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Command Control and Simulation

Command Control and Simulation >

2024 , Vol. 46 >Issue 1: 71 - 77

DOI: https://doi.org/10.3969/j.issn.1673-3819.2024.01.009

Multimodal Information Fusion

A fast parameter estimation algorithm for LFM signal under low SNR based on FRFT

  • DONG Jinpeng 1, 2 ,
  • CHEN Shiwen 1 ,
  • YANG Jincheng 1 ,
  • HAN Xiao 1
Expand
  • 1 University of Information Engineering, Zhengzhou 450001
  • 2 Unit 63898 of PLA, Jiyuan 459000, China

Received date: 2023-05-26

  Revised date: 2023-06-08

  Online published: 2024-02-21

Fold

Abstract

To estimate the parameters of Linear Frequency Modulated (LFM) signal based on Fractional Fourier transform (FRFT), the key issue is to determine the optimal order of FRFT. A new parameter estimation algorithm is proposed based on the idea of error iteration. The algorithm utilizes the conversion relationship between normalized bandwidth and rotation angle. Calculating the angle difference from the estimation error effectively reduces the amount of computation and does not require the prior information of positive and negative frequency modulation slope. The improved logarithmic search algorithm can further improve the stability and reliability of parameter estimation results. The simulation results show that the proposed method still has good parameter estimation performance under the premise of high efficiency when the signal-to-noise ratio is above -8 dB. The average estimation error is less than 1%, and the estimated results are close to the Cramer-Rao Lower Bound, meeting the requirements of engineering real-time processing.

Key words： Low signal-to-noise ratio (SNR); Fractional Fourier Transform (FRFT); Linear Frequency Modulation (LFM) signal; parameter estimation

Cite this article

DONG Jinpeng , CHEN Shiwen , YANG Jincheng , HAN Xiao . A fast parameter estimation algorithm for LFM signal under low SNR based on FRFT[J]. Command Control and Simulation, 2024 , 46(1) : 71 -77 . DOI: 10.3969/j.issn.1673-3819.2024.01.009

线性调频(Linear Frequency Modulated, LFM)信号作为基本低截获概率雷达信号,在工程中广泛应用,如何在低信噪比战场环境下对其实时处理,完成参数估计有着重要的研究前景和现实意义。
Almeida于1994年首次将分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform, FRFT)应用于信号分析领域[1],不同于二次型时频分析工具,FRFT是一种线性变换,用分数域中的单一变量来表示信号的时频信息且没有交叉项的干扰[2],可以充分利用LFM信号的稀疏性特点,在低信噪比的条件下仍保持较高的检测概率和参数估计准确率[3],已有学者证明其估计结果为最小方差估计,推导了Cramer—Rao下限(CRLB)公式[4]。传统的FRFT参数估计方法为二维搜索,运算速度较慢,不满足实时处理需求。为提高运算速度,大量学者对其离散算法优化进行了研究[5⇓⇓-8],同样在参数估计算法上,针对求取最佳变换阶数这一关键问题,文献[9-10]根据FRFT和时频分布关系,通过旋转角度等参数可计算得出最佳阶数,但信噪比较低时估计性能急剧下降。文献[11]在此基础上引入了四阶原点矩作为目标优化函数,改进了传统的定步长搜索算法,文献[12]将算法进行改进,应用于多分量信号,均取得了良好的估计效果。文献[13⇓-15]分别以大津法、最小范数、信息熵为目标优化函数,提高了估计性能但在噪声能量较大时三者表现欠佳,文献[16]基于FRFT原理,提出了改进型算法EACFT及SS-EACFT,同样存在运算量较大的缺点。以上快速算法大都需要在运算前判断未知信号调频斜率的正负,具有一定的局限性,信号实时处理能力和参数估计结果的稳定性仍需进一步改进。
针对低信噪比环境下LFM信号参数估计结果准确度不高、现有算法运算量大的问题,本文提出快速算法,按照粗精两步估计思路。本算法包括根据误差迭代思想的快速估计和对数搜索的精确估计两部分,快速估计部分通过FRFT归一化带宽、旋转角差值、旋转角估计值三者关系,根据误差自适应调整迭代步长,快速求得旋转角估计值;精确计算部分提出改良的对数搜索算法,通过20次运算,可将搜索步长减小至1/1 000,进一步提高了参数估计精度和稳定性。

1 LFM信号分数阶频谱特性分析

1.1 LFM信号分数阶频谱特性

LFM信号一般表示为
x(t)=A· e j ( 2 π f 0 t + k π t 2 )+n(t)
其中,f0为LFM信号的初始频率,k为调频斜率,n(t)为高斯白噪声。文献[1]分析了LFM信号时频分布与FRFT的联系,如图1所示,FRFT运算可以理解为将信号时频面坐标轴绕原点逆时针转动某一特定角度,FRFT频谱即为转动后形成的分数域上的时频投影。
图1 FRFT投影示意图

Fig.1 FRFT projection diagram

FRFT在实际工程应用中需要进行归一化步骤,详细理论过程可参考文献[17],在此给出归一化量纲归一化因子S的表达式为
S= t p / f s
其中,tp,fs分别为LFM信号的时宽和采样频率。归一化后的横(纵)坐标总长度为
N= t p · f s
当旋转角度θ接近最优旋转角α时,归一化频率的带宽L趋近于0,即FRFT变换近似于冲激信号。无论是传统算法还是改进的高效算法,关键步骤均是通过搜索(估计)取得最优旋转角α,之后的FRFT最优变换阶数P由下式求得
P= π 2 α
根据变换阶数P 以及最大峰值的坐标,从归一化变换关系估计得出信号的调频斜率和载频。

1.2 功率谱平滑

在估计LFM信号归一化频率带宽时,噪声对估计精度影响较大,直接影响参数估计结果的可靠性。为降低噪声对估计结果的影响,对信号频谱进行光滑处理,采用以下平滑滤波公式可以充分利用原功率谱特征信息
Ps(n)= 1 M + 1 ∑ m = - M / 2 M / 2|P m o d ( n + m , N s )|2
其中,Ns为信号长度,M为平滑窗长度,P(n)为信号原频谱,Ps(n)为平滑功率谱,mod为取余运算。根据文献[9]的论证说明,FFT频谱平滑窗长度取 N s附近的整数值,FRFT归一化频谱则选取 N s/10附近的整数值。

1.3 四阶原点矩

本文选择分数阶频谱的四阶原点矩作为搜索目标优化函数。信号x(t)的分数阶频谱四阶原点矩定义为
η(α)= ∫ - ∞ + ∞ |Xα(u)|4du
最佳旋转角度α下的四阶原点矩为
η(α)= ∫ - ∞ + ∞ |Xa(u)|4du= 2 A 4 T 3 3 s i n ( α )
其中,A为信号幅值,T为信号调制周期。若旋转角度与最佳值有差值Δα,其四阶原点矩为
η(α)= 2 A 2 ρ s i n ( Δ α )
其中
ρ= 1 2 t p f s + k 2 t p 3 f s
ρ为常数,显然,Δα越小,四阶原点矩越大,即最佳旋转角度α对应阶数的FRFT频谱取得最大四阶原点矩。四阶原点矩作为搜索目标优化函数相比于频谱幅度特征,在接近最佳旋转角度α时,特征变化更加平滑明显,能有效提升低信噪比环境下的最值判断准确度。

2 基于FRFT的LFM信号参数估计

为提高LFM信号参数估计的速度和稳定性,本算法流程分为粗细估计两部分。

2.1 基于误差迭代的快速算法

基本原理:通过FRFT与时频分布图像旋转对应关系,图2中的归一化频率的带宽L可表示为
L=N·tan(|α-θ|)
其中,N为归一化后的横(纵)坐标总长度,α为最优阶数对应的旋转角,θ为当前旋转角。式(10)给出了当前旋转角与最优旋转角的差值即估计误差|α-θ|与当前FRFT频谱带宽L之间的关系,根据FRFT变换的旋转可加性,可以通过加(减)差值来快速计算最优旋转角。
图2 归一化带宽与旋转角差值的关系

Fig.2 Relationship between normalized bandwidth and rotation angle difference

特别的,当θ= π 2时,FRFT实质上为傅里叶变换,L对应带宽,归一化调频斜率为k,角度差值为
α - π 2=arctan(k)=arctan L N
为避免差值选取过大,消除功率谱平滑导致估计带宽偏大的不利影响,提高迭代精度,取
Δα=λ|α-θ|
其中,λ为接近于1的常数系数。
调频斜率的正负决定了最佳旋转角及FRFT阶数的区间,调频斜率为负值则旋转角为0°~90°,阶数为0~1;为正值则旋转角在90°~180°,阶数为1~2。当前有的快速算法将信号分成两段,做2次STFT,对比中心频率来确定调频斜率的正负,增加了运算量,计算过程较为繁琐。本文对此流程进行了改进,在求得当前旋转角与最优旋转角的差值后,分别将角度α+Δα和α-Δα代入式(4)对应阶数的FRFT变换,考虑到更接近最佳旋转角度的FRFT变换四阶原点矩更大,取两者中较大四阶原点矩的角度为旋转角的较精确计算值 α ^,即
α ^=argmax{η( α ^-Δα),η( α ^+Δα)}
此时不需要调频斜率正负的先验信息或进行STFT运算,可自动调整取值以更接近最佳旋转角度,具体过程见图3。利用上述FRFT运算作用于LFM信号的基本机理,通过功率谱平滑计算归一化带宽,得出旋转角差值,更新旋转角计算值,再计算旋转角估计值下的FRFT频谱归一化带宽,进而求得更精确的旋转角差值,根据FRFT变换的旋转可加性,逐次迭代,直到旋转角估计值的四阶原点矩达到最大,在对计算速度要求较高的情况下此部分可作为快速估计算法单独使用。算法中迭代步长Δα为自适应取得,递减速度极快,2~3轮即可取得旋转角最优值。
图3 逐步接近最优旋转角的FRFT频谱

Fig.3 FRFT spectrum gradually approaching the optimal rotation angle

2.2 快速估计步骤及流程图

以下为快速估计算法步骤,流程如图4所示。
图4 快速估计流程图

Fig.4 Flow chart of rapid estimation

步骤1 通过FFT得到信号频谱。
步骤2 确定信号带宽的粗计算值。根据式(5)做功率谱平滑,降低噪声影响后求得归一化频率下的信号带宽的粗估计值L0。
步骤3 求得初始旋转差值。根据式(10)可得
|α-α0|=arctan L 0 N
其中,α0= π 2,N为归一化后的横(纵)坐标总长度。代入式(12)得
Δα0=λarctan L 0 N
步骤4 确定旋转角的较精确估计值。由于调频斜率的正负未知,有
α=[α0+Δα α0-Δα]
比较四阶原点矩大小,获得旋转角的较精确估计值为
α ^ 1=argmax η(α)
η(α)为旋转角α下的频谱四阶原点矩。
步骤5 更新归一化频率下的信号带宽。上步求得的 α ^ 1角度下的FRFT频谱做功率谱平滑,求得归一化频率下的信号带宽的粗估计值L1。
步骤6 重复步骤3-5。由于逐步接近最佳旋转角度α,归一化频率带宽Ln趋近于零,旋转差值Δαn随之减小,直到旋转角估计值 α ^下的四阶原点矩达到最大,此时对应最优旋转角。最优旋转角由式(18)迭代求得。
Δ α = λ · a r c t a n ( L n N ) α = [ α ^ n + Δ α 　 α ^ n - Δ α ] α ^ n + 1 = a r g m a x η ( α )

2.3 改进的对数搜索算法

根据快速估计取得的旋转角估计值,在选定区间内以使用时间复杂度较低的对数搜索算法快速搜索,进一步提高参数准确度和稳定性,适合在低信噪比或对误差要求更严格的情况下使用。
改进的对数搜索算法原理为:取旋转角度区间[α-ε,α+ε],初始步长ε取较大数值以确保在初始区间内存在最优解。计算区间两端角度对应的FRFT变换及其四阶原点矩,若两端的四阶原点矩小于中心角度的四阶原点矩,则保持搜索中心角度不变,新步长缩减至原步长的一半;若左侧四阶原点矩较大则将左侧端点设为搜索中心角度,右侧四阶原点矩较大则将右侧端点设为搜索中心角度,新步长缩减至原步长的一半。
α ^ m = a r g m a x { η ( α ^ m - ε ) , η ( α ^ m ) , η ( α ^ m + ε ) } ε = ε / 2
α ^ m为第m次迭代后更精确的旋转角度。每次搜索计算2次FRFT,步长缩减为原来的一半,经过10轮搜索,搜索步长可缩小210倍,即为初始步长的1/1 024。

2.4 精确计算步骤及流程

为进一步接近最佳旋转角度α,算法的精确估计步骤如下,基于改良对数搜索算法的精确估计流程如图5所示。
图5 精确估计流程图

Fig.5 Flow chart of accurate estimation

步骤1 确定初始步长。
步骤2 区间内搜索。利用快速估计得到的较精确的旋转角度 α ^ n,取区间[αn-ε,αn+ε],分别计算区间端点的四阶原点矩,比较大小后更新旋转角估计值。
步骤3 更新搜索步长。判断此时步长是否小于目标步长,不满足则更新步长,反之则结束搜索。
步骤4 估计LFM信号参数。取得最优旋转角度估计值 α ^和最佳变换阶数 P ^后,设FRFT变换结果为 S α ^(u),LFM信号的调频斜率、带宽及载频由式(20)求得。
k ^ = t a n α ^ - π 2 · S - 2 B ^ = k ^ · T f ^ c = c s c ( α ^ ) · a r g m a x ( S α ^ ( u ) ) · S - 1
其中,S为归一化量纲归一化因子。

2.5 算法运算量及稳定性分析

本文中FRFT变换采用文献[18]提出的数值计算算法,设信号的采样点数为N,则进行1次FRFT变换需要的计算量为O(N·log2N),进行1次四阶原点矩计算需要的运算量为O(N)。第一部分作为快速算法,最多进行3轮迭代,每轮迭代进行2次FRFT变换和2次四阶原点矩计算,运算量为O(6N·log2N+6N)。第二部分通过对数搜索,进一步提高参数准确度。初始步长ε取0.1,目标步长取0.000 1,根据前文分析,缩小至1/210需进行10轮搜索,共进行了20次FRFT变换和四阶原点矩计算,运算量为O(20N·log2N+20N),粗精两步估计总运算量为O(26N·log2N+26N)。传统二维搜索算法同样达到0.000 1步长精度,需进行20 000次FRFT运算,运算量为O(20 000N·log2N),可见,本文算法在低信噪比环境下有较高参数估计准确率的同时,运算量得到显著降低。

3 仿真实验及分析

实验1 低信噪比环境的有效性验证。设定SNR为-5 dB,选取的LFM信号为x(t)=exp(j(2πfct+πkt2)),t∈[-0.25μs,0.25μs],其中载频fc=200 MHz,调频斜率k=200 MHz/us,采样频率fs=1.2 GHz,参数λ取0.9。实验中,经功率谱平滑滤波,改进算法的快速估计部分的归一化长度变化如图6所示,在迭代过程中,信号能量更加集中,经过3轮迭代计算,FRFT最佳阶数取得估计值1.054,调频斜率估计结果相对误差1.889%,载频估计相对误差0.483%,估计误差较低,说明此信噪比下,本文算法的快速估计部分能够对LFM信号参数进行有效估计。
图6 迭代后的归一化频谱

Fig.6 Normalized spectrum after iteration

算法的第二部分精确计算环节可以进一步提高参数估计结果的准确性、可靠性,精确估计部分对数搜索算法的初始步长取0.1,目标步长取0.000 1,计算结果见图7。经进一步计算,将FRFT最佳阶数的估计值由1.054进一步提升至1.053,载频误差和调频斜率误差进一步减小至0.454%及0.309%。
图7 估计结果

Fig.7 The results of estimation

实验2 算法性能评估。设定SNR 范围为-15 dB~10 dB,每个信噪比进行1 000次Monte Carlo实验,以文献[11]改进高效FRFT算法与文献[4]黄金分割搜索算法作为对比,选取的LFM信号为x(t)=exp(j(2πfct+πkt2)),t∈[-0.25 μs,0.25 μs],其中载频fc=200 MHz,调频斜率k=200 MHz/us,采样频率fs=1.2 GHz。本文算法参数λ取0.9,搜索初始步长ε取0.1。图8为四种算法的载频和调频斜率估计误差均值以及均方误差MSE的对比图。实验结果表明,与改进高效FRFT算法及黄金分割算法相比,本文算法的快速估计部分,既有速度优势也有精度优势,且在增加精确搜索部分后,在-8 dB低信噪比环境下仍能较为准确地估计出LFM信号参数,算法提升效果更加明显。从仿真结果的误差方差分布与CRLB结合来看,在低信噪比下本文算法的估计结果仍然较为稳定,更贴近LFM信号的CRLB,算法鲁棒性好,结果可靠性高。
图8 四种算法的仿真实验对比

Fig.8 Comparison of simulation experiments of the four algorithms

实验3 运算量评估。为验证低信噪比下本文算法的高效性,将本文算法与文献[11]的改进高效FRFT算法及传统算法进行分析比较,黄金分割搜索算法在低信噪比环境下已失效,不再列入对比。设定信噪比为-8 dB,选取的LFM信号及算法参数不变,目标搜索步长取0.010 0、0.001 0、0.000 1,进行1 000次Monte Carlo实验,取调频斜率相对误差均值kerror和载频相对误差均值ferror,实验结果见图9,运算量统计见表1。
图9 不同目标步长下的估计结果

Fig.9 The estimated results under different target step sizes

表1 不同目标步长下的运算量对比

Tab.1 Calculation volume comparison under different target step size

序号 目标搜索步长 <0.010 0 <0.001 0 <0.000 1
1 本文快速估计部分 1次FFT+6次FRFT
2 传统搜索算法 201次FRFT 2001次FRFT 20001次FRFT
3 改进高效FRFT 2次STFT+7次FRFT 2次STFT+20次FRFT 2次STFT+43次FRFT
4 本文快速估计+对数搜索 1次FFT+14次FRFT 1次FFT+20次FRFT 1次FFT+26次FRFT
从参数估计精度角度分析,信噪比为-8 dB时,本文算法快速部分基于迭代仍可进行准确计算,包含精确计算步骤后,也取得了预期的更准确的结果,进一步提高了参数值的准确性和稳定性,而改进高效FRFT算法在快速估计归一化带宽时误差较大,难以搜索取得较准确的最佳变换阶数。
从算法运算量角度分析,相比改进高效FRFT算法,本文所提算法的快速估计部分以及对数搜索精确估计部分不需要进行STFT运算来分析调频斜率正负,较为高效便捷,另外,在阶次误差要求更严苛,目标搜索步长更小时,本文的改进算法在精确度、运算量和可靠性等方面具有更突出的优势。

4 结束语

本文提出了一种基于FRFT的LFM信号参数估计算法,运用粗精两步计算思想,快速计算部分基于误差迭代,利用了FRFT与时频变换的旋转关系,通过迭代快速求得信号参数,不需要调频斜率正负的先验信息,稳定性高准确度好,适合于对参数估计时效性要求高的场合;精确计算部分利用快速估计结果,结合改进的对数搜索算法,仅通过20次运算,可将搜索步长减小至1/1 000,进一步提高参数估计精度。实验证明,本文算法在信噪比-8 dB环境下仍能保持良好的参数估计性能,算法能够满足对效率和精度不同要求的场景,相比FRFT经典二维搜索算法及其他快速算法,准确性和可靠性优势明显,可用于信号实时处理分析的工程实践。

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