数。
1.2 朗之万方程转化为更新规则
1.2.1 朗之万方程映射
如前述部分所述,朗之万方程描述了一个粒子的运动,该粒子同时受到三个力的影响:加速度、摩擦力和由分子碰撞引起的随机波动,为了将这一物理原理转化为一个可以优化的搜索机制,朗之万方程被拆解为其各个组成部分
m $\frac{{d}^{2}x}{d{t}^{2}}$ =-λ $\frac{dx}{dt}$ + $\sqrt{2{K}_{B}T\lambda }$ ×ϑ(t)
其中,m$\frac{{d}^{2}x}{d{t}^{2}}$是惯性项,-λ$\frac{dx}{dt}$是摩擦力项,$\sqrt{2{K}_{B}T\lambda }$×ϑ(t)是随机力项。
1.2.2 定义算法等效项
k-th候选解在第it次迭代时的加速度定义为
式(3)将朗之万方程中的三种力转化为优化动力学形式,其中,it表示迭代次数,-λ×${V}_{k}^{it}$是阻尼项,用于稳定运动,惯性项${a}_{k}^{it}$保持了动量,而随机力randforce则引入了多样性。这些项在提出的算法中平衡了探索与开发。实际上,它们使得算法能够模仿粒子在搜索空间中寻找可能解的物理行为,randforce表示作用于每个候选解的随机扰动,这相当于粒子在流体介质中受到的随机碰撞。
randforce=$\sqrt{2\lambda T}$randn×$\left({X}_{k}^{it}-{X}_{avg}^{it}\right)$
其中,${X}_{k}^{it}$表示当前解,T表示温度,$\sqrt{2\lambda T}$表示缩放因子,控制扰动的强度,${X}_{avg}^{it}$表示当前迭代中两个随机解的平均值。系数λ和T随着迭代次数的变化而动态演化。基于物理中的退火和阻尼过程,它们都会随着时间的推移呈指数衰减
λ=${e}^{-2\left(\frac{it}{Maxit}\right)}$
T=Tinitial·${e}^{-\left(\frac{it}{Maxit}\right)}$
其中,Maxit表示最大迭代次数。这一逐渐减少的过程是必要的,可以确保早期迭代侧重于探索(较大的随机性,较弱的阻尼)。然而,后期迭代则侧重于开发和收敛(较小的随机性,较强的阻尼)。
1.2.3 更新速度和位置
速度更新公式为
${V}_{k}^{it+1}$=b×${V}_{k}^{it}$+${a}_{k}^{it}$
b=randn×β
β=sin$\left(\frac{\pi }{2}\times it+\pi \times \frac{it}{Maxit}\right)$×$\left(1-\frac{it}{Maxit}\right)$×${e}^{\left(-2\times \frac{it}{Maxit}\right)}$
其中,${a}_{k}^{it}$表示第it次迭代时的加速度,${a}_{k}^{it}$表示引入新的力的效应,即阻尼和随机项,使解能够适应不断变化的搜索环境。b×${V}_{k}^{it}$表示初始速度,b表示惯性权重,随迭代逐渐减小。β随着迭代动态减小,正弦项提供了适应性探索的振荡效果,传递了之前速度的影响。这两个元素相结合,达到平衡:惯性项有助于探索新区域,而加速度项促进响应搜索动态。
位置更新公式为
${X}_{k}^{it+1}$=${X}_{k}^{it}$+${V}_{k}^{it+1}$
其中,${X}_{k}^{it}$表示第it次迭代时的位置,${V}_{k}^{it+1}$表示第it+1次迭代时的速度。速度将力的相互作用转化为受控的运动,而位置更新则将这种运动转化为实际解空间的更新。
2 算法仿真与分析
2.1 消融实验仿真
为定量揭示朗之万方程中惯性项、摩擦力项和随机力项对LEE性能的具体贡献,明确三者协同机制的核心价值,本文进行消融实验,通过逐一移除惯性项、摩擦力项和随机力项,构建3个消融算法LEEI、LEEF和LEER,实验基于MATLAB R2022b平台展开,采用CEC2022 测试函数集,实验设定测试维度为20,种群规模30,迭代次数500,均独立运行30次。
表1 4个对比算法在CEC2022测试函数的结果Tab.1 Results of four comparative algorithms on CEC2022 test functions |
| 函数 | 指标 | LEE | LEEI | LEEF | LEER |
|---|---|---|---|---|---|
| F1 | 标准差 | 1.78E+03 | 1.04E+04 | 1.48E-01 | 3.41E+03 |
| 均值 | 4.13E+03 | 5.14E+04 | 3.00E+02 | 4.34E+03 | |
| F2 | 标准差 | 1.32E+01 | 1.06E+01 | 2.08E+01 | 2.05E+01 |
| 均值 | 4.49E+02 | 4.65E+02 | 4.81E+02 | 4.54E+02 | |
| F3 | 标准差 | 4.77E-02 | 2.43E-02 | 7.25E+00 | 4.05E+00 |
| 均值 | 6.00E+02 | 6.00E+02 | 6.34E+02 | 6.03E+02 | |
| F4 | 标准差 | 1.61E+01 | 1.13E+01 | 1.40E+01 | 6.07E+01 |
| 均值 | 8.36E+02 | 8.98E+02 | 8.62E+02 | 1.02E+03 | |
| F5 | 标准差 | 6.99E+00 | 3.27E+02 | 2.64E+02 | 2.02E+03 |
| 均值 | 9.03E+02 | 1.66E+03 | 1.23E+03 | 7.23E+03 | |
| F6 | 标准差 | 7.45E+03 | 2.24E+06 | 3.82E+03 | 7.27E+03 |
| 均值 | 1.48E+04 | 3.05E+06 | 5.87E+03 | 1.01E+04 | |
| F7 | 标准差 | 1.82E+01 | 1.07E+01 | 1.71E+01 | 6.34E+01 |
| 均值 | 2.05E+03 | 2.06E+03 | 2.09E+03 | 2.14E+03 | |
| F8 | 标准差 | 5.59E+00 | 1.40E+00 | 4.44E+01 | 8.43E+01 |
| 均值 | 2.23E+03 | 2.23E+03 | 2.25E+03 | 2.31E+03 | |
| F9 | 标准差 | 9.50E-05 | 5.73E-01 | 9.94E+00 | 9.27E-01 |
| 均值 | 2.48E+03 | 2.48E+03 | 2.54E+03 | 2.48E+03 | |
| F10 | 标准差 | 7.13E+02 | 4.45E+01 | 7.63E+01 | 2.28E+02 |
| 均值 | 3.21E+03 | 2.46E+03 | 2.54E+03 | 2.86E+03 | |
| F11 | 标准差 | 4.84E-03 | 1.02E+01 | 1.78E+01 | 3.31E+01 |
| 均值 | 2.90E+03 | 2.95E+03 | 3.02E+03 | 2.95E+03 | |
| F12 | 标准差 | 1.58E+01 | 4.59E+00 | 3.21E+01 | 7.37E+01 |
| 均值 | 2.95E+03 | 2.96E+03 | 3.07E+03 | 3.02E+03 |
实验结果表明,完整LEE在CEC2022测试函数的各项指标中均表现最优,消融朗之万方程中的惯性项、摩擦力项或随机力项后,算法性能均出现下降,且三者同时作用带来的性能提升并非单一组件效果的简单叠加,而是三者形成的协同机制所致,惯性项、摩擦力项与随机力项的协同机制不仅是LEE兼顾精度、效率与稳定性的核心保障,更能帮助算法在动态优化问题中平衡探索与开发,为其在复杂动态优化场景中的高效运行提供了关键支撑。
2.2 CEC2022测试函数仿真
本节通过仿真实验验证LEE的优化性能,实验基于MATLAB R2022b平台展开,采用CEC2022 测试函数集,将LEE与木桶理论优化算法[16] (Barrel Theory-based Optimization Algorithm, BTOA)、学前教育优化算法[17](Preschool Education Optimization Algorithm, PEOA)、凌日搜索算法[18](Transit Search, TS)、徒步优化算法[19](Hiking Optimization Algorithm, HOA)、战争策略优化算法[20](War Strategy Optimization Algorithm, WSO)和肝癌算法[21](Liver Cancer Algorithm, LCA)等智能优化算法进行对比,评估各类算法处理多类目标函数的能力,实验设定与2.1节相同,保证结果可靠性。
图3采用雷达图形式,清晰展现了6种待比较算法在多维度评估体系下的整体性能格局。其中,LEE对应的雷达图闭合区域面积最小,且各评估维度的得分分布紧凑、离散程度低,充分说明LEE在寻优精度、收敛速率、抗干扰能力、运行稳定性以及计算效率等关键性能维度上具备出色的均衡性,能够在各类复杂优化任务中实现多目标需求的协同满足,综合优化效能超越其余对比算法。
图4是各算法在CEC2022测试函数中的平均排序结果。数据显示,LEE的平均排序值在所有对比算法中名列前茅,在CEC2022测试集所覆盖的单峰函数、多峰函数、混合函数及组合函数等多样化测试场景中,LEE相较于其他对比算法,不仅寻优结果更优,且性能稳定性更强。
表2是各算法在CEC2022测试函数中的算法的标准差和均值,结合图3和图4的分析,LEE在8个测试函数中排名第一,且多个函数的标准差趋近于0,是兼顾高精度与高稳定性的最优算法,适合对求解精度和稳定性有较高要求的优化场景;BTOA均值整体处于较低水平,综合表现仅次于LEE,可作为LEE的备选方案;PEOA在F1和F6函数上性能碾压其他算法,但在其他函数中表现一般;TS在部分函数中表现较好,但在F5、F10等函数中性能下滑明显,综合性能中等;HOA、WSO、LCA 三种算法在大部分测试函数中稳定性差,结合12个CEC2022 测试函数的整体表现,7种算法的综合性能从优到劣排序为 LEE > BTOA > PEOA > TS > HOA > WSO > LCA。
表2 CEC2022测试函数对比结果Tab.2 Comparison results of CEC2022 test functions |
| 函数 | 指标 | LEE | BTOA | PEOA | TS | HOA | WSO | LCA |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| F1 | 标准差 | 1.78E+03 | 1.04E+04 | 1.48E-01 | 3.41E+03 | 6.53E+03 | 1.81E+04 | 3.16E+04 |
| 均值 | 4.13E+03 | 5.14E+04 | 3.00E+02 | 4.34E+03 | 3.07E+04 | 5.08E+04 | 1.10E+05 | |
| F2 | 标准差 | 1.32E+01 | 1.06E+01 | 2.08E+01 | 2.05E+01 | 3.11E+02 | 1.01E+03 | 1.14E+03 |
| 均值 | 4.49E+02 | 4.65E+02 | 4.81E+02 | 4.54E+02 | 1.39E+03 | 2.81E+03 | 4.64E+03 | |
| F3 | 标准差 | 4.77E-02 | 2.43E-02 | 7.25E+00 | 4.05E+00 | 7.60E+00 | 1.17E+01 | 1.20E+01 |
| 均值 | 6.00E+02 | 6.00E+02 | 6.34E+02 | 6.03E+02 | 6.56E+02 | 6.71E+02 | 7.01E+02 | |
| F4 | 标准差 | 1.61E+01 | 1.13E+01 | 1.40E+01 | 6.07E+01 | 1.79E+01 | 2.11E+01 | 1.94E+01 |
| 均值 | 8.36E+02 | 8.98E+02 | 8.62E+02 | 1.02E+03 | 9.27E+02 | 9.70E+02 | 1.02E+03 | |
| F5 | 标准差 | 6.99E+00 | 3.27E+02 | 2.64E+02 | 2.02E+03 | 4.35E+02 | 7.51E+02 | 4.66E+02 |
| 均值 | 9.03E+02 | 1.66E+03 | 1.23E+03 | 7.23E+03 | 2.75E+03 | 3.65E+03 | 5.00E+03 | |
| F6 | 标准差 | 7.45E+03 | 2.24E+06 | 3.82E+03 | 7.27E+03 | 6.73E+08 | 1.45E+09 | 1.60E+09 |
| 均值 | 1.48E+04 | 3.05E+06 | 5.87E+03 | 1.01E+04 | 5.88E+08 | 1.44E+09 | 4.26E+09 | |
| F7 | 标准差 | 1.82E+01 | 1.07E+01 | 1.71E+01 | 6.34E+01 | 6.27E+01 | 7.65E+01 | 1.06E+02 |
| 均值 | 2.05E+03 | 2.06E+03 | 2.09E+03 | 2.14E+03 | 2.18E+03 | 2.24E+03 | 2.43E+03 | |
| F8 | 标准差 | 5.59E+00 | 1.40E+00 | 4.44E+01 | 8.43E+01 | 9.43E+01 | 1.60E+02 | 7.93E+02 |
| 均值 | 2.23E+03 | 2.23E+03 | 2.25E+03 | 2.31E+03 | 2.30E+03 | 2.44E+03 | 3.24E+03 | |
| F9 | 标准差 | 9.50E-05 | 5.73E-01 | 9.94E+00 | 9.27E-01 | 1.81E+02 | 3.18E+02 | 7.06E+02 |
| 均值 | 2.48E+03 | 2.48E+03 | 2.54E+03 | 2.48E+03 | 3.03E+03 | 3.12E+03 | 4.20E+03 | |
| F10 | 标准差 | 7.13E+02 | 4.45E+01 | 7.63E+01 | 2.28E+02 | 1.27E+03 | 1.36E+03 | 1.08E+03 |
| 均值 | 3.21E+03 | 2.46E+03 | 2.54E+03 | 2.86E+03 | 5.14E+03 | 6.10E+03 | 7.77E+03 | |
| F11 | 标准差 | 4.84E-03 | 1.02E+01 | 1.78E+01 | 3.31E+01 | 8.90E+02 | 4.03E+02 | 4.41E+02 |
| 均值 | 2.90E+03 | 2.95E+03 | 3.02E+03 | 2.95E+03 | 7.41E+03 | 1.01E+04 | 1.01E+04 | |
| F12 | 标准差 | 1.58E+01 | 4.59E+00 | 3.21E+01 | 7.37E+01 | 2.23E+02 | 2.42E+02 | 3.89E+02 |
| 均值 | 2.95E+03 | 2.96E+03 | 3.07E+03 | 3.02E+03 | 3.71E+03 | 3.46E+03 | 4.42E+03 |
2.3 水面无人艇自主跟踪仿真
仿真条件为:捕获半径为5米,障碍物半径为2米,障碍物数量为9个,目标区域判定半径为5米,逃逸目标点坐标为(80,80),逃逸艇数量为1,初始位置为(0,0),跟踪艇数量为4,初始位置为(50,0)、(0,50)、(60,0)和(0,60),时间步长为1秒。跟踪艇需在逃逸艇后方60°扇区、10米跟踪半径内稳定跟踪,连续5个步长时间满足距离容差5米判定为成功实现稳定跟踪。算法的种群规模为50,最大迭代次数为200。
在图5中,黑色圆点表示障碍物,黑色实线代表跟踪艇的轨迹,黑色虚线代表逃逸艇的轨迹,逃逸艇前进方向±30°、半径20米范围扇形是挡路危险区,逃逸艇后方扇形是跟踪扇区。
表3 多种优化算法的自主跟踪仿真结果Tab.3 Autonomous tracking simulation results of various optimization algorithms |
| 算法名称 | 达到稳定跟踪时间/s | 仿真结果 |
|---|---|---|
| LEE | 12 | 成功 |
| BTOA | 19 | 成功 |
| PEOA | 21 | 成功 |
| TS | 22 | 成功 |
| HOA | 28 | 成功 |
| WSO | 29 | 成功 |
| LCA | 失败 |
图6为多种优化算法的累计奖励结果,累计奖励是基于跟踪艇的运动控制效果反向计算并逐步时间累加得到的核心评价指标。具体计算逻辑:以跟踪艇稳定跟踪、规避障碍为核心规则构建适应度函数,该函数会对跟踪艇违反规则的行为赋予不同权重的惩罚值,再将该惩罚值取反得到单步奖励,最后将单步奖励依次累加得到累计奖励,累计奖励越高,说明对应算法的控制策略越符合预设规则,跟踪效果越好。算法性能从优到劣分为四梯队:LEE为最优,累计奖励值最高且下降平缓,能最大程度约束跟踪艇遵守规则;次优梯队为 BTOA、PEOA、TS,虽不及 LEE,但能有效减少违规,性能中等偏上;HOA、WSO构成较差梯队,对核心规则的约束能力明显下降,无法保证跟踪艇合规运动;LCA为最差,奖励值全程最低且下降最快,跟踪艇频繁违规,控制效果最差。综上,6种算法的跟踪综合性能排序为:LEE>BTOA>PEOA>TS>HOA>WSO>LCA。
3 结束语
本文提出了一种基于朗之万方程物理原理的新型演化算法,通过将朗之万方程中的惯性项、摩擦力项与随机力项映射为算法的核心更新机制,实现了探索与开发过程的自适应平衡。仿真实验结果验证了该算法的优越性,为复杂函数优化及无人系统运动控制等领域提供了高效可靠的新方案,后续可进一步拓展其在多目标优化、动态环境下的应用场景,提升算法的泛化能力与实时性。