中国指挥与控制学会会刊 
可靠性分析与评估是可靠性工程的重要组成部分,对于长期处于贮存条件下的装备而言,在进行可靠性分析和评估前,需要根据统计的寿命信息确定装备的贮存寿命分布。
目前装备寿命分布的确定大多采用多种模型拟合择优法。利用统计的装备寿命信息对常用的几种装备寿命分布进行拟合优度检验[1-2],确定最佳的寿命分布模型。文献[3⇓-5]凭借积累经验选择分布具有较大的不确定性。传统的经验分布函数检验,如最小二乘法[6]、极大似然估计法[7]和极小χ2估计拟合[8]等方法对失效数据的样本量要求较大。基于参数的Bootstrap拟合优度检验对小样本情况精度较高,但过程较为复杂[9]。
对于小样本寿命数据条件下的拟合优度检验,由于数据量较少,可能多种分布同时通过检验,且没有综合考虑模型的物理背景,效果不明显,所以小样本条件下的寿命分布需要综合考虑选择最佳的分布函数和分布的特性。
本文对常用的几种寿命分布进行极小χ2估计和拟合优度检验的基础上,综合各分布的物理背景及专家经验信息等,对通过检验的分布进行模糊综合评价确定最佳的装备贮存寿命分布模型。
1 可靠性数据结构
随着贮存时间的增加,受贮存环境的影响,装备可靠性逐渐降低。统计从服役开始到时刻ti时间段内某型装备的总数ni中未失效的数量为si,统计的可靠性数据结构为
(ni,si,ti), i=1,2,…,k
设该型装备的贮存寿命为T,则T的寿命分布函数为
F(t)=P(T≤t)=1-R(t)
式中,R(t)为贮存可靠度。
检测统计结果中未失效数据si可以看作是一个服从B(ni,pi)的二项分布的样本,且pi=R(ti),则可以用ti时刻pi的极大似然估计对R(ti)进行估计,即
R(ti)= =si/ni, i=1,2,…,k.
2 极小χ2估计与拟合优度检验
2.1 常见的寿命分布类型
假设H0:F∈Ρ0,Ρ0={F(·;θ),θ∈Θ}是分布族,Θ为参数空间,根据装备贮存可靠性的相关研究,常见的装备寿命分布为:
1)指数分布:
{F(t;λ)=1-e-λt,λ∈R}
2)威布尔分布:
{F(t)=1-exp(-αtβ), α,β∈R}
3)对数正态分布:
2.2 构造χ2统计量
设装备的寿命分布为F(t,θ),设pi(θ)=1-F(ti,θ), i=1,2,…,k,基于统计数据si~B(ni,pi),则
si=
当ni→∞时,根据中心极限定理得:
~N(0,1)
对式(5)两边取平方,将式(3)代入可得:
~χ2(1)
令
χ2(θ)=
当ni→∞时,χ2(θ)统计量的渐近分布是自由度为k的χ2分布。
2.3 参数估计
待估参数θ的估计 若满足
χ2()= χ 2(θ)
称 为参数θ的极小χ2估计,则对χ2(θ)统计量求关于θ的最小值,可得到参数θ的估计 。
2.4 拟合优度检验
利用极小χ2估计的参数估计结果分别对上述分布函数进行拟合优度检验,设各个分布的待估参数数量为m,则对于各个分布的χ2统计量的渐近分布的自由度为k-m。
拟合优度p为
p=P(χ2(k-m)>χ2())
拟合优度p值衡量假定分布与统计样本数据的拟合程度,p值越大,拟合程度越好,所以可以通过各个分布p值来确定寿命分布。但由于寿命数据样本量较小,可能会造成几种分布的p值相近,所以需要利用模糊Bayes方法进行综合评价,确定最佳的寿命分布函数。
3 模糊贝叶斯方法确定寿命分布
3.1 Bayes方法
Bayes方法能够综合利用历史信息和样本数据确定装备的寿命分布。对于连续性随机变量,Bayes定理可表示为
h(θ|x)=
式中,h(θ|x)为后验分布密度函数;π(θ)为先验分布密度函数;p(x|θ)为条件分布密度函数。
模糊Bayes方法的先验分布采用二级模糊评价,将影响参数的各个因素划分为若干等级,按等级进行一级模糊综合评价,再按因素集进行二级评价,得到先验分布评价结果进而可以计算得到各分布的后验分布。
3.2 先验分布的模糊综合评价
模糊综合评价是根据评价对象和评价目标要求建立模糊矩阵,通过各种判断,由最佳隶属度原则得到可靠结论的一种评价方法[10]。
模糊综合评价的步骤为:
1)确定备择集
设拟合优度检验中通过检验的分布有k个分布通过检验,p值较大且相近。用Mk(k=1,2,…,m)表示分布函数模型,则备择集V可由Mk组成:
V=(M1,M2,…,Mm)
2)确定因素集和评判集
综合考虑专家经验及统计数据分析影响装备寿命分布确定的因素建立因素集U={u1,u2,u3},其中u1代表寿命分布函数的物理背景与该型装备寿命数据物理机制的相符程度;u2代表相似装备寿命分布函数的选取经验;u3代表分布函数模型使用的方便程度。不同因素又有不同的评判等级,从而建立评判集uij={ui1,ui2,…uin},其中uij为第i个因素的第j个评价。
3)确定评判矩阵
设评判对象按第i个因素的第j个uij评价,备择集中第k个元素的隶属度为rijk,则评判矩阵为
Ri=
4)确定评判权重集
评判权重集为
Wij=uij/ uij
则第i个因素的评判权重集为
Wi=(Wi1,Wi2,…Win)
5)确定一级模糊评判矩阵
第i个因素的一级模糊评判矩阵为
Ai=WiºRi=(ai1,ai2,…,aim)
由此可得,一级评判矩阵为
A=
6)确定二级模糊评判
设因素权重集为W=(W1,W2,W3),由此可得
B=W·A=(b1,b2,…,bm)
则该型装备各个寿命分布函数的先验概率为:
P(Mk)=bk,(k=1,2,…,m)
3.3 寿命分布的确定
根据统计寿命数据和模糊综合评价所得先验分布,由Bayes定理得
P(Mk|T)=
式中:P(Mk|T)为各寿命分布出现的后验概率,P(T|Mk)= F(ti, )。
令P(M)=max{P(Mk|T)},(k=1,2,…,m),则相应的Mk为最佳的寿命分布函数模型。
4 实例计算与分析
4.1 装备寿命数据
某型装备处于自然贮存环境下的寿命数据统计结果如表1 所示。
表1 某型装备贮存寿命数据 |
| 时间/年 | 3 | 5 | 8 | 11 | 15 | 18 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 样本量 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 |
| 失效数 | 1 | 2 | 4 | 8 | 14 | 18 | 21 |
4.2 极小χ2估计拟合方法确定先验分布
利用极小卡方估计拟合方法计算3种寿命分布的参数估计和拟合优度值如表2 所示。
表2 极小卡方估计拟合方法计算结果 |
| 寿命分布 类型 | 指数分布 | 威布尔分布 | 对数正态 分布 |
|---|---|---|---|
| 参数估计值 | =0.0102 | =0.0012 =1.7538 | =3.763 =0.961 |
| 拟合优度 | 0.38 | 0.99 | 0.99 |
从表2 中可以看出,威布尔分布和对数正态分布均通过检验,且拟合优度值相等,从数学角度分析均可作为该型装备的寿命分布,所以将两者作为先验分布进行模糊综合评价确定最佳的寿命分布函数。
4.3 模糊贝叶斯方法确定寿命分布
根据极小卡方估计拟合方法确定的威布尔分布和对数正态分布作为备择集:
V={威布尔分布M1,对数正态分布M2}。
建立因素集和评判集如表3 所示。
表3 模糊因素集和评判集 |
| 模糊因素 | 评判集 | ||
|---|---|---|---|
| μ1 | 符合(0.8) | 基本符合(0.6) | 不符合(0.2) |
| μ2 | 经常使用(0.6) | 使用(0.8) | 不使用(0.6) |
| μ3 | 简便(0.8) | 一般(0.6) | 复杂(0.4) |
由表3 评判集及两种分布的特性、物理背景等可得评判矩阵为
R1= , R2= , R3=
确定评判权重集为
W1=(0.5,0.3,0.2);
W2=(0.3,0.4,0.3);
W3=(0.3,0.5,0.2);
从而可以计算一级评判矩阵为
A= 。
因素权重集取W=(0.4,0.3,0.3),从而可以计算二级模糊评判矩阵为
B=(0.14,0.09)。
计算P(T|Mk)= F(ti, )可得
P(T|M1)=0.4896, P(T|M2)=0.4866,
由此可得
P(M1|T)=0.61, P(M2|T)=0.39。
所以该型装备的寿命服从威布尔分布,分布函数为
F(t)=1-exp(-0.0012t1.7538)。
5 结束语
针对长期处于贮存状态的装备小样本条件下寿命数据的特点,提出在极小χ2估计和拟合优度检验的基础上,利用模糊Bayes方法对先验分布进行模糊综合评价进而计算得到各寿命分布的后验概率,确定该型装备的最佳寿命分布函数模型。该方法利于程序化,且综合考虑各分布的物理背景、装备失效机理等信息,更能真实合理地反映装备可靠性变化规律,具有较好的工程实用价值。