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Command Control and Simulation

Command Control and Simulation >

2023 , Vol. 45 >Issue 6: 47 - 56

DOI: https://doi.org/10.3969/j.issn.1673-3819.2023.06.008

Multimodal Information Fusion

Amplitude information aided waveform selection for cognitive radar tracking

  • XIONG Fangyong 1, 2 ,
  • WANG Jiantao 1 ,
  • HUANG Jie 1 ,
  • DANG Tongxin 1
Expand
  • 1 University of Information Engineering, Zhengzhou 450001
  • 2 94326 troops of PLA, Jinan 250000, China

Received date: 2022-12-13

  Revised date: 2023-03-20

  Online published: 2023-12-07

Fold

Abstract

In order to improve the tracking performance of cognitive radar, this paper proposes a waveform selection algorithm for cognitive radar tracking assisted by amplitude information. Firstly, the framework of waveform parameter selection for cognitive radar tracking is discussed. Secondly, the performance of amplitude-assisted tracking probability data association is analyzed, and the method of waveform parameter selection is proposed. Finally, combined with the Interactive Multiple Model Unscented Kalman Filter (IMMUKF), an amplitude information assisted waveform selection algorithm for cognitive radar tracking is proposed. Simulation results show that the proposed algorithm can effectively improve the target tracking performance and reduce the probability of target tracking loss.

Key words： amplitude information; cognitive radar; target tracking; waveform selection

Cite this article

XIONG Fangyong , WANG Jiantao , HUANG Jie , DANG Tongxin . Amplitude information aided waveform selection for cognitive radar tracking[J]. Command Control and Simulation, 2023 , 45(6) : 47 -56 . DOI: 10.3969/j.issn.1673-3819.2023.06.008

认知雷达[1]相较于传统雷达在多种任务场景下都体现出了性能优势,其中面向跟踪任务的认知雷达能够基于感知-行动循环(Perception-Action Cycle, PAC)过程的波形参数选择实现雷达跟踪精度的有效提升[2⇓⇓⇓-6]。雷达跟踪任务的PAC循环流程是根据先验信息和当前的观测数据的信息反馈,在最小化代价成本(跟踪性能)的准则下选择作用于下一时刻的发射波形,波形与目标和环境交互后以回波的形式被接收,经过雷达信号处理后提取新的观测信息进行跟踪,并形成下一时刻的信息反馈。图1展示了典型的认知雷达跟踪波形参数选择的PAC循环流程。
图1 目标跟踪的感知行动循环

Fig.1 Perceptual action cycle of target tracking

基于贝叶斯框架的雷达跟踪问题可以等效为利用模型先验知识和观测更新数据对目标进行参数估计的问题。认知雷达波形选择的其中一个关键问题正是如何界定波形与观测误差的关系、先验误差与观测误差的关系。因此波形选择问题可以分为基于控制理论或信息论的两类方法[7],即基于观测数据质量的跟踪波形优化[8⇓⇓-11]和基于信息论准则的跟踪波形优化[12⇓⇓⇓⇓-17]。前者更加注重通过波形选择提高观测数据的质量,即改善观测数据自身的精度来提升跟踪性能;后者将跟踪与滤波过程相结合来减小最终滤波的融合误差。
基于控制理论的跟踪波形自适应最早见于文献[8],将观测噪声协方差近似为参数估计的克拉美罗下界(Cramer-Rao Lower Bound, CRLB),在线性观测关系和高斯噪声的前提下,通过卡尔曼滤波(Kalman Filter,KF)的线性递推关系给出了在最小均方误差准则和最小信息熵准则下的跟踪波形参数的闭式求解。文献[9]针对密集的量测虚警场景下的跟踪问题,提出了波形自适应概率数据关联滤波算法(Adaptive Waveform Selection Probabilistic data association filter,WSPDAF),极大地改善了跟踪性能。文献[15-16]提出了量测虚警场景下基于雷达任务的机动目标跟踪的自适应波形选择算法及自适应发射波形与检测门限联合优化方法。基于信息论的波形优化[17⇓-19]的典型应用是通过分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform,FrFT)建立旋转波形库实现的,通过求解与先验误差椭圆正交的角度去变换观测误差椭圆的方向。
以上两类方法实现波形选择的过程,对于目标状态的反馈,仅仅利用了雷达目标信息中的一部分(例如时延与多普勒信息),这些信息直接表现为目标的距离、径向速度与方位观测值,然而在目标回波信息中包含的其他有用信息(目标幅度)并未得到有效的利用。事实上,利用目标幅度信息辅助的方法能够显著改善雷达对目标的检测跟踪性能[20⇓-22],考虑将幅度量测信息辅助的跟踪结合认知雷达波形选择,将能进一步提升认知雷达跟踪性能。

1 认知雷达系统模型

1.1 发射信号波形

雷达发射窄带脉冲信号:
sT(t)= 2Re{ E T s ˜(t) e j 2 π f c t}
式中 s ˜(t)是基带包络信号,且对于不同参数的发射波形都有约束 ∫ - ∞ ∞  | s ˜(t)|2dt=1。Re(·)是取实部运算,ET是信号能量,fc是信号载频。使用高斯包络的线性调频信号时,得
s ˜(t)= 1 π λ 1 4exp - 1 2 λ 2 - j b t 2
其中,λ是信号有效持续时间,j是单位虚数,b是调频斜率,则对于Swerling Ι型的起伏目标,回波信号可以表示为
sR(t)= 2Re{[ a ˜ E T s ˜(t-τ)ejυt+ n ˜(t)] e j 2 π f c t}
式中,τ是目标时延,υ是多普勒频移, n ˜(t)是均值为0,方差为N0/2的复高斯随机过程。 a ˜是回波复幅度,令a=| a ˜|是量测幅度信息,回波能量为ER=| a ˜|2ET。

1.2 目标状态及观测

对于二维平面内的机动目标跟踪,k时刻的目标状态Xk=[xk, x ˙ k, x ¨ k,yk, y ˙ k, y ¨ k]T,分别是二维坐标平面内的位置、速度、加速度,用状态方程表示模型状态转移过程:
Xk=FXk-1+U a - k - 1+wk-1
式中,F是状态转移矩阵,U是加速度输入矩阵, a - k - 1是加速度均值,wk-1是服从高斯分布的白噪声,噪声协方差为Qk-1,wk-1~N(0,Qk-1)。
对目标状态值的观测包含距离、速度及方位角,即zk=[r, r ˙,ϕ]T,观测方程为
zk=h(Xk|k)+v(θk)
式中,h(·)是非线性观测函数,对于各观测值有如下关系:
r= x k 2 + y k 2 r ˙= ( x k x ˙ k + y k y ˙ k ) x k 2 + y k 2ϑ=arctan y k x k
v(θk)是波形参数为θk=[τ,b]T的观测噪声,τ是脉冲宽度,b是调频斜率。且v(θk)服从高斯分布,即v(θk)~N(0,R(θk)),对于高斯包络线性调频波形的观测协方差[8]为
N(θ)= 2 c 2 τ 2 η - 4 b τ 2 c 2 η f c - 4 b τ 2 c 2 η f c 1 2 π 2 τ 2 + 8 b 2 τ 2 c 2 η f c 2  
式中,η是信噪比,c是电磁波传播速度。通常雷达角度的观测噪声与信噪比、波束宽度有关[6]
N(φ)= σ φ 2 η
式中, σ φ 2是波束宽度相关的常数,则联合距离、速度、方位角的观测协方差为R(θk)=diag([N(θk-1),N(φ)])。

1.3 无迹卡尔曼滤波

无迹卡尔曼滤波可以很好地处理式(5)非线性观测下的跟踪问题,根据状态方程生成当前一步预测状态为 X ^ k | k - 1,一步预测协方差为Pk|k-1:
X ^ k | k - 1 = F X k - 1 | k - 1 P k | k - 1 = F X k - 1 | k - 1 F T + Q k - 1
通过无迹变换(Unscented Transformation,UT)的比例采样产生sigma点集{ χ 0 , … , 2 n x}和对应权重{ ω 0 , … , 2 n x}:
χ 0 = X ^ k | k - 1 , ω 0 = β i + β χ i = X ^ k | k - 1 + ( ( i + β ) P k | k - 1 ) i , ω i = 1 2 ( i + β ) χ n x + i = X ^ k | k - 1 - ( ( i + β ) P k | k - 1 ) i , ω n x + i = 1 2 ( i + β )
式中,nx是状态维数,i=0,1,2,…,2nx是sigma点集和权重的索引,β是调节采样点间距离的常数因子。
通过观测函数传递观测预测sigma点集 Z ^ s i g m a={ z ^ σ , i=h(χi) } i = 0,1 , … , 2 n x,则状态预测均值和观测预测均值为
χ - = ∑ i = 0 2 n x ω i χ i z - = ∑ i = 0 2 n x ω i z ^ σ , i
状态观测互协方差和观测预测值自协方差为
P x z = ∑ i = 0 2 n x ω i ( χ i - χ - ) ( z σ , i - z - ) T P z z = ∑ i = 0 2 n x ω i ( z σ , i - z - ) ( z σ , i - z - ) T
波形θk-1的对应新息协方差Sk为
Sk=Pzz+R(θk-1)

1.4 概率数据关联滤波器

在杂波环境下k时刻的雷达量测包含真实的目标回波和杂波虚警,有效量测数量为mk,量测集为Zk={zk,i,i=1,2…,mk},当观测维度为nz时,则按照椭球波门规则,满足如下要求的量测zk,i为有效量测[16]:
(zk,i- z -)T S k - 1(zk,i- z -)≤g
式中,g是波门参数,称 g为椭球波门“σ数”。此时椭球波门体积为:
Vk= c n z g n z / 2 d e t { S k }
c n z= π n z / 2 ( n z / 2 ) ! 　 ( n z = 2 n , n = 1,2 , … ) 2 n z + 1 n z + 1 2 ! π n z - 1 / 2 ( n z + 1 ) ! ( n z = 2 n + 1 , n = 1,2 , … )
假定波门内虚警密度为ρ,虚警数量服从均值为ρVk的泊松分布,则按下式的概率生成关联波门内的虚警量测[23]:
μF(mk)= e x p ( - ρ V k ) ( ρ V k ) m k m k !
设量测预测 z -,则量测新息和综合新息为
ν k ( i ) = z k , i - z - , i = 1,2 … , m k ν - k = ∑ i = 1 m k β k ( i ) ν k ( i ) , i = 1,2 … , m k
式中,事件关联概率为
β k ( 0 ) = b ˜ b ˜ + ∑ i = 1 m k e k ( i ) , i = 1,2 , … , m k β k ( i ) = e k ( i ) b ˜ + ∑ i = 1 m k e k ( i ) , i = 1,2 , … , m k
式中, b ˜=ρ|2πSk | 1 2(1-PDPG)/PD,PG为量测落入关联波门的概率,ek(i)=exp - 1 2 ν k ( i ) T S k ν k ( i )。依据综合新息的滤波状态更新为
X ^ k | k= X ^ k | k - 1+K ν - k
式中, X ^ k | k - 1是状态预测值,K=Pxz S k - 1是滤波增益矩阵。滤波协方差Pk|k更新为
Pk|k=Pk|k-1+[1-βk(0)]KSkKT+Pk,β
式中,Pk,β=K ∑ i = 1 m k β k ( i ) ν k ( i ) ν k ( i ) T - ν - k ν - T kKT表示波门中新息散布的程度。

1.5 波形参数选择

认知雷达跟踪的波形参数选择是基于代价函数选择最佳的波形参数θk-1使得k时刻的跟踪误差最小。通常根据统计意义上的均方误差来定义代价函数C( X ^ k | k,θk):
C( X ^ k | k,θk)=Ε[(Xk|k- X ^ k | k)(Xk|k- X ^ k | k)T]
式中,Ε[·]是期望运算, X ^ k | k是状态的后验估计,因为观测和状态的非线性映射关系,难以通过闭式求解式(22)的方法来预测跟踪性能,所以选择预测的滤波协方差的迹作为代价函数:
C( X ^ k | k,θk)≈Tr( P k | k , θ k)
则基于最小均方误差的波形选择准则为
θ k o p t= a r g m i n Γ , θ k - 1 ∈ ΘTr( P k | k , θ k)
式中,Γ是滤波器结构,det(·)是行列式,Θ={τ∈[τmin:Δτ:τmax],b∈[bmin:Δb:bmax]}是波形参数脉冲宽度和调频带宽可行域。跟踪波形参数选择需要预测式(21)所示的滤波协方差 P k | k , θ k,基于修正黎卡提方程[24-25]的方法,通过引入信息缩减因子来近似估计的滤波误差协方差:
Pk|k≅Pk|k-1-q2(ρVk,PD)KSkKT
式中,q2(ρVk,PD)是信息损减因子,且满足q2(ρVk,PD)Sk=E[ ν - k ν - k T|Zk-1]。通常在观测维度为3,关联波门参数取4“σ”数时,可以近似计算信息损减因子[16]为
q2(ρVk,PD)≈ 0.993   2 P D 1 + ( 0.44 P D - 0.9868 - 0.169 P D ) ρ V k

2 幅度辅助的目标跟踪

2.1 量测幅度似然比

雷达跟踪过程中,波门内包含来自各个分辨单元的量测数据,通常设置检测门限对量测数据进行检测筛选,过门限的量测才为有效量测,最后进行数据关联。设k时刻波门内第l个分辨单元的量测幅度信息 a k l,幅度检测门限为τa= - 2 l n ( P F A ),p1( a k l)表示分辨单元中目标的幅度概率密度函数,p0( a k l)表示分辨单元l中虚警的幅度概率密度函数,令 p 1 τ a( a k l)和 p 0 τ a( a k l)分别表示在分辨单元l中检测门限之上的量测来源于目标和来源于虚警的概率密度函数,则
p 1 τ a ( a k l ) = 1 P D p 1 ( a k l ) , a k l > τ a p 0 τ a ( a k l ) = 1 P F A p 0 ( a k l ) , a k l > τ a
式中,检测概率PD= ∫ τ a ∞  p1( a k l)d a k l,虚警概率PFA= ∫ - ∞ τ a  p0( a k l)d a k l,且满足PD= P F A 1 / ( 1 + η )。则k时刻波门内的第l个量测幅度似然比(Amplitude Likelihood Ratio, ALR) l k a τ(l)可以表示为
l k a τ (l)= p 1 τ a ( a k l ) p 0 τ a ( a k l )
如果 a k l来源于目标,其概率分布为p1( a k l|η,q),否则为p0( a k l|q),其中q是杂波背景参数。设杂波背景是瑞利分布,则虚警量测的幅度似然函数为
p 0 τ a ( a k l |ηq)= 1 P F A a k l η qexp - a k l     2 2 η q
式中,ηq是背景强度,通常归一化为1。则对于Swerling Ι型目标,目标的幅度似然函数为
p 1 τ a ( a k l |η,ηq)= 1 P D a k l η + η qexp - a k l     2 2 ( η + η q )
则幅度似然比为
l k a τ (l)= P F A P D η q η + η qexp η a k l     2 2 η q ( η + η q )

2.2 幅度辅助概率数据关联滤波器

幅度辅助的概率数据关联滤波器(Probabilistic Data Association Filter with Amplitude Information, PDAF-AI)利用幅度似然比来修正事件的关联概率βk(i)。设包含幅度信息的量测集为{ Z ˜ k , i=[zk,i ak(i)]T,i=1,2…,mk}。幅度似然比修正后的事件关联概率为
β ˜ k ( 0 ) = b ˜ b ˜ + ∑ i = 1 m k e k ( i ) l k a τ ( i ) , i = 1,2 , … , m k β ˜ k ( i ) = e k ( i ) l k a τ ( i ) b ˜ + ∑ i = 1 m k e k ( i ) l k a τ ( i ) , i = 1,2 , … , m k
显然,引入幅度似然比修正了关联事件的概率,改变了信息缩减因子q2(ρVk,PD),PDAF-AI的滤波协方差预测为
Pk|k≅Pk|k-1- q ˜ 2(Sk,ρVk,PD)KSkKT
信息缩减因子 q ˜ 2(Sk,ρVk,PD)是三元函数[26]:
q ˜ 2(Sk,ρVk,PD)= ∑ m k = 1 ∞ q m kP(mk)
式中,P(mk)和 q m k是虚警点数为mk时的概率分布与信息缩减因子值。对于 q m k
q m k=E ∑ i = 1 m k β ˜ k ( i ) ν k ( i ) ν k ( i ) T | m k , Z ˜ k
对于式(34),信息缩减因子 q ˜ 2(Sk,ρVk,PD)包含量测幅度等随机变量,难以获得类似式(26)形式的闭式的表达式来预测PDAF-AI的性能,这里考虑一种次优的波形选择方案,经过证明,在相同的观测条件下,使用量测幅度辅助的PDAF-AI的性能优于PDAF,因此在波形参数选择时,按照式(26)预测的方法选择最优跟踪波形参数,所选择的波形参数对于PDAF-AI并不是全局最优,但是相对于PDAF而言具有优势,证明详见附录。

3 机动目标跟踪波形选择算法

交互式多模型滤波是机动目标跟踪的常用方法,这里使用综合的多模型量测预测和新息协方差生成共同的关联波门和统一的量测确认[27-28],基于式(26)选择波形参数,使用UKFPDAF-AI进行滤波状态更新,算法流程见图2。
图2 幅度辅助的机动目标跟踪波形选择

Fig.2 Amplitude aided waveform selection for maneuvering target tracking

假定机动跟踪的多模型集数量为N,k-1时刻的模型i滤波状态为 X k - 1 | k - 1 i,滤波协方差为 P k - 1 | k - 1 i,从模型i到j的转移概率为pij,i,j=1,2,…,N,模型i的概率是 μ k - 1 i,则所提幅度信息辅助认知雷达跟踪波形选择算法(Amplitude Information aided Waveform Selection for Cognitive Radar Tracking,AIWSCRT)的过程详见表1。
表1 幅度信息辅助认知雷达跟踪波形选择

Tab.1 Amplitude information aided waveform selection for cognitive radar tracking

AIWSCRT
初始化:for(i,j=1,2,…N),模型状态 X 0 | 0 ( i ),协方差 P 0 | 0 ( i ),模型概率 μ 0 ( i ),过程噪声 Q 0 ( i ),模型转移概率矩阵Π={pij}。
1.模型交互输入:交互概率 μ k | k - 1 ( i )= ∑ j = 1 Npji μ k - 1 ( j ), μ k - 1 j | i=pji μ k - 1 ( j )/ μ k | k - 1 ( i );
交互状态 X k - 1 k - 1 ( 0 i )= ∑ j = 1 N X k - 1 k - 1 ( j ) μ k - 1 j | i;
交互协方差 P k - 1 k - 1 ( 0 i )= ∑ j = 1 N μ k - 1 j | i[ P k - 1 k - 1 ( j )+( X k - 1 k - 1 ( i )- X k - 1 k - 1 ( 0 i ))( X k - 1 k - 1 ( i )- X k - 1 k - 1 ( 0 i ))T];
2.模型预测:状态 X k | k - 1 ( i )=F(i) X k - 1 k - 1 ( 0 i );协方差 P k | k - 1 ( i )=F(i) P k - 1 k - 1 ( 0 i ) F ( i ) T+ Q k - 1 ( i );
3.预测综合:综合状态预测Xk|k-1= ∑ j = 1 N X k | k - 1 ( i ) μ k | k - 1 ( i );
综合协方差Pk|k-1= ∑ j = 1 N μ k | k - 1 ( i )[ P k | k - 1 ( i )+(Xk|k-1- X k | k - 1 ( i ))(Xk|k-1- X k | k - 1 ( i ))T];
4.波形选择:
minC=∞, θ k o p t=0
for every θ∈Θ
compute {Sk,ρVk,PD,K,Pk|k-1}
Pk|k≅Pk|k-1-q2(ρVk,PD)KSkKT,q2(ρVk,PD)≈ 0.993   2 P D 1 + ( 0.44 P D - 0.986   8 - 0.169 P D ) ρ V k
C( X ^ k | k,θk)=trace(Pk|k(θ))
if min C>C( X ^ k | k,θk)
min C=C( X ^ k | k,θk), θ k o p t=θ
end if
end for
5.最优波形发射,计算R(θ),获得真实观测zk,子模型量测预测和新息协方差综合:
综合量测预测 z - k | k - 1= ∑ j = 1 Nh( X k | k - 1 ( i )) μ k | k - 1 ( i );
综合新息协方差 S - k= ∑ j = 1 N μ k | k - 1 ( i ) S k ( i ) + ( z - k | k - 1 - h ( X k | k - 1 ( i ) ) ) ( z - k | k - 1 - h ( X k | k - 1 ( i ) ) ) T;以 z - k | k - 1为中心,在椭球波门体积Vk= c n z g n z / 2 d e t { S - k }内按泊松分布生成虚警,按照椭球波门规则生成有效量测集合,加入幅度量测;
6.各模型接收量测集合,按照UKFPDAF-AI更新状态 X k | k ( i ),协方差 P k | k ( i );
模型概率更新: Λ k ( i )= e x p - 1 2 ( z k - h ( X k | k - 1 ( i ) ) ) T S k ( i ) ( z k - h ( X k | k - 1 ( i ) ) ) | 2 π S k ( i ) |; μ k ( i )= μ k | k - 1 ( i ) Λ k ( i )/ ∑ j = 1 N μ k | k - 1 ( i ) Λ k ( i );
输出状态协方差融合: X ^ k | k= ∑ j = 1 N μ k ( j ) X k | k ( j );Pk|k= ∑ j = 1 N μ k j[ P k | k ( j )+( X k | k ( j )- X ^ k | k)( X k | k ( j )- X ^ k | k)T];
7.判断是否结束,否则返回1.

4 仿真分析

4.1 仿真场景设置

选择匀速(Constant Velocity, CV)模型和当前统计(Current Statistical,CS)模型[29]组成机动跟踪多模型集。设采样间隔为Δt,对于CV模型
FCV=I2×2⊗ 1 Δ t 0 1
QCV=I2×2⊗qcv Δ t 4 3 Δ t 3 2 Δ t 3 2 Δ t 2
式中,I2×2是单位阵,⊗是克罗内克积,qcv是状态噪声强度。对于CS模型,则有:
FCS=I2×2⊗ 1 Δ t ( - 1 + α Δ t + e - α Δ t ) / α 2 0 1 ( 1 - e - α Δ t ) / α 0 0 e - α Δ t
UCS=I2×2⊗ ( - α Δ t + α 2 Δ t 2 / 2 + 1 - e - α Δ t ) / α 2 ( - 1 + α Δ t + e - α Δ t ) / α 1 - e - α Δ t
式中,α为机动时间常数的倒数。取上一时刻状态估计的加速度值为“当前”加速度均值估计 a -=[ x ^ ¨, y ^ ¨]T,CS模型的更新过程为
X ^ k | k - 1 = F C S X k - 1 | k - 1 + U C S a - P k | k - 1 = F C S X k - 1 | k - 1 F T C S + Q c s
式中,Qcs参数设置详见文献[29]。模型初始概率μ0=[0.5,0.5],转移矩阵Π= 0.9 0.1 0.1 0.9。初始状态X0|0=[15 000,-100,0,10 000,-50,0]T,跟踪的初始状态协方差矩阵为P0|0=diag([10 000,100,1,10 000,100,1]),在1~20 s、41~60 s、81~100 s做匀速直线运动,21~40 s做左转弯运动,转弯率为6°/s,61 s~80 s做右转弯运动,转弯率为6°/s。
选择以下三种跟踪策略和本文算法进行对比:固定波形(Fixed Waveform Tracking, FWT)、幅度信息辅助固定波形跟踪(Amplitude Information aided Fixed Waveform Tracking,AIFWT)、认知雷达波形选择跟踪(Waveform Selection for Cognitive Radar Tracking,WSCRT)。在以上跟踪策略下设定相同的虚警率、虚警密度,同时以 z - k | k - 1为中心,在综合的关联波门区域内生成虚警量测。跟踪过程的量测的幅度信息可以利用随机数产生[30],由累积分布函数与式(31),可得到k时刻第i个过幅度门限τa的量测为
ak(i)= τ a 2 - 2 ( 1 + η ) ) l n ( 1 - r a n d ) 　 目 标 τ a 2 - 2 l n ( 1 - r a n d ) 　 虚 警
式中,rand为0~1之间随机数。信噪比的计算为η=(r0/r)4,r0为0 dB的参考距离。
为验证所提算法有效性,设置了不同的虚警率和虚警密度场景下的性能比较,仿真参数设置见表2。
表2 仿真参数

Tab.2 Simulation parameters

参数 数值 参数 数值
载频fc 10.4 GHz 光速c 3×108 m/s
采样间隔Δt 1 s 参考距离r0 50 km、60 km
噪声强度qcv 1 机动时间常数α 1/60
τmin∶Δτ∶τmax 2∶2∶20 μs bmin∶Δb∶bmax -300∶50∶300 MHz/s
波门参数g 16 波门概率PG 0.998 9
虚警密度ρ 1×10-6、3×10-6 虚警率PFA 1×10-2
固定脉冲宽度τ0 3 μs 固定调频率b0 1 MHz/s

4.2 性能评价指标

选定的性能评价指标为失跟率和距离跟踪精度、速度跟踪精度。在单次跟踪过程中,当状态估计的误差多次超出25倍测量误差协方差时,视为此次仿真失跟,计算公式如下:
[h(Xk|k)-h( X ^ k | k)]T(R(θk-1))-1[h(Xk|k)-h( X ^ k | k)]>25
失跟次数累计为loss,则失跟率定义为
Lloss= l o s s M C×100%
式中MC是蒙特卡洛仿真次数,对真实状态Xk|k=[xk, x ˙ k, x ¨ k,yk, y ˙ k, y ¨ k]T和估计状态 X ^ k | k=[ x ^ k, x ˙ ^ k, x ^ ¨ k, y ^ k, y ˙ ^ k, y ^ ¨ k]T,分别求取距离、速度估计的均方根误差和平均均方根误差作为跟踪精度指标,距离、速度估计的均方根误差定义为:
$\begin{aligned} & R_{\mathrm{MSE}}(k)=\sqrt{\frac{1}{\mathrm{M}} \sum_{i=1}^M\left(\left(x_k-\hat{x}_k\right)^2+\left(y_k-\hat{y}_k\right)^2\right)} \\ & V_{\mathrm{MSE}}(k)=\sqrt{\frac{1}{\mathrm{M}} \sum_{i=1}^M\left(\left(\dot{x}_k-\hat{\dot{x}}_k\right)^2+\left(\dot{y}_k-\hat{y}_k\right)^2\right)}\end{aligned}$
式中M=MC-loss是有效的仿真跟踪次数,距离估计的平均均方根误差、速度估计的平均均方根误差定义为
ARMSE= 1 L ∑ k = 1 LRMSE(k)AVMSE= 1 L ∑ k = 1 LVMSE(k)
式中L是单次跟踪的帧数。蒙特卡洛仿真次数MC=500,失跟点数阈值Ls=5。

4.3 仿真结果及分析

机动目标航迹是在虚警密度ρ=1×10-6,虚警率PFA=1×10-2,参考距离r0=50 km的情况下的目标跟踪航迹如图3所示。波形选择的认知雷达跟踪航迹更加接近真实航迹,而加入幅度信息辅助的波形选择跟踪过程精度明显更好,尤其是在机动转弯处的轨迹平滑、精度高。
图3 机动目标航迹

Fig.3 Maneuvering target trajectory

单次跟踪过程的交互式多模型的概率更新见图 4,可见CV模型与CS模型的多模型库较好地实现了转弯机动过程中的机动跟踪模型切换。
图4 模型概率更新

Fig.4 Model probability update

图5和图6是虚警密度ρ=1×10-6,虚警率PFA=1×10-2,参考距离r0=50 km的情况下蒙特卡洛仿真结果,只计算有效跟踪轨迹的均方根距离误差和均方根速度误差对比图,从图6和图7中可以看出,本文所提算法相比对比的三组跟踪策略体现出较大的性能优势。
图5 距离均方误差

Fig.5 Mean square error for range

图6 速度均方误差

Fig.6 Mean square error for velocity

图7 波形参数选择

Fig.7 Waveform parameter selection

不同仿真参数跟踪性能指标如表3所示。
表3 不同参数的跟踪性能对比

Tab.3 Tracking performance comparison of different parameters

FWT AIFWT WSCRT AIWSCRT
ρ=1×10-6,r0=50 km
ARMSE 51.688 4 m 46.673 7 m 39.212 4 m 35.405 0 m
AVMSE 18.656 6 m/s 17.281 4 m/s 15.616 8 m/s 14.445 4 m/s
Lloss 12.2% 10.4% 8% 6.6%
ρ=3×10-6,r0=50 km
ARMSE 51.826 4 m 46.746 7 m 39.685 7 m 35.880 8 m
AVMSE 18.676 6 m/s 17.185 2 m/s 15.662 5 m/s 14.490 3 m/s
Lloss 14% 11.8% 9.4% 8.2%
ρ=1×10-6,r0=60 km
ARMSE 36.921 5 m 32.884 8 m 28.835 4 m 25.081 1 m
AVMSE 14.973 0 m/s 13.967 3 m/s 12.283 8 m/s 11.083 5 m/s
Lloss 11.2% 8.6% 7.6% 5.4%
从表3第一组数据来看,使用幅度信息辅助的波形选择跟踪,相比于常规的波形选择跟踪方法,距离跟踪精度提升9.7%,速度跟踪精度提升7.5%,失跟率减少1.4%,相比于固定波形跟踪,距离跟踪精度提升31.5%,速度跟踪精度提升22.5%,失跟率减少5.6%。
结合第二组数据,虚警密度变大时,跟踪精度均有所下降,但此时幅度辅助的波形选择相比波形选择的失跟率减少1.2%。从第三组数据看,当参考距离变大,信噪比提升后,各跟踪策略误差均明显减少,本文算法在失跟率性能优势上提升明显,相比于波形选择的失跟率减少2.2%,这是因为在信噪比提升后,目标的量测幅度提升较大。

5 结束语

为提高在杂波背景下的认知雷达跟踪性能,本文首先介绍了认知雷达跟踪波形参数选择的方法,分析了杂波背景下量测幅度信息辅助跟踪的方法,因PDAF-AI性能难以获得闭式的参数表达式,本文提出了一种次优的波形参数选择方法,并论证了该幅度信息辅助的方法跟踪性能优于经典的WSPDAF方法。最后,并以瑞利分布杂波背景下的Swerling Ι型目标为例进行了仿真实验。针对机动跟踪问题,在交互式多模型跟踪框架下,提出了本文的AIWSCRT算法。通过仿真分析,验证了方法的有效性。量测幅度信息辅助的机制结合雷达接收端对环境的认知理解,进一步提升了仅有波形选择机制的认知雷达的跟踪性能,然而本文讨论的方法并不是最优波形参数选择,下一步研究将考虑现实雷达跟踪问题的复杂性,幅度信息辅助的方法通常运用在检测前跟踪问题中,将目标幅度量测信息作为原始观测数据信息保留,进行帧间的数据积累,在此类问题上结合雷达跟踪的波形设计将更有研究价值。

附录

PDAF基本假设:落入关联波门内的多个量测中只有一个是来自于目标,其余量测均是虚警,量测zk,i来源于正确目标的概率是基于当前观测集Zk的条件概率:
βk(i)=P[zk,i|Zk]
幅度信息辅助后的量测事件来源于正确目标的概率是基于观测集 Z ˜ k={Zk,Ak}的条件概率,式中Ak是量测幅度信息集合
β ˜ k(i)=P[zk,i| Z ˜ k]=P[zk,i|Zk,Ak]
目标状态观测集Zk与幅度量测集Ak无关。
又由PDAF滤波协方差
P k | k = P k | k - 1 + [ 1 - β k ( 0 ) ] K S k K T + P k , β P k , β = K ∑ i = 1 m k β k ( i ) ν k ( i ) ν k ( i ) T - ν - k ν - T k K T ν - k = ∑ i = 1 m k β k ( i ) ν k ( i ) , i = 1,2 … , m k
同理,对于PDAF-AI滤波协方差
P ˜ k | k = P k | k - 1 + [ 1 - β k ( 0 ) ] K S k K T + P ˜ k , β P ˜ k , β = K ∑ i = 1 m k β ˜ k ( i ) ν k ( i ) ν k ( i ) T - ν ˜ k ν ˜ k T K T ν ˜ k = ∑ i = 1 m k β ˜ k ( i ) ν k ( i ) , i = 1,2 … , m k
观察式(48)和式(49),新息向量之间不相关
P k , β = K C o v ( ν k | Z k ) K T P ˜ k , β = K C o v ( ν k | Z k , A k ) K T
式中,Cov(·)是新息向量的协方差矩阵,由条件方差的性质
Var(ν|z)=E(ν2|z)-[E(ν|z)]2=E[E(ν2|z,a)|z]-{E[E(ν|z,a)|z]}2=E[E(ν2|z,a)|z]-E[E2(ν|z,a)|z]+E[E2(ν|z,a)|z]-{E[E(ν|z,a)|z]}2=E[Var(ν|z,a)|z]+Var[E[(ν|z,a)|z]]
式中Var(·)是求方差运算,由式(51)可得:
Var(ν|z)≥E[Var(ν|z,a)|z]
则有
E[Var(ν|z)]≥E[E[Var(ν|z,a)|z]]
即
E[Var(ν|z)]≥E[Var(ν|z,a)]
对于式(50),有
E[Cov(νk|Zk)]≥E[Cov(νk|Zk,Ak)]
则有
Tr(Pk,β)≥Tr( P ˜ k , β)
即
Tr(Pk|k)≥Tr( P ˜ k | k)

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