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Command Control and Simulation

Command Control and Simulation >

2021 , Vol. 43 >Issue 2: 39 - 44

DOI: https://doi.org/10.3969/j.issn.1673-3819.2021.02.007

ngle Only by Double Station for Maneuvering Target Tracking Based on IMM-SRUKF

  • YAN Bing-feng ,
  • LI Xing-xiu ,
  • WU Pan-long
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  • School of Automation, Nanjing University of Sci. & Tech., Nanjing 210094, China

Received date: 2020-11-10

  Revised date: 2020-12-21

  Online published: 2022-04-29

Fold

Abstract

In order to solve the problems of poor robustness and easy divergence of traditional unscented Kalman filter algorithm in maneuvering target tracking, this paper combines square root unscented Kalman filter (SRUKF) and interacting multiple model algorithm (IMM) in the application background of bistatic angle only passive location. Firstly, the principle of bistatic direction finding cross location is analyzed. The results of geometric positioning are taken as the initial filtering value. Then, the spherical traceless transformation is used to replace the traditional symmetric sigma point sampling, and the square root of covariance is used to replace the covariance for recursive operation, which ensures the non negative qualitative of the covariance matrix, improves the robustness of the algorithm and reduces the amount of calculation. Simulation results show that IMM-SRUKF algorithm can accurately predict the moving state of the target at different times. When the observation error is large, compared with other algorithms, IMM-SRUKF has higher stability, less divergence and higher filtering accuracy.

Key words： measurement direction cross positioning; square root UKF; IMM; maneuvering target tracking

Cite this article

YAN Bing-feng , LI Xing-xiu , WU Pan-long . ngle Only by Double Station for Maneuvering Target Tracking Based on IMM-SRUKF[J]. Command Control and Simulation, 2021 , 43(2) : 39 -44 . DOI: 10.3969/j.issn.1673-3819.2021.02.007

随着反电子侦察、隐身攻击等技术的不断发展,传统的雷达、激光等有源定位机制面临易受电子干扰、容易暴露自身位置招致敌方攻击等问题,存在极大的安全隐患[1]。相比于有源定位技术,无源探测定位技术具有隐蔽性强、抗干扰能力强、成本低等优点,而双站系统是无源定位中最常用的形式[2]。在实际战争场景中,飞行器的机动性能越来越高,来袭目标常采用机动运动方式躲避观测器跟踪和火炮拦截,而观测站能够获得的目标特征数据却非常有限,目标的角度信息几乎成了唯一可靠的参数,因此,利用目标角度信息估计机动目标的运动状态,具有十分重要的军事意义。
无迹卡尔曼滤波算法(UKF)用一系列的确定样本逼近状态的后验概率密度,不需要对非线性函数进行近似,不会忽略高阶项,因此,对于非线性分布的统计量有较高的计算精度。然而,UKF算法需要对协方差矩阵进行Cholesky分解,在多次迭代计算过程中积累的舍入误差往往会导致协方差矩阵失去正定和对称性,造成滤波算法不稳定甚至发生异常。平方根UKF(SRUKF)算法利用协方差平方根代替协方差进行递推运算,确保了协方差矩阵的非负定性,同时避免了非线性系统的线性化,计算量较少,实时性强,具有更快的运算速度[3]。文献[3]和文献[4]分别将SRUKF运用于水下目标和地面越野目标的跟踪,验证了其良好的跟踪效果。此外,当滤波算法采用的运动模型与目标实际运动状态不符合时,将会产生很大的跟踪误差。针对此问题,Blom提出了交互式多模型算法(IMM)[5],利用不同的模型对机动目标的运动状态进行匹配。文献[6]基于当前统计模型,将IMM算法和UKF算法相结合,使得算法具有对不同目标机动模式的自适应跟踪能力,但该算法抗干扰能力不强;文献[7]提出了基于IMM-UKF的融合滤波模型,将机载雷达和电子支援措施传感器两种观测数据融合后作为滤波输入,提高了算法的跟踪精度。
本文将IMM算法和平方根UKF算法相结合,用于双站无源定位跟踪。首先,分析测向交叉定位的原理,求出系统的测量方程;接着,引入球形无迹变换,取代传统的对称sigma点采样,并利用协方差平方根代替协方差进行递推运算,减少了计算量,提高了算法的稳定性;最后,将其与IMM算法相结合,通过仿真对比,验证了IMM-SRUKF的优越性。

1 双站测向交叉定位原理

目标与观测站的几何关系如图1所示,分别以两个观测站所在位置为原点建立坐标系。为了实现目标定位,需要求得两观测站之间基线AB的长度,以及基线与AT、BT两条方位线的夹角,然后通过正弦定理,即可求得目标的斜距及位置。
图1 目标与观测站几何关系图
1)通过高精度的定位设备测得两个观测站的经纬高坐标(L1,B1,H1)和(L2,B2,H2),将观测站在大地坐标系中的坐标转换到需要的东北天坐标系中。该过程分两步进行。
首先,将大地坐标系(Li,Bi,Hi)转换为空间直角坐标系( R x i, R y i, R z i)。转换公式如下:

R x i R y i R z i= ( N + H ) c o s B i c o s L i ( N + H ) c o s B i s i n L i [ N ( 1 - e 2 ) + H i ] s i n B i

其中,N=l/ 1 - e 2 s i n 2 B,l为地球长半轴半径,e为地球的第一偏心率。
其次,将空间直角坐标系转换到各观测站相应的东北天坐标系(ai,bi,ci):

a i b i c i= - s i n B i c o s L i - s i n B i s i n L i c o s B i - s i n L i c o s L i 0 c o s B i c o s L i c o s B i s i n L i s i n B i×

R x i - ( N + H i ) c o s B i c o s L i R y i - ( N + H i ) c o s B i s i n L i R z i - [ N ( 1 - e 2 ) + H i ] s i n B i
其中,(a1,b1,c1)表示第一个观测站在第二个观测站东北天坐标系下的坐标,(a2,b2,c2)表示第二个观测站在第一个观测站东北天坐标系下的坐标。
2)基于两个观测站的位置,可以求得基线的长度S= a 1 2 + b 1 2 + c 1 2= a 2 2 + b 2 2 + c 2 2。两个观测站分别测得目标的高低角βi与方位角αi,i=1,2。则相应方位线与基线的夹角计算为
ψi=arccos((aicos βicos αi+bicos βisin αi+
cisin β i)/ a i 2 + b i 2 + c i 2)
3)由三角形的正弦定理可知,目标与各个观测站之间的距离为
Ci= S s i n ψ i s i n ( π - ψ 1 - ψ 2 )
基于此距离信息以及上面求得的方位线与基线夹角,可以求得目标在两个观测站东北天坐标系下的定位信息为

x i y i z i= C i c o s β i c o s α i C i c o s β i s i n α i C i s i n β i

2 IMM-SRUKF算法

纯几何定位获取的目标定位信息,其定位精度往往不满足系统需求,需采用滤波算法进一步处理。在本应用场景中,无论状态方程还是观测方程,都是非线性的。常用的非线性滤波算法中,UKF相比于EKF算法,无须计算复杂的雅克比(Jacobian)矩阵,不会存在忽略Taylor展开高阶项导致的滤波发散问题;相比于PF算法,UKF不存在处理高维状态向量系统计算量极其巨大的问题。总体上,UKF在计算量与滤波精度上综合效果更优。
但是UKF算法需要对协方差矩阵进行Cholesky 分解,而积累的舍入误差经常会导致协方差矩阵失去正定和对称性,导致滤波算法不稳定甚至发生异常。针对此问题,可以利用协方差平方根代替协方差进行递推运算。

2.1 测量模型

目标的测量模型如下:
Zk+1=h(Xk+1)+Vk+1
式中,Xk为n×1维的状态向量,Zk为4×1维的观测向量。每个观测站分别观测到目标的高低角和方位角信息,根据上一节中提到的目标几何关系,可以得到双站量测模型:
h(Xk)= β 1 ( k ) α 1 ( k ) β 2 ( k ) α 2 ( k )
式中,βi与αi分别为两个观测站观测到的高低角和方位角。假设目标在k时刻的位置信息为[xk, yk, zk],两个观测站的坐标分别为[a1,b1,c1]和[a2,b2,c2],则上述的四个角度可表示为:
β 1 ( k ) = a r c t a n ( z k - c 1 ( x k - a 1 ) 2 + ( y k - b 1 ) 2 ) α 1 ( k ) = a r c t a n ( y k - b 1 ( x k - a 1 ) 2 ) β 2 ( k ) = a r c t a n ( z k - c 2 ( x k - a 2 ) 2 + ( y k - b 2 ) 2 ) α 2 ( k ) = a r c t a n ( y k - b 2 ( x k - a 2 ) 2 )

2.2 SRUKF算法流程

1)滤波器初始化
X ˙ 0=E[X0]
S0=fchol(E[(X0- X ˙ 0)(X0- X ˙ 0)T])
式中,X0为目标初始状态矢量,S0为状态误差协方差矩阵的初始平方根,fchol表示矩阵的Cholesky分解。
2)球形无迹变换
依据对sigma点集的选取方式不同,无迹变换的采样方式可以分为对称采样和非对称采样。对称采样的sigma点需要2n+1个,n为状态变量的维数。各个采样点的权值如下:
ω m ( 0 ) = λ n + λ ω c ( 0 ) = λ n + λ + ( 1 - α 2 + β ) ω m ( i ) = ω c ( i ) = 1 2 ( n + λ ) , i = 1 , ... , 2 n
式中,下标m为均值,c为协方差,上标为采样点序号,参数λ=α2(n+κ)-n为比例参数,用于降低总的预测误差,α用于控制采样点在其均值附近的分布情况。对于一个n维的状态,每次运算需要计算2n+1个sigma点,计算量相对较大。
相比之下,非对称采样的球形无迹变换只需n+2个sigma点即可实现,且无须繁杂的调参。平方根形式的球型无迹变换sigma点计算如下:
X ˙ k i= X ˙ k+Sk δ i ( n ),i=0,1,2,...,n+1
各个sigma点由球的边缘与球的中心点组成的,且所有的点都位于半径为 n/(1-W0)的球面上,除中心点权值为W0外,各边缘点的权值相同,取值为
Wi= 1 - W 0 n + 1,i=1,2,3,...,n+1
其中,W0的取值范围通常为[0,1),且多取值为0。由此可以看出,球形无迹变换在权值选取时无须提前设置α、β、κ等权值参数,调参更为简单。
3)时间更新
先对这n+2个sigma点集进行一步预测,预测公式为Xs=f( X ˙ k)。再计算系统状态量的一步预测及协方差矩阵,它由sigma点集的预测值加权求和得到:
Xpre= ∑ i = 0 n + 1Wi X s i
S k -=fqr( W i,( X ˙ k 1 : n-Xpre), Q k)
S k -=fchol( S k -, X k ( 0 )-Xpre,W0)
其中,Wi为各个sigma点的权值,fqr和fchol分别表示矩阵的QR分解函数和Cholesky分解函数。根据矩阵分解知识,若矩阵P=AAT,AT的QR分解为AT=QR,其中Q为正交矩阵,R为上三角矩阵,则P=RTQTQR=RTR。公式(15)中求得的 S k -为QR分解中的R因子,又因为P=RTR,所以, S k -即为协方差矩阵的平方根。常规UKF在此处直接利用协方差进行Cholesky分解,会出现矩阵负定无法分解的问题,而采用协方差的平方根进行代替,则可避免此问题。此外,由于中心采样点的权值与其他点不同,所以要单独讨论,也就是公式(16)的作用,此过程相当于:
S k -= S k -+ W 0( X k ( 0 )-Xpre)( X k ( 0 )-Xpre)T
这两者结合实现对协方差矩阵Cholesky因子 S k -的预报。根据一步预测值,得到新的sigma点集Xsigma。
4)量测更新
将上述新的sigma点代入观测方程中,利用观测方程对上一步中得到的sigma点进行更新,经过加权组合获得量测预测值Zsigma,再利用Zsigma获得量测协方差的平方根矩阵 S z z -和状态值的协方差矩阵Pxz:
Z s i g m a = h ( X s i g m a ) Z p r e = ∑ i = 0 n + 1 W i X s i g m a i
S z z - = f q r ( W i , ( Z ˙ p r e 1 : n + 1 - Z p r e ) , R k ) S z z - = f c h o l ( S z z - , Z ˙ p r e 0 - Z p r e ) , W 0 ) P x z = ∑ i = 0 n + 1 W i [ X s i g m a i - X p r e i ] [ Z s i g m a i - Z p r e i ] T
公式(19)的作用和公式(15)、(16)相同,用来计算输出残差的协方差平方根。
5)状态更新
计算卡尔曼滤波增益,更新目标的状态和相应的协方差矩阵:
K = P x z ( S z z - S z z - T ) - 1 X k + 1 = X p r e + K ( Z - Z p r e ) U = K S z z - S k + 1 = f c h o l ( S k , U , - 1 )

2.3 IMM-SRUKF算法

在实际场景中,目标不会以单一的运动模式进行飞行,当滤波算法采用的运动模型与目标实际运动状态不符合时,将会产生很大的跟踪误差。交互多模型算法为每个模型都建立相应的滤波器,各个滤波器采用并行工作方式,用模型的后验概率对滤波器的输入、输出进行加权计算,可以很好地解决此问题。
假设IMM算法模型集中模型个数N,k-1时刻模型i的状态为 X ˙ i(k-1|k-1)、协方差为Pi(k-1|k-1)、模型概率为μi(k-1),模型i到模型j的转移概率为pij,则IMM算法从k-1时刻到k时刻的递推过程如图2所示。
图2 IMM算法流程图
1) 输入交互
模型初始状态为
X ˙ 0 j(k-1|k-1)= ∑ i = 1 N X ˙ i(k-1|k-1)μi|j(k-1|k-1)
模型初始协方差为
P0j(k-1|k-1)= ∑ i = 1 Nμi|j(k-1|k-1)[Pi(k-1|k-1)+( X ˙ i(k-1|k-1)-X0i(k-1|k-1))· ( X ˙ i(k-1|k-1)-X0i(k-1|k-1))T]
其中:
μi|j(k-1|k-1)= 1 C - jpijμi(k-1)
C - j= ∑ i = 1 Npijμi(k-1)
2) SRUKF滤波
根据不同的状态模型,分别设计相应的SRUKF滤波器,然后,把交互步骤得到的k-1时刻状态估计和协方差估计,结合k时刻量测数据,输入滤波器中。输出各个滤波器的状态和协方差估计值。
3) 各模型的概率更新
首先计算各个模型的可能性。各模型k时刻的似然值Λj(k)为
Λj(k)= e x p - 1 2 ( e T j ( k ) ) S j - 1 ( k ) e j ( k ) | ( 2 π ) M S j ( k ) |
其中,M表示量测模型的维数,由此可以求得各模型的校正概率μi(k):
μi(k)= 1 CΛi(k) C - i
C= ∑ i = 1 rΛi(k) C - i
状态、协方差更新:
X ˙(k|k)= ∑ i = 1 N X ˙ i(k|k)μi(k)
P(k|k)= ∑ i = 1 N[( X ˙ i(k|k)- X ˙(k|k))( X ˙ i(k|k)- X ˙(k|k))T]μi(k)+ ∑ i = 1 NPi(k|k)μi(k)

3 仿真验证

选定一个观测站的位置作为坐标原点建立坐标系,假设两个观测站的坐标分别为[0,0,0]和[500,0,0],分别采用CV、CA和CT模型构造目标运动模型,目标运动状态随时刻的变化如表1所示。
表1 目标各个时刻运动状态表
时间/s 运动模型 运动参数
0~50 匀速直线 x方向为-20 m/s,y方向为-10 m/s,z方向为0
50~100 匀速转弯 转弯速率为0.1 rad/s
100~150 匀加速直线 x方向加速度为-5 m/s2,其余方向为0
150~200 匀速直线 加速度为0
采样周期选取为1 s,目标状态Xk为9×1维的状态向量,包含目标在三维空间的位置、速度和加速度信息,初始的状态通过几何定位计算得出,作为滤波初值,输入滤波器中,量测噪声矩阵选取为diag([0.1mrad; 0.1mrad; 0.1mrad; 0.1mrad]),假设各模型的初始概率值为[0.3,0.3,0.4],模型i到模型j之间的概率转移矩阵为
pij= 0.9 0.05 0.05 0.05 0.9 0.05 0.05 0.05 0.9
不同时刻各个模型的概率如图3所示。
图3 各模型不同时刻模型概率曲线图
对比图3和表1可以发现,不同模型的主导时刻与目标的真实运动状态基本符合,验证了IMM-SRUKF算法模型概率预测的准确性。此外,根据图4和图5可以看出,在测角误差为0.1 mrad时,目标各个方向的位置和速度估计均可达到良好的跟踪精度。
图4 各个方向位置跟踪误差
图5 各个方向速度跟踪误差
此外,在其他初始条件均相同的情况下,选取三个不同的量测噪声,将本文的IMM-SRUKF算法和IMM-EKF算法、IMM-UKF算法进行对比,观测站测量的角度误差分别选取为[0.1 mrad;1 mrad;5 mrad],性能指标采取相对距离误差RRE来衡量:
RRE= ( x t r u e - x ˙ ) 2 + ( y t r u e - y ˙ ) 2 + ( z t r u e - z ˙ ) 2 x t r u e 2 + y t r u e 2 + z t r u e 2×100%
对每一个场景执行100组Monte Carlo仿真,若在跟踪结束时刻RRE<15%,则认为本次收敛,否则认为发散。然后,对所有能收敛的样本中跟踪结束时刻的定位均方根误差(RMSE)进行统计,求取其平均值,得到相对的定位精度。最终的仿真结果如表2和图6、图7和图8所示。
表2 各跟踪算法稳定性和定位精度
算法 收敛次数
角度误差
0.1 mrad		 角度误差
1 mrad		 角度误差
5 mrad
IMM-EKF 100 83 59
IMM-UKF 100 96 71
IMM-SRUKF 100 100 93
图6 角度误差为0.1 mrad时各算法跟踪误差
图7 角度误差为1 mrad时各算法跟踪误差
图8 角度误差为5 mrad时各算法跟踪误差
通过对比表2和图6~8中的数据可以发现,在观测精度较高时,各算法均有较好的表现。如图6所示,三种算法在测量角度误差均为0.1 mrad时,收敛时间和精度上都取得了良好的效果。随着观测值精度的降低,各个算法性能的差异性开始体现,IMM-EKF算法相比于IMM-UKF算法和IMM-SRUKF算法,发散的次数明显增多,收敛时间以及精度都相对较差,这主要缘于EKF算法在泰勒展开时高阶项的忽略。随着观测精度的进一步降低,IMM-UKF算法由于在计算过程中的舍入误差,经常会引起协方差矩阵的负定,导致发散和稳定性大幅降低;而IMM-SRUKF算法采用平方根代替协方差参与递推运算,有效地解决了此问题,提高了滤波器的稳定性和精度。

4 结束语

本文以双站纯角度定位为应用场景,首先,从测向交叉定位原理出发,分析双站定位的几何模型,得出系统的测量方程;然后,介绍了平方根SRUKF的算法流程,对常规UKF算法进行改进;最后,将IMM算法与平方根UKF相结合,通过仿真在收敛次数、跟踪精度上和其他的交互多模型算法进行了比较。最终的仿真结果表明,IMM-SRUKF算法在收敛性以及定位精度上有着明显的提高,算法有很好的稳定性。

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