基于弹道重构的脱靶量分析

李殿元; 钱龙军

doi:10.3969/j.issn.1673-3819.2019.04.026

指挥控制与仿真 >

2019 , Vol. 41 >Issue 4: 135 - 140

DOI: https://doi.org/10.3969/j.issn.1673-3819.2019.04.026

工程实践

基于弹道重构的脱靶量分析

李殿元 ,
钱龙军

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南京理工大学, 江苏南京 210094

作者简介：李殿元(1990—),男,内蒙古赤峰人,硕士,研究方向为飞行器制导。

钱龙军(1964—),男,教授,硕士生导师。

收稿日期: 2018-07-17

修回日期: 2018-07-24

网络出版日期: 2022-05-19

收起

Analysis of Miss Distance Based on Ballistic Reconstruction

LI Dian-yuan ,
QIAN Long-jun

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Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China

Received date: 2018-07-17

Revised date: 2018-07-24

Online published: 2022-05-19

Fold

摘要

为满足高炮射击时脱靶量分析的需要,提出了一种基于射表的弹道重构方法,即利用射表数据、以射角和弹丸飞行时间为自变量重新构建弹丸在大地三维空间中的飞行轨迹。然后,以卡斯高炮射表为例,利用弹道重构的方法对高炮着发射击的脱靶量和命中概率进行蒙特卡洛打靶仿真分析。由于弹道重构方法能够客观、准确地描述弹丸与目标的相遇过程,并给出计算脱靶量的可行算法,为高炮射击的精度分析提供了一个实用的工具。

关键词： 射表; 射击诸元; 弹道重构; 脱靶量; 命中概率

本文引用格式

李殿元 , 钱龙军 . 基于弹道重构的脱靶量分析[J]. 指挥控制与仿真, 2019 , 41(4) : 135 -140 . DOI: 10.3969/j.issn.1673-3819.2019.04.026

Abstract

In order to meet the needs of the miss distance analysis in antiaircraft gun shooting, this article proposes a ballistic reconstruction method based on firing table, where the 3-D flight trajectory of the projectile is reconstructed by using the table data in term of shooting angle and flight time. Then, taking the firing table of antiaircraft gun of CASS as an example, the results of ballistic reconstruction are used in simulation to analyze the miss distance and hit probability of the shooting. Because this ballistic reconstruction method can describe the encounter process between the projectile and the target objectively and accurately, a feasible algorithm for calculating the miss distance is derived, which could be applied as a practical tool in the study and analysis of antiaircraft artillery shooting precision.

Key words： firing table; firing parameter; ballistic reconstruction; miss distance; hit probability

在高炮武器系统射击精度试验中,脱靶量是最重要的检测项目之一, 其大小直接影响弹丸对目标的命中概率和毁伤效果。在这期间,根据实测的弹道轨迹数据和目标航路数据,可以很方便地检测弹丸的脱靶量,从而获得客观的射击精度分析结果。

目前,弹道轨迹的建模方法可以分为基于理论弹道方程组的建模方法和基于射表的建模方法^[1]。相比弹道方程,射表在火控系统中应用更加广泛,为了便于应用,它被制成弹道局部信息关于发射条件的表格函数,但不能直接给出满足某个发射条件的整条弹道数据。由于射表建立的是命中点与射击诸元的对应关系,即通过目标命中点的坐标位置(目标水平距离、目标高度)直接查询或计算火炮的射击诸元(高低角,方位角、弹丸飞行时间),从而避免了通过弹道微分方程求解射击诸元的繁复过程^[2]。这是射表数据的常用方法,同样也可以从火炮射角和方位角出发计算在不同的飞行时间弹丸所在空间的位置, 即弹丸飞行的水平距离和高度,这里把根据射表数据建立弹丸飞行轨迹的过程称为弹道重构。

在现实应用中,往往需要火控系统提供弹道的轨迹数据,如陆军指挥系统空域管理模块需要高炮弹道轨迹数据与其他空域使用单位的数据进行冲突检测,或使用弹道轨迹数据与数字地理信息系统进行遮蔽判断等^[3-4]。而通过弹道重构能够拟合出一条完整的弹丸轨迹,清晰地再现了弹丸运动的全过程,为弹道的使用提供了方便。而且在计算脱靶量时能清楚地知道弹丸所处的空间位置,提高了解算精度,使其成为一种计算脱靶量的可行方法。

1 弹道重构的一般方法

1.1 重构方法

通常情况下,火炮基本射表的二元表格函数是以斜距离D和武器线高低角ε为自变量的,但是由于不同武器其性能和使用方法不同,相应射表的格式也不存在统一的规范。假设以D、ε为自变量的二元表格函数为

(1)

t f (i) = f t f (D i, ε i) α (i) = f α (D i, ε i)

, i=1,2,…,n

由于

(2)d=D·cosε,h=D·sinε,

故二元表格函数可转化为如下形式

(3)

t f (i) = f t f (d i, h i) α (i) = f α (d i, h i)

, i=1,2,…,n

其中,

t f (i)

、α⁽ⁱ⁾分别为射表中弹丸的飞行时间和火炮抬高角;

f t f

、f_α分别为弹丸飞行时间的拟合函数和火炮抬高角的拟合函数;d_i、h_i分别为弹丸水平距离和高度;n表示射表二元表格函数的数据组数,一般n是一个很大的自然数。不失一般性,无论采用哪种形式,射表函数之间均可以进行相应的转化。

为了进行弹道重构,考虑把(φ,t_f)作为自变量,(d,h)作为函数值,建立二元表格函数,其中的原理是相同的。这样就可以在炮口地理坐标系^[5]中建立以射角φ发射,在t时刻弹丸飞行水平距离x(φ,t)与飞行高度的拟合函数为z(φ,t)

(4)x(φ,t)=

∑ k = 0 N ∑ l = 0 N - k α k, l (x)

φ - φ 0 φ 0 k t - t 0 t 0 l

z(φ,t)=

∑ k = 0 N ∑ l = 0 N - k α k, l (y)

φ - φ 0 φ 0 k t - t 0 t 0 l

φ为火炮射角,t为弹丸飞行时间;(φ₀,t₀)为拟合中心,一般φ₀=

12

φ_max,t₀=

12

t_max,(φ_max,t_max)为射表自变量φ和t的最大值。拟合函数的理想是寻找(N+2)(N+1)/2个拟合参数

α k, l (x)

α k, l (y)

分别满足如下方程

(5)

d_i= $∑ k = 0 N ∑ l = 0 N - k α k, l (x)$ $α (i) + a r c t a n (h i / d i) - φ 0 φ 0 k t f (i) - t 0 t 0 l$

h_i= $∑ k = 0 N ∑ l = 0 N - k α k, l (y)$ $α (i) + a r c t a n (h i / d i) - φ 0 φ 0 k t f (i) - t 0 t 0 l$

i=1,2,…,n

由于(N+2)(N+1)/2≪n,所以方程(5)是一个以

α k, l (x)

α k, l (y)

为未知量的超定线性代数方程,其形式为

(6)A_n_×(_N₊₂₎₍_N₊₁₎_/₂X₍₍_N₊₂₎₍_N₊₁₎_/_2)×2=B_n_×2

其中,

1 … α (1) + a r c t a n h 1 d 1 - φ 0 φ 0 N ︙ ︙ ︙ 1 … α (n) + a r c t a n h n d n - φ 0 φ 0 N n × (N + 2) (N + 1) / 2

α 0,0 (x) α 0,0 (y) ︙ ︙ α N, 0 (x) α N, 0 (y) ((N + 2) (N + 1) / 2) × 2

,B=

d 1 h 1 ︙ ︙ d n h n n × 2

根据最小二乘法原理,弹丸飞行水平距离x(φ,t)与飞行高度的拟合函数z(φ,t)的待定拟合系数为

(7)

α 0,0 (x) α 0,0 (y) ︙ ︙ α N, 0 (x) α N, 0 (y) ((N + 2) (N + 1) / 2) × 2

A g - 1

d 1 h 1 ︙ ︙ d n h n n × 2

其中,

A g - 1

是矩阵A的广义逆矩阵。

在应用中,弹道一般以地理坐标系为基准,设地地理坐标系与炮口地理坐标系的原点重合,假设火炮射击的方位角为β,则对式(4)表示的坐标,做一个旋转变换,就得到了弹道在地理坐标系中的坐标

(8)

x 1 y 1 z 1

c o s β - s i n β 0 s i n β c o s β 0 001 x y z

通过这样的方法,弹丸的轨迹便重构出来了。

1.2 重构函数拟合效果的判断

在用最小二乘法进行数据拟合过程中,本文采用的是误差平方和最小的准则。在重构弹道时,我们以误差的均方根作为判断拟合准确度的准则,即

(9)Δ=

1 n ∑ i = 0 n [f (t f (i), α (i)) - f ˙ (t f (i), α (i))] 2

≤ε

只有当Δ不大于给定的允许误差时,认为拟合函数符合精度要求。本文采用“卡斯-19”式100 mm高射炮对空射表数据为例,重构出水平距离d和高度h的拟合系数,并用均方根误差判断其准确度,如表1、表2所示,经过计算得到d和h的均方根误差分别为σ_d=0.978 5 m,σ_h=0.972 8 m,而射表中给出的d和h的表格数据精确到个位,故重构函数的拟合精度满足要求。

表1 水平距离d的拟合系数

k/l	0	1	2	3	4	5	6	7
0	8 685.37	6 313.02	-952.42	942.214	-401.70	-292.45	-88.287	271.49
1	-5 793.06	-3 144.28	1 324.67	-893.61	519.46	36.019	-36.809
2	-3 595.67	-3 692.45	-376.38	-16.826	32.765	-93.354
3	461.883	178.756	-485.83	-26.182	19.585
4	258.998	360.503	577.427	163.65
5	96.973	-225.363	-153.245
6	87.599	294.767
7	-72.044

均方根误差为:σ_d=0.978 5 m

表2 高度h的拟合系数

k/l	0	1	2	3	4	5	6	7
0	6 736.99	2 675.61	-2 816.42	576.62	-275.36	70.468	-177.54	141.32
1	7 583.68	6 226.30	-584.142	375.55	-165.47	71.996	-122.812
2	-2 070.55	-848.593	766.138	-110.03	147.22	-99.937
3	-1 423.80	-1 588.65	-246.01	20.216	-52.67
4	-78.845	-281.21	-75.542	-45.411
5	307.744	105.133	37.938
6	102.055	183.047
7	-123.396

均方根误差为:σ_h=0.972 8 m

1.3 验证

对于重构出的弹丸轨迹,将给予双向验证。即按照查询射表的方法,随机给出水平距离d和高度h,利用方程(3)求出对应的时间t_f和抬高角α;再通过重构的方法用此t_f和α作为自变量,将其代入方程(5),求出对应的水平距离

d ˙

和高度

h ˙

,表3为二者拟合前后的数据对比。由表3可知,重构后的

d ˙

和

h ˙

与所给出的d和h基本吻合,它们的最大误差仅为0.078%和0.057%,相较常用的射表拟合求t_f和α的方法产生的误差0.121%和0.123%小很多,因此重构出的弹道函数可用于进一步的计算分析。

表3 重构前后的水平距离和高度

	d	1 500	2 500	3 500	4 600	5 000	6 000
水平距离	$d ˙$	1 498.83	2 501.79	3 501.35	4 598.44	5 001.93	5 998.17
高度	h	2 000	3 000	3 800	4 000	4 500	5 500
	$h ˙$	1 998.87	3 001.45	3 801.76	4 001.39	4 501.83	5 497.98

2 弹道重构下的脱靶量分析

2.1 脱靶量定义

对着发射击的弹丸而言,严格意义上的脱靶量应是弹丸与目标之间在空间的最短偏差矢量。当该向量等于零时表示弹丸命中目标,否则为“脱靶”。但是在测量实践中,这种理论上的脱靶量是难于测量的,于是衍生出几种便于测量又不会产生较大误差的等效脱靶量定义。由于脱靶量是弹目偏差或炸目偏差的总称^[5],对着发射击的弹丸而言脱靶量即为弹目偏差,本文给出一种通常意义下的弹目偏差定义,为此首先定义弹目偏差坐标系T_g-x_By_Bz_B^[6]:坐标原点为命中点T_g;v_bT为弹头相对目标的相对存速,其方向称为迎弹方向,过T_g点垂直于迎弹方向的平面称为迎弹面,记为Q。沿着v_bT的有向直线规定为弹目偏差坐标系的纵深轴y_B;过v_bT的铅垂面与迎弹面的交线规定为弹目偏差坐标系的高低轴z_B,它与地理坐标系铅锤轴z₁间的张角为锐角,方向是z_B的正方向;在迎弹面内,垂直于z_B的直线规定为弹目偏差坐标系的方位轴x_B,依右手定则从y_B旋转90°到x_B的旋转方向是x_B的正方向。显然由坐标轴x_B与z_B张成的平面是迎弹面如图1所示。

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图1 弹目偏差坐标系

弹目偏差:目标中心T_g到弹道与迎弹面的交点z_B所构成的x_B-z_B平面的矢量,记为E_B=

T g Z B ¯

,称E_B为弹目偏差,它在弹目偏差坐标系的投影为E_B=(

x E B

,0,

z E B

)^T,

x E B

z E B

分别称为弹目方位偏差和弹目高低偏差。

2.2 脱靶量计算方法

假设目标做匀速直线运动,其运动轨迹为

(10)

x m b = x m b 0 + v x · t y m b = y m b 0 + v y · t z m b = z m b 0 + v z · t

其中,(x_mb₀,y_mb₀,z_mb₀)是目标的初始位置,(v_x,v_y,v_z)是目标在速度方向上沿着各坐标轴的分量。目标航迹模型是已知的,则可以预测未来点T_g,利用命中问题的顺解法求出导弹飞行时间t_f和射击诸元方位角β和抬高角α,从而重构出地理坐标系下的标准弹道。

高射武器系统在实际射击过程中,由于跟踪系统在测定目标坐标时,指挥仪在计算射击诸元时,以及准备各种气象条件的偏差量时都存在误差;火力系统射击也存在散布误差,致使弹丸不会按照标准弹道飞向目标。本文从射击诸元误差的角度出发,分别改变其射角和方位角,计算并分析二者对弹丸脱靶量的影响。

按照弹目偏差定义计算脱靶量,求解方法如下:

1)通过解命中求出射击诸元并重构出标准的弹丸轨迹;

2)在未来点T_g(目标中心)建立弹目偏差坐标系,从其定义可知,弹目偏差坐标系是以T_g点为原点的地理坐标系经过偏航、俯仰而得。

(11)

β v b T

=arctan

v b T y v b T x

(12)

ε v b T y

=arctan

v b T z [(v b T x) 2 + (v b T y) 2] 12

其中v_bT=(

v b T x

v b T y

v b T z

)^T是v_bT在地理坐标系中的投影表示。利用重构出的标准弹道对其做差分求出轨迹上各点的速度, 再借助弹头相对目标的相对存速

(13)v_bT(t_f)=v_b(t_f)-v_T(t_f)

求出地理坐标系各轴系下的相对速度,从而确定偏航角

β v b T

和俯仰角

ε v b T

;

3)在标准的弹道射击诸元基础上,分别给定误差φ、β,按照新的射击诸元重构出实际弹道;

4)由于在弹目偏差坐标系中要计算出实际弹道与迎弹面的交点坐标,而坐标是时间的函数,难点在于如何求出弹丸飞抵迎弹面的时间。可将地理坐标系下的实际弹道转换到弹目偏差坐标系下,即:先进行一步平移变换,再经过偏航

β v b T

和俯仰

ε v b T

两次旋转即可完成。

(14)

x 2 y 2 z 2

c o s β v b T s i n β v b T 0 - s i n β v b T c o s β v b T 0 001 x 1 y 1 z 1 - x m b y m b z m b

(15)

x B y B z B

100 0 c o s ε v b T s i n ε v b T 0 - s i n ε v b T c o s ε v b T x 2 y 2 z 2

由于在迎弹面处的纵坐标为零,即y_B(t)=0,这样便找到了求解飞行时间的约束条件,时间可求,则交点坐标也迎刃而解。

3 实例仿真

本文以“卡斯-19”式100 mm高射炮对空射表为例,假定气象条件和弹道条件均为标准条件,目标做匀速直线运动,初始位置[-1 000 3 000 5 000],目标速度为[220 -200 -50]。通过解相遇算出射击诸元,并重构出其标准弹道如图2所示。

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图2 重构出的标准弹道

令诸元误差Δφ和Δβ服从正态分布,打靶次数设置为400,在Matlab14环境下进行蒙特卡洛打靶仿真,得到弹丸在迎弹面oxh内的弹着点分布情况,如图3所示。图中“o”为诸元误差下弹着点在迎弹面内的分布,“*”为分布点的均值,即期望弹着点。

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图3 迎弹面Q上的弹着点分布

二维随机向量(X₁,X₂)^T服从二维正态分布的充要条件是其两主成分(设为z₁,z₂)各自服从正态分布且相互独立^[9]。利用此结论将二维随机向量转化为两个互不相关的主成分,然后通过检验两主成分是否各自服从正态分布且相互独立来间接检验原二维随机向量是否服从二维正态分布。具体分如下两步进行:

1)分别检验假设:H₀_i: 主成分 z_i服从正态分布;H₁_i: z_i不服从(i=1,2),这可以利用Matlab软件中的相关命令进行。若有一者不服从正态分布,则可断定(X₁,X₂)^T不服从二维正态分布;若两者都通过正态性检验,则进入2);

2)检验假设H₀:z₁,z₂相互独立;H₁:z₁,z₂不独立。此假设可通过二维列联表进行检验,检验的步骤是先将z₁,z₂的取值范围分别分成r和s个互不相交的子区间,这样可得rs个互不相交的小矩形。算出样本落入每个小矩形的频数n_ij(i=1…r;j=1…s)。令

(16)n_i_·=

∑ k = 1 s

n_ik,n_·_j=

∑ k = 1 r

n_jk,n=

∑ i = 1 r

n_i_·=

∑ i = 1 r

n_·_j

则检验统计量

(17)χ²=

∑ j = 1 s ∑ i = 1 r n i j - n i · n · j / n 2 n i · n · j / n

在H₀为真时的极限分布为χ²((r-1)(s-1)),然后利用χ²检验法进行检验。若独立性也获得通过,即可认为(X₁,X₂)^T服从二维正态分布。

经计算迎弹面上的弹着点(x_i,h_i)^T,i=1…400的相关系数矩阵为

(18)R=

1.0000 0.7563 0.7563 1.0000

其特征值分别为0.2437,1.7563,对应的特征向量分别为(-0.7071,0.7071)^T,(0.7071,0.7071)^T,由此可得两主成分估计

(19)

z 1 = - 0.7071 x i + 0.7071 h i z 2 = 0.7071 x i + 0.7071 h i

由主成分表达式可求出400对数据(z_i₁,z_i₂)^T,利用Matlab提供的检验函数jbtest分别对z₁,z₂的正态性进行检验,均获得通过,并画出(z_i₁,z_i₂)^T的区间坐标分布柱状图。

从图4和图5的结果亦能得出z₁,z₂各自服从正态分布。

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图4 z₁的区间分布频率

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图5 z₂的区间分布频率

为检验两主成分的独立性,将z₁,z₂标准化为

z ˙ 1

z ˙ 2

,并在

z ˙ 1

z ˙ 2

各自取值区域上按下表分成5个区间段,这样在平面上可得25个互不相交的小矩形,计算数据(

z ˙ i 1

z ˙ i 2

)^T(i=1…400)落于每个小矩形的频数,如表4。

表4 数据( $z ˙ i 1$ , $z ˙ i 2$ )^T的区域分布频率

$z ˙ 1$ \ $z ˙ 2$	(-∞,-1)	(-1,-0.4)	(-0.4,0.4)	(0.4,1)	(1,∞)	n_i_·
(-∞,-1)	8	9	24	9	11	61
(-1,-0.4)	15	16	26	12	9	78
(-0.4,0.4)	26	22	34	20	19	121
(0.4,1)	13	14	29	12	13	81
(1,∞)	5	8	19	14	13	59
n_·_j	67	69	132	67	65	n=400

计算检验统计值,根据式(17)得χ²=12.4410。而

χ 0.05 2

(16)=26.30,

χ 0.25 2

(16)=19.37,以及

χ 0.5 2

(16)=15.34,检验统计值χ²都比它们小,这意味着在不同水平α=0.05,α=0.25以及α=0.50上都不能拒绝

z ˙ 1

z ˙ 2

的独立性假设,故认为

z ˙ 1

z ˙ 2

是独立的,从而z₁,z₂独立。

至此验证了(x_i,h_i)^T的两主成分z₁,z₂服从正态分布且相互独立,所以迎弹面上弹着点(x_i,h_i)^T服从二维正态分布。

对蒙特卡洛打靶结果进行统计分析,弹着点的数学期望值和标准差计算公式为

(20)

x - = ∑ i = 1 400 x i 400 h - = ∑ i = 1 400 h i 400 σ x = ∑ i = 1 400 (x i - x -) 2 / (400 - 1) σ h = ∑ i = 1 400 (h i - h -) 2 / (400 - 1)

则弹着点在二维平面Q上的协方差矩阵为

(21)∑_p=

σ 11 σ 12 σ 21 σ 22

其中,协方差阵中的主对角元素σ₁₁和σ₂₂分别为h向和x向的方差,即

(22)σ₁₁=

σ h 2

,σ₂₂=

σ x 2

σ₁₂和σ₂₁则为h向和x向的协方差,即

(23)σ₁₂=σ₂₁=

∑ i = 1 400 (x i - x -) (h i - h -) 400 - 1

经计算可得

(24)

x -

=0.0116,

h -

=-0.0213

(25)Σ_p=

16.2115 11.1779 11.1779 13.4738

可见其平均弹着点位于迎弹面中心,与坐标原点十分接近,在此假定散布中心位于原点不变。

由于诸元误差引起的弹着点在迎弹面内服从正态分布,依照文献[7-8]的处理方式,其分布密度为

(26)f(E_p)=

1 2 π | Σ p | 12

exp

- 12 E T p Σ p - 1 E p

将目标在迎弹面Q上的投影区作为一个方形域ν,面积为S_ABCD,各边平行坐标轴,如图6所示。

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图6 迎弹面上的二维目标域

A点坐标为A(-4,4),B点坐标为B(4,4),C点坐标为C(4,-4),D点坐标为D(-4,-4)。故可以知道矩形四条直角边的直线方程

(27)

l A B : y = 4, l B C : x = 4 l C D : y = - 4, l A D : x = - 4

对于该二维目标,取矩形右下角C点为射击指向点,坐标为E₀,故射击误差E_B为

(28)E_B=E₀+E_p

所以可计算弹丸的命中概率p为

(29)p=

∫ ∫ S A B C D

f(E_B-E₀)dE_B

将式(25)、(26)和(27)代入式(29),得

(30)p=

∫ - 4 4

∫ - 4 4

f(E_B-E₀)dy=0.1134

这样,在考虑诸元误差的条件下,利用弹道重构的方法,便计算出了高炮在迎弹面Q上的命中概率。

4 结束语

对于利用射表及其逼近函数进行火控解算的普遍做法,本文提出了依据射表和解算出的射击诸元,重新构建弹道轨迹的思路,在分别改变射角和方位角作为诸元误差的情况下进行蒙特卡洛打靶试验,计算脱靶量和命中概率。通过对仿真结果的计算和分析,证明了采用该种弹道重构方法的正确性,为高炮射击脱靶量精度分析提供了一个实用的工具。

参考文献

原文顺序 | 文献年度倒序 | 文中引用次数倒序

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Abstract

1 弹道重构的一般方法

1.1 重构方法

1.2 重构函数拟合效果的判断

表1 水平距离d的拟合系数

表2 高度h的拟合系数

1.3 验证

表3 重构前后的水平距离和高度

2 弹道重构下的脱靶量分析

2.1 脱靶量定义

图1 弹目偏差坐标系

2.2 脱靶量计算方法

3 实例仿真

图2 重构出的标准弹道

图3 迎弹面Q上的弹着点分布

图4 z1的区间分布频率

图5 z2的区间分布频率

表4 数据( z ˙ i 1, z ˙ i 2)T的区域分布频率

图6 迎弹面上的二维目标域

4 结束语

参考文献

图4 z₁的区间分布频率

图5 z₂的区间分布频率

表4 数据( $z ˙ i 1$ , $z ˙ i 2$ )^T的区域分布频率