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Command Control and Simulation

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2023 , Vol. 45 >Issue 4: 62 - 69

DOI: https://doi.org/10.3969/j.issn.1673-3819.2023.04.010

Weapon & Information System

Skip-glide target tracking based on improved Jerk model

  • ZHANG Xuesong 1, 2 ,
  • WU Nan 1 ,
  • WANG Feng 1 ,
  • TONG Lihua 2
Expand
  • 1 PLA Strategic Support Force Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China
  • 2 Unit 32035 of PLA, Xi’an 710000, China

Received date: 2022-08-02

  Revised date: 2022-09-26

  Online published: 2023-08-17

Fold

Abstract

Aiming at the problem of tracking skip-glide targets using radar, this paper proposes an Unscented Kalman Filter (UKF) tracking algorithm based on the improved Jerk model. Aiming at the estimation error introduced by the artificial preset acceleration variance and Jerk frequency of the conventional Jerk algorithm, this method calculates the acceleration variance adaptively through the current position estimation value and the current position one-step prediction value, and correlates the jerk frequency with the acceleration variance, realizing the adaptive adjustment of the model parameters while estimating the target motion state. At the same time, the improved Jerk model is combined with UKF algorithm, and the overall algorithm flow is given, and simulation experiments are carried out. The simulation results show that compared with the conventional Jerk model algorithm, the method proposed in this paper realizes the adaptive adjustment of model parameters, making the tracking process more adaptable to the maneuvering characteristics of the target.

Key words： jump glide trajectory; Jerk model; UKF algorithm; adaptive adjustment

Cite this article

ZHANG Xuesong , WU Nan , WANG Feng , TONG Lihua . Skip-glide target tracking based on improved Jerk model[J]. Command Control and Simulation, 2023 , 45(4) : 62 -69 . DOI: 10.3969/j.issn.1673-3819.2023.04.010

高超声速滑翔目标在滑翔段的弹道主要有平衡滑翔和跳跃滑翔两种形式[1]。平衡滑翔弹道的飞行轨迹平滑,一般没有机动变轨,但其对攻角控制量的要求较高,工程实现难度较大。而跳跃滑翔弹道飞行轨迹不固定,飞行过程中可多次机动变轨,弹道难以预测,大大增强了规避能力和突防能力。同时,跳跃滑翔弹道对攻角控制量的要求较低,工程上容易实现,因而是高超声速滑翔目标主要采用的飞行弹道,近年来得到了广泛的关注和研究[2-3]。由于跳跃滑翔弹道具有机动变化快,轨迹复杂难以预测的特点,对其进行精确的跟踪主要集中在非线性滤波和机动目标建模两个方面。
在非线性滤波方面,常用的滤波算法主要有扩展卡尔曼滤波(EKF)、无迹卡尔曼滤波(UKF)、容积卡尔曼滤波(CKF)和粒子滤波(PF),以及上述滤波算法的各种改进。目前,针对上述非线性滤波已有文献从滤波适应度、滤波精度、数值稳定性和算法复杂度等方面进行了充分的研究,得出的结论是UKF滤波算法的综合性能最优[4-5]。
在机动目标建模方面,其主要思想是将目标的机动看作系统的过程噪声扰动。目前,常用的机动模型包括匀速(CV)模型、匀加速(CA)模型、Singer模型,“当前”统计(CS)模型和Jerk模型等[6],在众多机动模型中选择与机动目标运动状态相匹配的模型算法,对于提高跟踪精度和跟踪效率具有十分重要的作用[7]。对于跳跃滑翔弹道的高机动目标,最适用的机动模型为“当前”统计(CS)模型和Jerk模型,而Jerk模型是阶数最高的机动模型,能够通过实时估计目标加速度变化率,拓宽了所能适应的目标机动范围,在理论上更适用于高机动目标的跟踪。但Jerk模型在实际应用时需要根据前人研究的经验值,设定“急动”频率和加加速度方差,会使模型的精度和机动适应度无法达到最优。现有文献对Jerk模型参数的自适应调整做了大量研究,刘望生等人融合了Jerk模型及当前Jerk模型,分别采用Jerk模型描述弱Jerk机动,CS-Jerk模型描述强Jerk机动,并引入模糊分布函数和强跟踪滤波器,改善了对弱Jerk机动的跟踪精度,并增强了对强Jerk机动的跟踪能力,但未能实现模型参数的自适应[8]。潘静岩等人借鉴“当前统计”的思想,提出了一种参数自适应调整的CS-Jerk模型,使得对目标加加速度的估计与强机动目标实际情况更加匹配,但CS-Jerk模型对弱Jerk机动跟踪误差较大[9-10]。冯耀将一阶AR模型的思想运用到模型参数的实时估计中,在目标状态估计的同时实现了对模型参数的自适应调整,使跟踪模型与目标机动特性更加匹配,但需要用到的目标状态量多,计算复杂[11]。
在已有文献的研究基础上,本文以跳跃滑翔目标跟踪为背景,首先给出了雷达观测模型,并分析了Jerk算法存在的不足,然后针对需要人为预先设定加加速度方差和“急动”频率而引入的估计误差,通过当前位置估计值和当前位置一步预测值进行加加速度方差自适应计算,并将“急动”频率与加加速度方差相关联,在目标运动状态估计的同时实现了模型参数自适应调整。同时,给出了改进Jerk模型与UKF算法相结合的整体算法流程;最后,通过仿真实验对比了CS模型、Jerk模型、改进Jerk模型的滤波跟踪结果,并进行了分析比较,验证了算法的有效性。

1 Jerk模型及雷达观测模型

1.1 Jerk模型

Jerk模型在Singer模型的基础上拓展了加加速度维度,并用一个零均值的有色噪声过程来描述目标的加加速度,其指数自相关函数满足
R(τ)=E[j(t)j(t+τ)]= σ j 2 e-α|τ| (α>0)
式中, σ j 2 、α为模型待定参数, σ j 2 为目标加加速度方差,α为加加速度频率,即“急动”频率,是加加速度时间常数的倒数。对式(1)进行白化得到:
j ˙(t)=-αj(t)+w(t)
式中,w(t)是方差为2α σ j 2 的零均值高斯白噪声。
将系统的状态向量表示为X= x x ˙ x ¨ x T,目标的连续时间状态方程可表示为
X ˙(t)=AX(t)+Bw(t)
其中,A= 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 - α,B= 0 0 0 1 T。
对应的离散状态方程为
X(k+1)=F(k)X(k)+W(k)
其中
F(k)= 1 T T 2 / 2 ( 2 - 2 α T + α 2 T 2 - 2 e - α T ) / ( 2 α 3 ) 0 1 T ( α T - 1 + e - α T ) / α 2 0 0 1 ( 1 - e - α T ) / α 0 0 0 e - α T
过程噪声协方差为
Q(k)=2α σ j 2 q 11 q 12 q 13 q 14 q 21 q 22 q 23 q 24 q 31 q 32 q 33 q 34 q 41 q 42 q 43 q 44
式中:

q11=1/2α7[α5T5/10-α4T4/2+4α3T3/3-2α2T2+2αT-3+4e-αT+2α2T2e-αT-e-2αT]

q12=1/2α6[1-2αT+2α2T2-α3T3+α4T4/4+e-2αT+2αT-2e-αT-α2T2e-αT]

q13=1/2α5[2αT-α2T2-α3T3/3-3-2e-2αT+4e-αT+α2T2e-αT]

q14=1/2α4[1+e-2αT-2e-αT-α2T2e-αT]

q22=1/2α5[1-e-2αT+2αT+2α3T3/3-2α2T2-4αTe-αT]

q23=1/2α4[1+e-2αT-2e-αT+2αTe-αT-2αT+α2T2]

q24=1/2α3[1-e-2αT-2αTe-αT]

q33=1/2α3[4e-αT-3-e-2αT+2αT]

q34=1/2α2[1+e-2αT-2e-αT]

q44=1/2α[1-e-2αT]

Jerk模型的状态向量中增加了对目标加加速度的估计,提高了对机动目标状态信息跟踪的精确性,因此也提升了对目标机动时刻的跟踪性能。但在采用Jerk模型进行机动目标跟踪时,跟踪性能受机动模型的过程噪声协方差矩阵的影响,而矩阵中包含“急动”频率α、加加速度方差 σ j 2 和采样周期T,其中,T取决于对目标进行探测的传感器的性能,而α和 σ j 2 取决于目标的机动特性,在实际运用中,“急动”频率和加加速度方差需要根据人为经验预先设定,但机动目标的“急动”频率和加加速度方差是实时变化的,这样就会引入估计误差,这也是本文需要研究解决的问题。

1.2 雷达观测模型

地基雷达对跳跃滑翔目标进行探测跟踪,通常雷达站的位置在大地坐标系中进行描述,探测目标的位置在地固系(ECEF)中进行描述,雷达对目标位置的探测在雷达球坐标系中进行描述。为了在统一的坐标系下进行目标位置的描述,需要进行坐标系间的转换,其转换过程如下:
1)将雷达站位置(L,B,H)转换为地固系坐标(rR)ECEF
(rR)ECEF= ( N + H ) · c o s B · c o s L ( N + H ) · c o s B · s i n L [ N ( 1 - e 2 ) + H ] · s i n B
式中,N= a 1 - e 2 s i n 2 B,a为地球赤道半径,e为地球偏心率,L为雷达站的地理经度,B为雷达站的地理纬度,H为雷达站的大地高程。
2)将地固系下目标的坐标(X,Y,Z)转换为雷达直角坐标系(ENU)下的坐标(x,y,z)
x y z= T E C E F E N U X Y Z - ( r R ) E C E F= T E C E F E N U X - ( N + H ) · c o s B · c o s L Y - ( N + H ) · c o s B · s i n L Z - [ N ( 1 - e 2 ) + H ] · s i n B
式中, T E C E F E N U为地固系与雷达直角坐标系的转换矩阵。
T E C E F E N U= - s i n ( L ) c o s ( L ) 0 - c o s ( L ) s i n ( B ) - s i n ( L ) s i n ( B ) c o s ( B ) c o s ( L ) c o s ( B ) s i n ( L ) c o s ( B ) s i n ( B )
3)将目标在雷达直角坐标系的坐标(x,y,z)转化为雷达球坐标系的坐标(R,A,E)
R A E= x 2 + y 2 + z 2 a r c t a n x y a r c t a n z x 2 + y 2

2 基于改进Jerk模型的UKF跟踪算法

2.1 加加速度方差自适应

假设目标在k时刻的运动状态矢量为[xk/k, x ˙ k / k, x ¨ k / k,xk/k]T,在k时刻到k+1时刻的采样周期T内,加加速度变化量为Δj,加速度变化量为Δa,速度变化量为Δv。由于存在加加速度变化,采样周期内的运动不能简单近似为匀变速直线运动,由文献[12]可得k+1时刻目标位移的预测估计值为
x ^ k + 1 / k=xk/k+ x ˙ k / kT+ 1 2N0 x ¨ k / kT2
式中,N0表示非匀变速运动的比例常数。但实际上,k+1时刻目标的加速度为 x ¨ k / k+Δa,速度为 x ˙ k / k+Δv,因此,经过修正后,k+1时刻目标位移的估计值为
x ^ k + 1 / k + 1=xk/k+( x ˙ k / k+Δv)T+ 1 2N0( x ¨ k / k+Δa)T2
k+1时刻估计值与预测值的差值为Δd=xk+1/k+1-xk+1/k,结合Δv=ΔaT,Δa=ΔjT,则
Δd=x(k+1|k+1)-x(k+1|k)= 1 2 N 0 + 1ΔjT3
因此,加加速度方差自适应调整公式为
σ j 2=N | x ( k + 1 | k + 1 ) - x ( k + 1 | k ) | T 3
式中,N为自适应系数,T为采样周期。
因此,加加速度方差自适应的基本思想就是k时刻到k+1时刻的目标位移的预测估计值 x ^ k + 1 / k没有考虑k时刻到k+1时刻之间的加加速度扰动增量,而k+1时刻的估计值 x ^ k + 1 / k + 1包含了k时刻到k+1时刻的加加速度扰动影响,因此,可以由位置估计的偏差直接地表示加加速度的扰动量。当目标处于弱机动状态时,目标k时刻的状态估计值与状态预测值相差较小,此时加加速度方差较小,当目标处于强机动状态时,k时刻状态估计值与k时刻状态预测值相差很大,此时加加速度方差较大。

2.2 “急动”频率自适应

不同的“急动”频率可以描述不同的机动状态,其精确值只有通过实时测量才能得到,而在实际应用中,“急动频率”一般根据经验人为给定[9,13]。由于“急动”频率与加加速度方差是相适应的,即当目标发生大的机动时,位置估计的偏差变大,其加加速度方差也变大,相应的“急动”频率也变大;而当目标机动较小时,位置估计的偏差变小,其加加速度方差也变小,相应的“急动”频率也变小。因此,引入一种新的思路,将“急动”频率与加加速度方差相关联,得到与加加速度方差相适应的“急动”频率。
定义k时刻的“急动”频率如下
α(k)=αmin+ | σ ( k ) - σ m i n | ( α m a x - α m i n ) σ m a x - σ m i n
式中,αmin和αmax分别为“急动”频率可以取的最小值和最大值,一般“急动”频率取值范围为 0.01,1;σmax为k时刻所有加加速度方差的最大值,即σmax=max{σ1,σ2…σk}。可以看到,当σ(k)=σmax时,α(k)=αmax;当σ(k)=σmin时,α(k)=αmin。

2.3 算法整体流程

由k时刻前的4组测量数据进行初始化,得到k时刻的初始估计值 X ^ k / k和协方差Pk/k,采用UKF算法的整体流程如下:
1)使用式(15)计算加加速度方差 σ j 2,使用式(16)计算“急动”频率α。
2)使用式(6)计算过程噪声方差Qk。
3)状态预测
X ^ k + 1 / k=Φk+1,k X ^ k / k
4)协方差预测
Pk+1/k=Φk+1,kPk/k Φ T k + 1 , k+Qk
5)基于状态预测值构造Sigma点和相应权重
χ k + 1 / k ( i ) = X ^ k + 1 / k W i = κ n + κ , i = 0 χ k + 1 / k ( i ) = X ^ k + 1 / k + ( ( n + κ ) P k + 1 / k ) i W i = 1 2 ( n + κ ) , i = 1,2 , … , n χ k + 1 / k ( n + i ) = X ^ k + 1 / k - ( ( n + κ ) P k + 1 / k ) i W n + i = 1 2 ( n + κ ) , i = 1,2 , … , n
6)基于观测方程的非线性传播
Zk+1/k(i)=h(χk+1/k(i)),i=0,1,…,2n
7)计算观测值的预估值和协方差矩阵
Z ^ k + 1 / k = ∑ i = 0 2 n W i Z k + 1 / k ( i ) P k + 1 / k Z Z = R k + 1 + ∑ i = 0 2 n W i [ Z k + 1 / k ( i ) - Z ^ k + 1 / k ] [ Z k + 1 / k ( i ) - 　 　 Z ^ k + 1 / k ] T P k + 1 / k X Z = ∑ i = 0 2 n W i [ χ k + 1 / k ( i ) - X ^ k + 1 / k ] [ Z k + 1 / k ( i ) - Z ^ k + 1 / k ] T
8)计算新息矢量和新息协方差矩阵
N k + 1 = Z ^ k + 1 / k - Z k + 1 S k + 1 = P k + 1 / k Z Z
9)状态估计与协方差更新
X ^ k + 1 | k + 1 = X ^ k + 1 | k + P k + 1 / k X Z S k + 1 - 1 N k + 1 P k + 1 | k + 1 = P k + 1 | k - P k + 1 / k X Z S k + 1 - 1 ( P k + 1 / k X Z ) T
算法的整体流程如图1所示。对于改进Jerk模型来说,滤波初始化需要4组观测数据,因此,取k时刻前的4组观测数据,利用无迹变换(Unscented Transformation,UT)计算k时刻的初始估计值和协方差;然后构造k时刻的过程噪声方差矩阵;基于k时刻的状态估计和协方差矩阵计算k+1时刻的状态和协方差预测,并用过程噪声方差矩阵补偿预测的协方差;最后,再利用k+1时刻的观测数据更新k+1时刻状态估计和协方差矩阵。
图1 算法的整体流程

Fig.1 The overall flow of algorithm

3 仿真实验与结果分析

3.1 仿真场景

根据高超声速滑翔飞行器动力学方程和数值积分算法,优化一条跳跃滑翔弹道,三维弹道曲线如图2所示,雷达探测曲线为加粗部分,其在地固坐标系下速度曲线如图3所示,可以看出目标一直处于机动状态。雷达真实位置为65.6°E,2°N,高程为0 m。其探测范围为方位向115°~245°,俯仰向1°~85°,最大作用距离为2 000 km。雷达于1 266 s时发现目标并开始跟踪,于1 459.2 s时跟踪结束,跟踪时长为193.2 s,数据率为T=0.1 s。
图2 三维弹道曲线及雷达探测曲线

Fig.2 The 3D ballistic trajectory and radar detection curve

图3 地固坐标系下速度曲线

Fig.3 The velocity curve in ECEF ordinate system

3.2 仿真环境及参数设置

实验平台如下:移动工作站,操作系统为Windows 10,CPU为Intel Core(TM) i7-9850(2.60 GHz),内存为32 GB,显卡为NVIDIA Quadro RTX 3000;编程环境为Matlab R2020b。
采用本文的改进Jerk模型与Jerk模型及CS模型进行对比,滤波算法采用UKF。改进Jerk模型的参数:“急动”频率的取值范围为0.01~1,自适应系数N=10-5;Jerk模型的参数:“急动”频率为0.5,加加速度方差为0.04;CS模型的参数:机动频率为0.5,加速度最大值为90 m/s2。Jerk选取雷达前四个时刻的观测数据进行初始化,得到状态和协方差估计的初始值,CS选取雷达前三个时刻的观测数据进行初始化,得到状态和协方差估计的初始值。观测角度标准差为0.1°,距离标准差为100 m。

3.3 仿真结果及分析

基于上述仿真场景及模型参数,采用Matlab R2020b进行蒙特卡洛仿真100次。为了验证本文算法的有效性,这里采用两种评价指标,分别是均方根误差(Root Mean Square Error,RMSE)和累积误差(Accumulative Error,AE),其中,累积误差AE表示整个跟踪过程中的整体误差[14-15]。定义分别如下:
RMSE= 1 N ∑ i = 1 N (x i ( k ) - x ^ i ( k | k ) ) 2
AE= ∑ i = 1 M 1 N ∑ i = 1 N | x i ( k ) - x ^ i ( k | k ) |
式中,xi(k)和xi(k|k)分别表示第i次仿真中第k时刻真值和估计值,N为蒙特卡洛仿真次数,M表示观测点数。仿真结果如图4、图5所示。
图4 X、Y、Z方向位置均方根误差

Fig.4 The RMSE of position in X, Y and Z directions

图5 X、Y、Z方向速度均方根误差

Fig.5 The RMSE of velocity in X, Y and Z directions

1) 算法有效性
从图4中X、Y、Z方向的位置均方根误差曲线可以看出,3种机动模型在跟踪起始时,目标的位置误差均较大,约为1 000 m左右,大约经过10 s左右误差迅速减小并达到平稳,但CS模型因阶数较低,均方根误差整体大于另外两种模型。对于Jerk模型和改进Jerk模型而言,在1 300 s前,两种机动模型跟踪精度相当。在1 300 s~1 400 s时间段,目标机动速度较大,在Z方向上两者跟踪精度相当,这是由于该目标在纬度方向上无机动,对应的地固系Z方向无机动;但在X、Y方向上,改进Jerk模型比原模型的均方根误差小,更适合目标的机动特性。可以较为明显地观察到,两种机动模型的均方根误差存在上下波动,但改进Jerk模型的均方根误差比原模型整体上要小且波动低,跟踪稳定且精度更高。从图5中X、Y、Z方向的速度均方根误差曲线可以看出,改进Jerk模型的性能整体上也优于原模型和CS模型。
为了更加直观地比较改进Jerk模型与原模型、CS模型的性能,这里采用前面提到的累积误差AE进行分析。仿真结果如图6、图7所示。
图6 X、Y、Z方向位置累积误差

Fig.6 The AE of position in X, Y and Z directions

图7 X、Y、Z方向速度累积误差

Fig.7 The AE of velocity in X, Y and Z directions

从图6可以看出,在跟踪过程中各方向的位置估计误差一直存在,3种模型的位置累积误差都是递增的,但改进Jerk模型比原模型、CS模型的位置累积误差明显更小。从图7可以看出,CS模型在跟踪过程中各方向的速度累积误差一直增加,而Jerk模型与改进的Jerk模型在跟踪稳定后逐渐趋于平缓,说明这两种模型对速度的估计误差较小,但改进Jerk模型比原模型的速度累积误差更小。
上面的实验结果分析可以进一步证明,CS模型、原Jerk模型算法使用人为设定的模型参数,模型参数无法与目标机动特性相适应,因此,在目标的跟踪过程中会产生较大的均方根误差和累积误差。本文提出的改进算法优化了原模型的不足之处,能够在跟踪过程中自适应调整模型参数,使得跟踪算法对目标的机动变化更为敏感,跟踪效果更好。
2) 算法运行时间
通过100次蒙特卡洛仿真,如表1所示,CS模型的运行时间为125.8 s,Jerk模型的运行时间为162.55 s,改进Jerk模型算法运行时间为166.91 s。由于CS模型模型阶数低,运算量小,运行时间较短。而改进Jerk模型增加了对加加速度方差和“急动”频率的自适应运算,因此比原模型运行时间更长。可以看到,在算法耗时上,改进Jerk模型增加0.446 s,运算时间与原模型在同一数量级上,说明本文提出的方具有一定的工程应用价值。
表1 算法运行时间比较

Tab. 1 The comparison of algorithm runtime

仿真次数 CS模型 Jerk模型 改进Jerk模型
运行时间/s 125.80 162.25 166.91

4 结束语

本文以跳跃滑翔目标跟踪为背景,针对Jerk算法需要预设模型参数的不足,提出了一种加加速度方差及“急动”频率自适应的改进Jerk算法。通过当前位置估计值和当前位置一步预测值,实现了机动模型参数的自适应调整,使机动模型与目标机动特性能够更好地匹配,有效减少了由于加加速度方差和“急动”频率设置不合理引起的跟踪误差。仿真结果表明,改进Jerk模型在跟踪精度上优于原模型,且两者在运行时间上处于同一量级,证明了本文算法的有效性,对后续高机动目标的跟踪研究具有一定的借鉴意义。

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