中国指挥与控制学会会刊 
现代战争是陆、海、空、天、电多维一体的体系作战,情报信息急剧增长,战场态势瞬息万变,不确定性情况日益增多,决策质量的好坏直接关系到战争的成败。同时,作战任务的复杂性和战场环境的不确定性给相关决策人员带来了沉重的认知负担和心理压力,使得他们在面对诸如作战方案选择、军事资源分配等关键问题时常常犹豫不决,误判现象时有发生。因此,本文援引多属性决策理论,以犹豫模糊数作为不确定决策信息的描述工具,构建不确定条件下的作战方案优选模型,帮助指挥员积极应对挑战,做出正确决策,最终赢得战争胜利。
多属性决策(Multi-Attribute Decision-Making,MADM)是指人们在多个相互冲突的属性下从多个备选方案中选择具有最高满意度方案的决策过程[1]。在经典多属性决策问题中,决策者或评估专家通常是用精确而非模糊的数值来表达他们对备选方案在每个属性下的评估值(决策信息)。然而,随着军事、经济、社会问题的日益复杂化和决策者本身固有的思维模糊性和认知局限,决策者越来越难以用精确的数值来表达他们的决策信息。为了有效描述决策者的模糊决策信息,1970年,Bellman 和Zadeh首次将模糊集(Fuzzy Set, FS)理论引入多属性决策问题中[2]。随后,模糊决策、模糊评价、模糊聚类等相关问题的研究取得了巨大成功,各种新理论如:区间模糊集、直觉模糊集、区间直觉模糊集等应用理论接踵而至[3]。
近年来,西班牙学者Torra针对多属性决策问题中,决策专家在给出评估信息时犹豫不决以及多个专家互相不能说服、难以达成一致意见的情形,提出了犹豫模糊集(Hesitant Fuzzy Set, HFS)的概念[4]。作为模糊集理论的一种重要拓展形式,犹豫模糊集描述了决策信息对指定集合有多个可能隶属度的情形,非常适合不确定决策信息的描述,增加了决策者赋值的灵活性,在现实多属性决策问题中有着广泛的应用场景。犹豫模糊集的基本描述工具是犹豫模糊数(Hesitant Fuzzy Element, HFE),它是一个由多个实数值构成的集合,表示犹豫模糊集的元素具有几个可能的隶属度。犹豫模糊数作为决策者对不确定决策信息的描述工具,允许决策者在给出其评估信息时可以在几个不同的数值之间犹豫不决,增加了赋值灵活性,从而能够更加细腻地描述其对评估对象的不确定性评估,是多属性决策问题中描述和处理不确定信息的有效工具[5]。
本文针对属性权重未知、属性值为犹豫模糊数的作战方案优选问题,提出了一种基于客观赋权的犹豫模糊多属性决策方法。该方法首先依据传统逼近理想解(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution,TOPSIS)思想[6],在犹豫模糊数距离测度[7]的基础上建立关于权重向量求解的非线性规划模型,然后在证明该模型是凸优化问题并具有唯一最优解的基础上,给出其闭合解形式。最后,本文在属性权重求解的基础上,给出了多个备选作战方案的优劣排序算法,进而选出最优作战方案。数值实验表明,本文提出的方法具有论证过程清晰严谨、算法简明有效、结果客观实在、适用范围广泛的优点。
1 理论基础
定义1:假定μA是论域U到区间[0,1]上的一个映射
其中,x是集合U的任一元素。定义如下集合
A={<x,μA(x)>|x∈U}
我们称集合A是集合U的一个模糊集[8]。映射函数μA(·)是模糊集A的隶属函数。函数值μA(x)∈[0,1]表示元素x关于模糊集A的隶属度,是元素x属于模糊集A的程度度量。特别地,μA(x)≡0表示模糊集为空集,即A=Φ,μA(x)≡1表示模糊集A=U。
定义2:给定论域U到区间[0,1]上一个子集的映射
我们称集合H是集合U的一个犹豫模糊集[9]。
对于任意x∈U,hH(x)是由区间[0,1]上几个不同的实数值构成的集合。hH(x)用以表示x属于犹豫模糊集H的若干个可能隶属度,hH(x)通常也被称为犹豫模糊数。例如,犹豫模糊数hH(x)=H{0.4,0.6}表示是元素x属于犹豫模糊集H的隶属度可能是0.4,也可能是0.6。当犹豫模糊数hH(x)只包含单一实数值时,犹豫模糊集H就退化成一个传统的模糊集。
在现实决策过程中,决策者给出的犹豫模糊数中的元素通常是无序的,而且不同犹豫模糊数的元素个数也不尽相同。例如,hH(x1)=H{0.4,0.6}和hH(x2)=H{0.5,0.3,0.8,0.7}。显然,处理以上两个犹豫模糊数,比如计算它们之间的距离,是十分困难的。为了便于处理,我们可以将犹豫模糊数中的元素按增序进行排列,并按照一定的规则对元素较少的犹豫模糊数进行拓展,使它们具有相同的元素。比如,我们可以按照风险厌恶(Risk-averse)的原则,重复添加元素个数相对较小的犹豫模糊数中的最小元素,使它和另一个犹豫模糊数的元素个数相同。因此,上述的两个犹豫模糊数,我们可以把它们处理成hH(x1)=H{0.4,0.4,0.4,0.6}和hH(x2)=H{0.3,0.5,0.7,0.8}。
两个犹豫模糊数即h1,h2之间的欧几里得(Euclidean)距离测度可以定义为
d(h1,h2)=
犹豫模糊数h1,h2的并集可以定义为
h1∪h2=H{max(, )|λ=1,2,…,l}
犹豫模糊数h1,h2的交集可以定义为
h1∩h2=H{min(, )|λ=1,2,…,l}
犹豫模糊数h1的补集 可以定义为
=H{1- |λ=1,2,…,l}
2 模型构建
2.1 问题描述
假设一个多属性决策问题包括m个备选方案和n个评价属性。令集合X={x1,x2,…,xm}为备选方案集,令集合A={a1,a2,…,an}为评价属性集,令w=(w1,w2,…,wn)T为评价属性的权重向量。进一步假设w为未知,且满足非负条件wj≥0,j=1,2,…,n和归一条件 wj=1。本文的目标是在权重向量未知的条件下对备选方案集X进行优劣排序。
由于受外界压力和对决策问题了解程度等因素的影响,决策者在决策时往往会在一些评估值之间犹豫不决。因此,决策者给出方案xi,i=1,2,…,m在评价属性aj,j=1,2,…,n下的评估值通常为犹豫模糊数xij=H{ , ,…, }。这里,λij表示犹豫模糊数xij的元素个数。把决策者给出的犹豫模糊评价信息按照矩阵的形式排列出来,可以得到如下的犹豫模糊决策矩阵
A=
2.2 决策矩阵规范化
通常,直接得到犹豫模糊决策矩阵A不便于处理。为了方便对备选方案做出综合评价,需要对矩阵A进行规范化处理[8],其步骤为:
Step1: 对矩阵A进行归一化处理,消除各属性的量纲和数量级影响,保证各个属性之间具有可对比性;
Step2: 对矩阵A进行一致化处理,对于成本型属性,根据式(7)对其进行取补变换;
Step3: 对矩阵A进行标准化处理,也就是将犹豫模糊数内的所有元素按照增序进行排列,并按照一定的规则对元素个数较少的犹豫模糊数进行拓展,使它们具有相同的元素个数。
设规范化后的犹豫模糊决策矩阵
M=
这里,矩阵M中的任意犹豫模糊数hij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),其元素个数相同,并且按增序进行排列.
2.3 确定属性权重
记加权后的规范化决策矩阵为G=[gij]m×n,其犹豫模糊决策元素gij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)由下式给出
gij=wjhij.
设矩阵G的正理想解为v+=( , ,…, )。其中,犹豫模糊数 定义为
= gij= wjhij=wj hij=wj
显然,犹豫模糊数 可由矩阵M直接给出。
设矩阵G的负理想解为v-=( , ,…, )。其中,犹豫模糊数 定义为
= gij= wjhij=wj hij=wj
显然,犹豫模糊数 也可由矩阵M直接给出。
因此,方案xi,i=1,2,…,m与加权决策矩阵G正理想解间的欧氏距离测度可以表示为
di= =
其中,d(gij, )为犹豫模糊数gij和 的欧氏距离测度,d(hij, )为犹豫模糊数hij和 的欧氏距离测度。显然,di,i=1,2,…,m的值越小,方案xi与矩阵G正理想解间的距离越近,说明方案xi越优秀。
为了计算距离di的值,首先需要确定属性权重向量w=(w1,w2,…,wn)T的值。总体上,我们希望每个方案和矩阵G正理想解间的距离应尽可能地小。同时,由于各个方案是公平竞争的,不存在任何偏好关系。因此,我们可以建立如下的非线性规划问题来求解属性权重向量
s.t. wj=1wj≥0,j=1,2,…,n
式(14)所示的非线性规划问题中,优化变量为w=(w1,w2,…,wn)T。当w取得最优解时,每个候选方案和矩阵正理想解间的距离都在“最小二乘”的意义下达到最优。此时,距离正理解最近的方案即为最优。
为简化计算,可以将该问题的目标函数进一步推导如下
= d2(hij, )= d2(hij, )
此处,可以通过引入辅助函数
ej=
来进一步简化计算。如此,非线性规划问题(14)可以进一步简化如下
s.t. wj=1
wj≥0,j=1,2,…,n
下面通过4个定理来说明:式(17)、(18)和(19)所确定的非线性规划问题是凸问题[10],且具有唯一最优解,并给出其最优解的解析解形式。
定理1:由式(18)和式(19)所确定的非线性规划问题的可行域G是凸集。
证明:假设, w*和w**是可行域G上的任意两点。则对于所有的j∈{1,2,…,n},w*和w**需要满足式(18)和式(19)所确定的两个条件,即
=1, ≥0
=1, ≥0
从凸集的定义出发,对于任意θ∈[0,1],可做如下推导:
[θ +(1-θ) ]=θ +(1-θ) =1
θ +(1-θ) ≥0
显然,对于任意θ∈[0,1],由θw*+(1-θ)w**所确定的点也满足式(18)和式(19) 所确定的条件。因而,θw*+(1-θ)w**也是可行域G上的点,即可行域G上任意两点w*和w**之间的凸线段都在可行域G内。
因此,可行域G符合凸集的定义。
引理1:假设X为开凸集,函数f(x)在X上二阶连续可微。则函数f(x)是凸集X上凸函数的充要条件是:f(x)的Hessian矩阵是半正定矩阵。即,对于任意x∈X,都有
∇2f(x)≽0
特别地,如果对于任意x∈X,都有
∇2f(x)≻0
则函数f(x)是严格凸函数(反过来不一定成立)。
定理2:由式(17)所构成的非线性规划问题的目标函数D是凸集G上的严格凸函数。
证明:根据引理1,可得
∇2D= =
根据式(16),可知,对于任意j∈{1,2,…,n},都有 >0。因此,可得∇2D≻0。
所以,目标函数D是凸集G上的严格凸函数。
定理3:由式(17)、(18)和(19)所确定的非线性规划问题是凸优化问题,其最优解存在且唯一。
证明:根据定理1和定理2可知,由式(17)、(18)和(19)所确定的非线性规划问题的可行域G是凸集,目标函数D是凸函数。因而,该非线性规划问题是一个凸优化问题,其局部最优解为全局最优解。下面对其最优解的唯一性进行证明如下(用反证法):
假设w*和w**是该非线性问题在可行域G上的两个最优解,则必有
D(w*)=D(w**),
因为,凸优化问题的局部最优解为全局最优解。
同时,根据定理2,对于任意θ∈[0,1],由目标函数D的严格凸性可以做如下推导
D[θw*+(1-θ)w**]<θD(w*)+(1-θ)D(w**)=D(w*).
即,D[θw*+(1-θ)w**]<D(w*)。这与w*和w**同时是可行域G上两个最优解的论述相矛盾。
因而,由式(17)、(18)和(19)所确定的非线性规划问题,其最优解存在且唯一。
定理4:由式(17)、(18)和(19)所确定的非线性规划问题的最优解是
= ,j=1,2,…,n
证明:构造如下Largrange函数
L(w,λ)= +λ
其中,λ为Largrange乘子。
根据著名的KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件,令 =0和 =0,分别可得
2wj +λ=0,j=1,2,…,n
wj-1=0
联立求解以上两式,可得
λ*=-
= ,j=1,2,…,n
即为由式(17)、式(18)和式(19)所确定的非线性规划问题的最优解,证明完毕。
2.4 方案排序
备选方案xi,i=1,2,…,m与加权决策矩阵G的负理想解间的欧氏距离测度可以表示为
=
其中,d(hij, )为犹豫模糊数的欧氏距离测度, 的定义见式(12)。
根据式(13)和式(21),可以计算每个备选方案与加权决策矩阵G正理想解间的相对贴近度,其定义为
CI(xi)=
显然,有0≤CI(xi)≤1,i=1,2,…,m,当CI(xi)的值接近于1时,方案xi距离正理想解更近,同时距离负理想解更远。因此,根据相对贴近度CI(xi)的值,可以确定所有备选方案的排序,从中选出最优方案。引入相对贴近度的目的,是使方案排序算法更具客观性和稳定性。
根据备选方案xi与加权决策矩阵G正理想解间相对贴近度的大小,可以对方案集X={x1,x2,…,xm}进行优劣排序,进而选出最优方案。
算法1 备选方案优劣排序算法:
Step1:收集整理决策者给出的犹豫模糊评价信息,并进行必要的一致规范化处理,得到如式(9)所示的规范化犹豫模糊决策矩阵M;
Step2:根据式(16),计算得到中间参数 ,j=1,2,…,n;
Step3:根据式(20),计算出各属性权重 ,j=1,2,…,n;并根据式(10)得到加权决策矩阵G;
Step4:根据式(13)和(21),计算备选方案xi,i=1,2,…,m与加权决策矩阵G的正、负理想解间的距离测度di和 ;
Step5:根据式(22),计算出各方案的相对贴近度CI(xi),i=1,2,…,m;
Step6:根据相对贴近度值的大小,对方案集中的备选方案xi,i=1,2,…,m进行优劣排序。
3 算例分析
3.1 问题描述
现代战争中,作战方案的质量是联合制胜的重要保证。在统一的衡量标准下,对多个作战方案进行鉴别、比较,能够实现多个方案的优劣排序,进而选出最优作战方案。
假设某军事决策组拟从5个备选作战方案{x1,x2,x3,x4,x5}中择优选择1个。为了选择出最优的作战方案,该决策组提出了4个评价属性{a1,a2,a3,a4}:分别表示作战方案的实施成本、作战方案本身的合理性、实施方案的潜在收益、以及实施该方案的潜在风险。其中,属性a1,a4为成本型属性,属性a2,a3为效益型属性。属性权重向量w=(w1,w2,w3,w4)T未知,且满足非负和归一条件。决策者的评价信息以犹豫模糊决策矩阵的形式给出(见表1 ):矩阵的犹豫模糊元素{0.3,0.5,0.6}表示评估组在评估方案x1满足属性a1的程度上意见不一致,其评估值可能是0.3、也可能是0.5或0.6。
表1 犹豫模糊决策矩阵A |
| a1 | a2 | a3 | a4 | |
|---|---|---|---|---|
| x1 | {0.3,0.5,0.6} | {0.7} | {0.45,0.5,0.6} | {0.1,0.15,0.2} |
| x2 | {0.4,0.5,0.6} | {0.7,0.8,0.9} | {0.45,0.55,0.6} | {0.3,0.4} |
| x3 | {0.6} | {0.6,0.9} | {0.45,0.55,0.7} | {0.2,0.3,0.4} |
| x4 | {0.4,0.6,0.7} | {0.4,0.5,0.6} | {0.9} | {0.7,0.75,0.85} |
| x5 | {0.2,0.3,0.4} | {0.3,0.4,0.5} | {0.4,0.5} | {0.3,0.55,0.6} |
3.2 决策矩阵一致规范化
根据2.2节所述的犹豫模糊矩阵一致规范化方法,首先将决策矩阵A中的成本型属性a1,a4转化成效益型属性;然后,按照风险厌恶的规则[11],通过重复增加元素个数较少的犹豫模糊数中的最小元素,使得决策矩阵中的所有犹豫模糊数具有相同的元素个数,并且其内所有元素按增序进行排列,结果如表2 所示。
表2 规范化的犹豫模糊决策矩阵M |
| a1 | a2 | a3 | a4 | |
|---|---|---|---|---|
| x1 | {0.4,0.5,0.7} | {0.7,0.7,0.7} | {0.45,0.5,0.6} | {0.8,0.85,0.9} |
| x2 | {0.4,0.5,0.6} | {0.7,0.7,0.9} | {0.45,0.55,0.6} | {0.6,0.6,0.7} |
| x3 | {0.4,0.4,0.4} | {0.6,0.6,0.9} | {0.45,0.55,0.7} | {0.6,0.7,0.8} |
| x4 | {0.3,0.4,0.6} | {0.4,0.5,0.6} | {0.9,0.9,0.9} | {0.15,0.25,0.3} |
| x5 | {0.6,0.7,0.8} | {0.3,0.4,0.5} | {0.4,0.4,0.5} | {0.4,0.45,0.7} |
根据式(11)的运算规则,可知决策矩阵M的正理想解为
u+={H{0.6,0.7,0.8},H{0.7,0.8,0.9},
H{0.9,0.9,0.9},H{0.8,0.85,0.9}};
根据式(12)的运算规则,可知决策矩阵M的负理想解为
u-={H{0.3,0.4,0.4},H{0.3,0.4,0.5},
H{0.4,0.4,0.5},H{0.15,0.25,0.3}}
3.3 属性权重确定
根据式(4),首先计算出各备选作战方案属性值到决策矩阵M正理想解的距离测度集{d(hij, )},如表3 所示。
表3 各方案到决策矩阵M正理想解的距离集 |
| a1 | a2 | a3 | a4 | |
|---|---|---|---|---|
| x1 | 0.1732 | 0.1291 | 0.3884 | 0 |
| x2 | 0.2000 | 0 | 0.3719 | 0.2179 |
| x3 | 0.3109 | 0.1291 | 0.3488 | 0.1555 |
| x4 | 0.2708 | 0.3000 | 0 | 0.6171 |
| x5 | 0 | 0.4000 | 0.4690 | 0.3464 |
然后,根据式(16)可以计算出辅助函数的函数值e1=0.4899,e2=0.5323,e3=0.7943,e4=0.7566。
最后,根据式(20)可以计算出各属性的权重 =0.3778, =0.3200, =0.1437, =0.1584。
3.4 作战方案排序
根据2.4节所述的备选方案优劣排序算法,本节按照以下5个步骤对各备选作战方案进行优劣排序。
Step1:根据式(13),计算各备选作战方案xi(i=1,2,…,m)与加权决策矩阵G正理想解间的距离测度di,结果如表4 所示。
表4 各方案到加权决策矩阵G正理想解的距离测度 |
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
|---|---|---|---|---|
| 0.0954 | 0.0988 | 0.1365 | 0.1710 | 0.1547 |
Step2:根据式(4),计算各备选作战方案属性值到决策矩阵M负理想解的距离测度集di{d(hij, )},结果如表5 所示。
表5 各方案属性值到矩阵M负理想解的距离测度集 |
| a1 | a2 | a3 | a4 | |
|---|---|---|---|---|
| x1 | 0.1915 | 0.3109 | 0.0866 | 0.6171 |
| x2 | 0.1414 | 0.4000 | 0.1080 | 0.4021 |
| x3 | 0.0577 | 0.3109 | 0.1472 | 0.4673 |
| x4 | 0.1155 | 0.1000 | 0.4690 | 0 |
| x5 | 0.3367 | 0 | 0 | 0.2958 |
Step3:根据式(21),计算各备选作战方案xi(i=1,2,…,m)与加权决策矩阵G负理想解间的距离测度 ,结果如表6 所示。
表6 各方案到加权决策矩阵G负理想解的距离测度 |
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
|---|---|---|---|---|
| 0.1576 | 0.1534 | 0.1277 | 0.0864 | 0.1355 |
Step4:根据式(22),计算各备选作战方案xi(i=1,2,…,m)与加权决策矩阵G正理想解间的相对贴近度,结果如表7 所示。
表7 各方案到加权决策矩阵G正理想解的相对贴近度 |
| CI(x1) | CI(x2) | CI(x3) | CI(x4) | CI(x5) |
|---|---|---|---|---|
| 0.6229 | 0.6083 | 0.4833 | 0.3358 | 0.4669 |
Step5:根据相对贴近度的大小,对各备选作战方案xi(i=1,2,…,m)排序如下:
x1≻x2≻x3≻x5≻x4。
根据排序结果可知,第1种作战方案为最优,第4种作战方案为最劣。
3.5 比较分析
为对本文方法的有效性进行说明,这里对同一算例的计算结果与其他两种不同决策方法所得到的结果相比较,结果如表8 所示。
表8 不同决策方法的结果比较 |
| 本文方法 | 文献[11] | 文献[12] | |
|---|---|---|---|
| x1 | 0.6229 | 0.92477 | 1.00000 |
| x2 | 0.6083 | 0.91239 | 0.79262 |
| x3 | 0.4833 | 0.60769 | 0.38715 |
| x4 | 0.3353 | 0.20740 | 0.00000 |
| x4 | 0.4669 | 0.16308 | 0.02528 |
4 结束语
本文针对不确定条件下的作战方案优选问题,提出了一种基于客观赋权的模糊优选方法。该方法以逼近理想解算法为思想基础,以属性权重向量求解为中心环节,以非线性规划为主要数学工具,具有论证过程清晰严谨、算法简明有效的特点。数值实验表明,该算法能够有效避免了属性权重向量求解过程中的决策者的主观因素影响,具有逻辑清晰、客观实在、操作简单的特点。同时,通过和其他已有算法的比较,也从侧面上证明了论文所提算法的有效性。