中国指挥与控制学会会刊 
随着海战不断升级和舰船近程防御武器系统的不断发展,为了提升反舰导弹武器系统的作战效能,要求反舰导弹在末端攻击时刻以期望角度攻击舰船目标的脆弱部分,充分发挥战斗部的打击效果[1-2]。因此,研究带有落角约束的反舰导弹制导策略具有重要意义。
近年来,由于现代控制理论的快速发展,使得非线性控制方法在飞行器制导控制领域得到广泛应用[3⇓-5]。文献[4-5]以固定目标为攻击对象,设计了满足攻击角度约束的最优制导律。对于拦截低速目标,文献[6]针对导弹攻击舰船制导问题,设计了带有攻击角约束的滑模制导律。针对大机动目标的末端拦截问题,文献[7-8]通过在制导律中引入切换增益来补偿目标加速度,设计了能够满足对目标全向攻击的滑模制导律。实际制导过程中,由于导弹自动驾驶仪存在动态延迟特性,使得导弹实际提供的加速度与期望加速指令在时间上不能同步,将严重影响制导精度,尤其在目标存在机动的情况下。因此,有必要对考虑自动驾驶仪动态特性的制导策略进行研究,以保证较高的制导精度。文献[9⇓-11]将导弹自动驾驶仪动态特性近似为一阶惯性环节,提出了能够有效补偿导弹动态延迟特性的制导律。文献[12⇓-14]基于观测器和滑模控制理论,设计了考虑导弹一阶动态延迟特性的制导律,同时能够以期望的角度攻击目标。另外,由于执行机构所提力或力矩需要满足一定物理约束条件,因此,研究带有输入约束的反舰导弹制导律具有实际工程意义。文献[15]通过引入Nussbaum函数,设计了抗饱和的动态面制导律,但没有考虑自动驾驶仪的动态延迟特性。文献[16-17]同时考虑输入受限约束和自动驾驶仪动态特性,基于辅助系统和反步法,设计了自适应反步抗饱和制导律,但没有考虑攻击角度约束条件。
本文以反舰导弹攻击舰艇目标为背景,利用终端滑模控制理论、自适应控制和辅助系统,设计了自适应抗饱和滑模制导律,借助李雅普诺夫函数进行稳定性证明可得,所提出的制导律在满足输入受限约束条件的同时具有较高的制导精度。
1 制导模型
将导弹和目标舰艇视为质点运动,其相对运动示意图如图1 所示。在二维空间内导弹-目标的相对运动方程如下[14]。
其中,M和T分别表示反舰导弹和舰船目标,r和 分别表示弹目之间的相对距离及其导数,ϕm和ϕt分别为导弹和舰船目标的速度方向角,θm和θt分别为导弹和舰船目标的前置角,Vm和Vt分别表示导弹速度和舰船目标速度。
对式(2)求导,并整理可得
=- - + ω
其中,ω=at+ sinθm- sinθt,am=Vm cosθm,分别为导弹在视线法向上的分量和目标扰动。
为充分发挥战斗部效能,希望反舰导弹以期望的角度攻击目标,令状态变量x1=q(t)-qd,x2= (t),其中,qd为期望的攻击角度。则制导系统方程可整理为
导弹自动驾驶仪的动态特性近似为一阶惯性环节
=- am+ u
令x3=am,结合(4)和(5),则制导系统可整理为
控制目标:通过设计制导律u使得变量x1和x2趋于零,即有q→qd, →0,则实现了反舰导弹以期望的攻击角度命中舰船目标。
2 制导律设计
基于滑模控制理论、自适应算法和辅助系统,分别设计了带有落角约束的反舰导弹制导律和抗饱和的自适应滑模制导律,使得反舰导弹在保证足够小脱靶量的同时,又以指定的碰撞角度来打击目标。
定义线性滑模面
s1=c1x1+x2
其中,c1为正常数。
根据式(7),定义非奇异终端滑模面
s2= +αs1+βf(s1)
r1=(2-r)ηr-1
r2=(r-1)ηr-2
其中,r、η、α和β为正常数,并且0<r<1。
对式(8)求导
$\begin{matrix} & {{\overset{\cdot }{\mathop{s}}\,}_{2}}={{\overset{\ddot{\ }}{\mathop{s}}\,}_{1}}+\alpha \text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\overset{\cdot }{\mathop{s}}\,}_{1}}+\beta \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\dot{f}\left( {{s}_{1}} \right)={{c}_{1}}\left( -\frac{2\overset{\cdot }{\mathop{r}}\,}{r}{{x}_{2}}+\frac{1}{r}{{x}_{3}}+\frac{1}{r}\omega \right)+ \\ & \frac{\overset{\cdot }{\mathop{r}}\,{{x}_{3}}-{{\overset{\cdot }{\mathop{x}}\,}_{3}}r}{{{r}^{2}}}+\frac{r\overset{\cdot }{\mathop{\omega }}\,-\overset{\cdot }{\mathop{r}}\,\omega }{{{r}^{2}}}+\frac{-2\left( \overset{\ddot{\ }}{\mathop{r}}\,{{x}_{2}}+\overset{\cdot }{\mathop{r}}\,{{\overset{\cdot }{\mathop{x}}\,}_{2}} \right)r+2{{\overset{\cdot }{\mathop{r}}\,}^{2}}{{x}_{2}}}{{{r}^{2}}}+ \\ & \alpha \text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\overset{\cdot }{\mathop{s}}\,}_{1}}+\beta \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\dot{f}\left( {{s}_{1}} \right)=-\frac{2r\left( {{c}_{1}}\overset{\cdot }{\mathop{r}}\,+\overset{\ddot{\ }}{\mathop{r}}\, \right)+6{{\overset{\cdot }{\mathop{r}}\,}^{2}}}{{{r}^{2}}}{{x}_{2}}+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{3\overset{\cdot }{\mathop{r}}\,-{{c}_{1}}r}{{{r}^{2}}}{{x}_{3}}+ \\ & \frac{1}{r\tau }{{x}_{3}}-\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{1}{r\tau }u+d+\alpha \text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\overset{\cdot }{\mathop{s}}\,}_{1}}+\beta \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\dot{f}\left( {{s}_{1}} \right) \\ \end{matrix}$
其中,d= 。
为了便于制导策略的设计,给出以下相关引理和假设。
引理1[3]:针对系统 =f(x,u),其中,x是系统状态,u为控制输入,若存在连续可微函数V,并且满足条件:
ⅰ) V为正定函数;
ⅱ) 存在正实数c>0和ε∈(0,1)和0<σ<∞,以及一个包含原点的开邻域U⊂U0,使得 ≤-cVε+δ成立。
则系统为实际有限时间稳定的。
假设1:在方程(12)中干扰d存在未知上界,即干扰d满足不等式|d|≤dM,其中,dM为未知正常数。
当考虑输入受限时,则系统(6)中第三个方程可重写为
x3+ sat(u )
为了处理输入饱和问题,一种新的辅助控制系统形式给出如下
其中,Δu=u-uc,u饱和控制输入,uc为待设计的控制输入,η为辅助系统状态量,kη1,kη2和σ为正常数,0<γ<1。
利用式(14)和自适应技术,设计自适应抗饱和的滑模制导律如下
$u_{c}=r \tau\left(\begin{array}{l} k_{1} s_{2}+k_{2} s i g^{\rho}\left(s_{2}\right)+\phi \dot{s}_{1}+\beta_{1} \dot{f}\left(s_{1}\right)-k_{\eta} \eta+\frac{1}{r \tau} x_{3} \\ -\tau \frac{2 r\left(c_{1} \dot{r}+\ddot{r}\right)+6 \dot{r}^{2}}{r} x_{2}+\frac{3 \dot{r}-c_{1} r}{r}+\frac{\hat{d}_{h} s_{2}}{2 \varepsilon^{2}} \end{array}\right)$
$\dot{\hat{d}}_{h}=\gamma_{1}\left(\frac{s_{2}^{2}}{2 \varepsilon^{2}}-\gamma_{2} \hat{d}_{h}\right)$
其中,kη为正常数, $ \hat{d}_{h}=d_{M}^{2}$。
定理1:考虑制导系统(6)满足假设条件1时,滑模面选取式(8),在制导律式(15)作用下,使得系统滑模面s2在有限时间内收敛如下区域Δs2,进而,制导系统状态x1和x2为最终一致有界稳定的。
证明:选择李雅普诺夫函数如下
$V_{1}=\frac{1}{2} s_{2}^{2}+\frac{1}{2 \gamma_{1}} \tilde{d}_{h}^{2}+\frac{1}{2} \eta^{2}$
其中, $\tilde{d}_{h}=d_{h}-\hat{d}_{h}$。
对式(17)求导可得
$\begin{gathered} \dot{V}_{1}=s_{2} \dot{s}_{2}+\frac{1}{\gamma_{1}} \tilde{d}_{h} \dot{\tilde{d}}_{h}+\eta \dot{\eta}= \\ s_{2}\left(-\frac{2 r\left(c_{1} \dot{r}+\ddot{r}\right)+6 \dot{r}^{2}}{r^{2}} x_{2}+\frac{3 \dot{r}-c_{1} r}{r^{2}} x_{3}\right)+ \\ s_{2}\left(\frac{1}{r \tau} x_{3}-\frac{1}{r \tau}\left(u_{c}+\Delta u\right)\right)+ \\ s_{2}\left(d+\alpha \dot{s}_{1}+\beta \dot{f}\left(s_{1}\right)\right)+\frac{1}{\gamma_{1}} \tilde{d}_{h} \dot{\tilde{d}}_{h}+\eta \dot{\eta}= \\ s_{2}\left(-k_{1} s_{2}-k_{2} \operatorname{sig}^{\rho}\left(s_{2}\right)\right)+s_{2}\left(d-\frac{\hat{d}_{h} s_{2}}{2 \varepsilon^{2}}\right)- \\ \frac{1}{r \tau} s_{2} \Delta u-k_{\eta} s_{2} \eta+\frac{1}{\gamma_{1}} \tilde{d}_{h} \dot{\tilde{d}}_{h}-k_{\eta 1} \eta^{2}+ \\ \eta\left(-\frac{\left|s_{2} \Delta u / r \tau\right|+0.5 \Delta u^{2}}{|\eta|^{2}}+\Delta u-k_{\eta 2} \operatorname{sig}^{\gamma}(\eta)\right) \leqslant \\ -k_{1} s_{2}^{2}-k_{2} s_{2} \operatorname{sig}^{\rho}\left(s_{2}\right)-k_{\eta 1} \eta^{2}-k_{\eta 2} \eta \operatorname{sig}^{\gamma}(\eta)- \\ k_{\eta} s_{2} \eta-\frac{1}{r \tau} s_{2} \Delta u+\left|s_{2} \frac{1}{r \tau} \Delta u\right|-k_{\eta} s_{2} \eta-\frac{1}{2} \Delta u^{2}+ \\ \left|s_{2}\right||d|-\frac{\hat{d}_{h} s_{2}^{2}}{2 \varepsilon^{2}}-\tilde{d}_{h} \frac{s_{2}^{2}}{2 \varepsilon^{2}}-\gamma_{2} \tilde{d}_{h}^{2}+\gamma_{2} \tilde{d}_{h} d_{h}-\eta \Delta u \end{gathered}$
根据
s2Δu- ≤0
kηs2η+ηΔu≤ kη + (kη+1)η2+ Δu2
$\left|s_{2}\right||d| \leqslant \frac{d_{h}\left|s_{2}\right|^{2}}{2 \varepsilon^{2}}+\frac{\varepsilon^{2}}{2}, \tilde{d}_{h} d_{h} \leqslant \frac{\tilde{d}_{h}^{2}}{2}+\frac{d_{h}^{2}}{2}$
根据式(19)、(20)和(21),式(18)可整理为
$\begin{aligned} &\dot{V}_{1} \leqslant-\left(k_{1}-\frac{k_{\eta}}{2}\right) s_{2}^{2}-k_{2} s_{2} \operatorname{sig}^{\rho}\left(s_{2}\right)-k_{\eta 2} \eta \operatorname{sig}^{\gamma}(\eta)- \\ &\left(k_{\eta 1}-\frac{1}{2}\left(k_{\eta}+1\right)\right) \eta^{2}-\frac{\gamma_{2}}{2} \tilde{d}_{h}^{2}+\frac{\varepsilon^{2}}{2}+\frac{\gamma_{2}}{2} d_{h}^{2} \leqslant \\ &-\left(k_{1}-\frac{k_{\eta}}{2}\right) s_{2}^{2}-\left(k_{\eta 1}-\frac{1}{2}\left(k_{\eta}+1\right)\right) \eta^{2}-\frac{\gamma_{2}}{2} \tilde{d}_{h}^{2}+ \\ &\frac{\varepsilon^{2}}{2}+\frac{\gamma_{2}}{2} d_{h}^{2} \leqslant-\Pi_{1} V_{3}+\psi_{1} \end{aligned}$
其中,Π1=min{2(k1-kη/2),2(kη1-(kη+1)/2)},ψ1=(ε2+γ2 )/2。
根据式(22)可知,s2和 为最终一致有界的,即存在正常数ℓ,满足| |≤ℓ。
选择李雅普诺夫函数如下
V2= + η2
对式(23)求导,并代入式(15)整理可得
$\begin{aligned} &\dot{V}_{2} \leqslant s_{2}\left(-k_{1} s_{2}-k_{2} \operatorname{sig}^{\rho}\left(s_{2}\right)\right)+s_{2}\left(d-\frac{\hat{d}_{h} s_{2}}{2 \varepsilon^{2}}\right)- \\ &k_{\eta 1} \eta^{2}-k_{\eta 2} \eta \operatorname{sig}^{\gamma}(\eta)-k_{\eta} s_{2} \eta-\frac{1}{2} \Delta u^{2}-\eta \Delta u- \\ &k_{\eta} s_{2} \eta\left(-\frac{1}{r \tau} s_{2} \Delta u-\left|s_{2} \frac{1}{r \tau} \Delta u\right|\right) \leqslant \\ &-\left(k_{1}-\frac{k_{\eta}}{2}\right) s_{2}^{2}-k_{2} s_{2} \operatorname{sig}^{\rho}\left(s_{2}\right)-k_{\eta 2} \eta \operatorname{sig}{ }^{\gamma}(\eta)- \\ &\left(k_{\eta 1}-\frac{1}{2}\left(k_{\eta}+1\right)\right) \eta^{2}+\frac{\ell s_{2}^{2}}{2 \varepsilon^{2}}+\frac{\varepsilon^{2}}{2} \leqslant \\ &-\left(k_{1}-\frac{k_{\eta}}{2}-\frac{\ell}{2 \varepsilon^{2}}-\frac{\varepsilon^{2}}{2 s_{2}^{2}}\right) s_{2}^{2}-k_{2} s_{2} \operatorname{sig}^{\rho}\left(s_{2}\right)- \\ &\left(k_{\eta 1}-\frac{1}{2}\left(k_{\eta}+1\right)\right) \eta^{2}-k_{\eta 2} \eta \operatorname{sig}(\eta) \leqslant \\ &-\Pi_{2} V_{2}-\min \left\{2^{(1+\rho) / 2} k_{2}, 2^{(1+\gamma) / 2} k_{\eta 2} \eta \operatorname{sig}\right\} V_{2}^{(1+\min (\rho, \gamma)) / 2} \end{aligned}$
其中, $\Pi_{2}=\min \left\{2\left(k_{1}-\frac{k_{\eta}}{2}-\frac{\ell}{2 \varepsilon^{2}}-\frac{\varepsilon^{2}}{2 s_{2}^{2}}\right), \quad 2\left(k_{\eta 1}-\frac{1}{2}\left(k_{\eta}+1\right)\right)\right\}$。根据引理1可知,系统滑模面s2在有限时间收敛到区域|s2|≤Δs2=。根据参考文献[2]可得,系统状态x1和x2为最终一致有界稳定的。
注1:将舰船运动和外界干扰视为未知有界的外界干扰,从制导律(15)可以看出,通过引入自适应参数 估计干扰的上界来避免对干扰上界的先验要求。
注2:通过在制导律设计过程中引入辅助系统(14),使得能够处理执行器存在对称和非对称情形,更贴近实际工程情形。
3 仿真分析
为了验证所提出的制导策略(15)的有效性,假设导弹速度为Vm=330 m/s,其加速度幅值限制在10g,其中,g=9.81 m/s2;目标速度Vt=20 m/s。假设末制导初始时刻,弹目距离为r=3 000 m,视线角为θL=30°,导弹弹道倾角为θm=30°。
为表明所设计制导律有效性,分别针对以下目标两种机动形式进行仿真分析。
情况1:at=2g的常值机动;
情况2:at=2gcos(πt/4)的余弦机动。
制导参数选取:k1=0.25,k2=0.5,k3=0.2,k4=0.5,k5=0.55,δ=0.7,c=1.25,η1=2.4,γ=0.02,p=0.02和μ=0.2。导弹自动驾驶仪动态延迟的时间常数为0.5 s,其仿真结果如图2 -图7 所示。
由上述仿真结果表明,当系统模型满足假设1条件下,即系统在考虑输入受限和未知上界干扰的情形下,在自适应抗饱和制导律(15)的作用下,以期望的攻击角命中目标且具有较高的制导精度,这也验证了针对舰船目标作两种机动时定理1的有效性。
4 结束语
本文针对带有落角约束的反舰导弹制导问题进行研究分析,设计了考虑导弹动态驾驶仪特性和落角约束自适应抗饱和的滑模制导律,主要结论如下:
1)给出了带有落角约束和导弹自动驾驶仪动态特性的二维平面制导系统模型;
2)在线性滑模面的基础上,构建非奇异终端滑模面,通过利用自适应算法在线估计目标扰动上界的值,设计了自适应终端滑模制导律,并借助于李雅普诺夫定理给出了所设计制导策略稳定性证明;
3)对所设计的制导方案进行了数字模拟仿真,进一步验证了所设计制导策略的有效性。