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Command Control and Simulation

Command Control and Simulation >

2024 , Vol. 46 >Issue 3: 49 - 55

DOI: https://doi.org/10.3969/j.issn.1673-3819.2024.03.008

Original article

Research and simulation of missile to target attack and defense strategy based on game theory

  • XUE Jingyun 1, 2 ,
  • LIU Fang 2 ,
  • ZHANG Yinhuan 1, 2
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  • 1 Weinan Vocational and Technical College, Weinan 714026, China
  • 2 Xi'an Technological University, Xi'an 710021, China

Received date: 2024-01-03

  Revised date: 2024-02-22

  Online published: 2024-05-29

Fold

Abstract

Aiming at the situation of random changes in tactics and uncertain information in the confrontation pattern between missile and target in the air combat environment. By analyzing the motion relationship of a single missile attack to determine the target, the principles of dynamic game and differential game are introduced into the relative motion relationship between missile and target. In the dynamic game process of attack and defense confrontation, the terminal guidance problem of a single missile attacking and intercepting the target is modeled as a "one to one missile target" game model. The missile guidance law based on game theory under mixed strategy and the global strategic situation of bilateral optimization of the opponent at a certain moment are proposed. The method of model rolling prediction combined with differential game theory is introduced to simulate the confrontation between missile and target in uncertain attack and defense environments. The simulation results show that using this method can reduce the miss distance of missile to target and improve the hit accuracy of missile. The model provides a basis for missile attack and defense operations.

Key words： attack and defense strategies; differential games; model prediction; Nash equilibrium; guidance law

Cite this article

XUE Jingyun , LIU Fang , ZHANG Yinhuan . Research and simulation of missile to target attack and defense strategy based on game theory[J]. Command Control and Simulation, 2024 , 46(3) : 49 -55 . DOI: 10.3969/j.issn.1673-3819.2024.03.008

空战决策指的是空战过程中,作战双方以战场态势及环境为依据,确定能够击败对方,并使自身损失最小的攻防策略选择方法[1]。随着现代战争中战术弹道导弹的作用日益重要,如何减少此类导弹对目标己方造成的威胁是一个亟待解决的关键问题,同时随着科技的发展,飞机性能不断精进,使得导弹制导的设计日渐困难[2]。一般主要依靠作战经验进行战场决策,或对火力策略优化之后加以应用,但战争是攻防双方不断博弈的过程,只依靠传统经验或对单方策略的优化,容易被另一方所洞悉作战策略和利用,对己方造成损失。此外,在空战中,攻防双方可能是不同的对象,一般存在复杂的利益冲突,引入微分博弈,将单方寻找最优决策发展为双边,并使决策方法更适用于实战,决策结果更科学[3-4],因此本文利用动态微分博弈法对弹目攻防技术进行了研究。
国内外针对博弈论的攻防策略研究还处于进一步研究阶段,但是已经有大量的研究在不同的对象和策略方面建立了很多模型与方法。花文华、陈兴林[5]提出了一种适用于变速拦截情形的有界控非线性微分对策制导律,考虑系统非线性,选取适当的状态变量进行线性化;吴其昌、张洪波[6]对航天器追逃博弈进行了研究,提出用蚁群算法对航天器追逃博弈问题进行优化;车竞、钱炜祺[7]采用矩阵博弈方法对双方空战进行了攻防对抗仿真;惠一楠、朱华勇[8]等人以不完全信息动态博弈理论为基础,设计了免疫进化算法,得到无人机的最优策略序列;于江龙、董希旺[9]等人针对多导弹拦截机动目标的问题,基于微分对策的协同制导方法,利用极小值定理得到多导弹协同拦截机动目标的运动学模型;伊茹[10]针对高速机动目标拦截末制导的问题,结合各种模型与方法设计出各种制导律并利用仿真验证了其有效性。
上述这些提出的模型[11]虽然已经将战场环境中攻防策略研究从单边最优上升到双边最优的高度,但是很少有把某一时刻的分析与一个时间段的决策研究联系起来的,仍存在局限性。本文在兼顾考虑导弹和目标策略均改变的策略局势下,基于弹目非线性相对运动关系中,研究了某一时间段下的弹目策略以及某一时刻下的策略局势。

1 导弹与飞机目标的运动模型

1.1 坐标系转换关系

以导弹发射瞬间所处的地面位置为地面坐标系的原点,导弹的弹道平面与水平面的交线作为地面坐标系的ox0轴,在其铅垂面内作oy0轴,利用右手定则作oz0轴,以此建立地面坐标系,以此描述导弹和目标在空间中的坐标位置。将导弹的质心作为视线坐标系的原点,在某一时刻下,弹目之间连线的方向设置为OX轴,在其铅垂面内作OY轴,OZ轴由右手定则确定,地面坐标系可以经过旋转到达视线坐标系,为了分析导弹与目标的相对运动关系,计算视线坐标系与地面坐标系的方向余弦表达式
X Y Z=L(θe)L(ψβ) x 0 y 0 z 0L
其中
L= c o s   θ e c o s   ψ β s i n   θ e - c o s   θ e s i n   ψ β - s i n   θ e c o s   ψ β c o s   θ e s i n   ϕ θ s i n   ψ β s i n   θ e 0 c o s   θ e
L(ψβ)= c o s   ψ β 0 - s i n   ψ β 0 1 0 s i n   ψ β 0 c o s   ψ β
L(θe)= c o s   θ e s i n   θ e 0 - s i n   θ e c o s   θ e 0 0 0 1
ψβ为视线偏角,θe为视线倾角。

1.2 导弹-飞机目标运动数学模型

在研究弹目运动状态时,将弹丸和目标视为质点,重力和空气阻力是以上两者在空气中运动的主要影响因素,不考虑地球的自转[12],且高度对重力的影响也忽略不计。弹丸的运动微分方程为
V ˙ M=- R M m + g s i n   θ M
将导弹M和目标T在地面坐标系中的位置分别设为(xM,yM)和(xT,yT),如图1所示,选取状态变量XM=[xM,yM, x ˙ M, y ˙ M]T,选取控制量为aM,则导弹的运动学模型用状态空间方程表达即为
X ˙ M= 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0XM+ 0 c o s α s i n αaM
图1 一对一弹目运动模型

Fig.1 One-to-one missile-target motion model

其中,导弹的航向角为α,同时导弹的加速度方向和速度方向垂直
α=arctanVyM/VxM
同理,目标的航向角为β,选取控制量为aT,选取状态变量XT=[xT,yT, x ˙ T, y ˙ T]T,由此根据弹目运动关系,得到目标的运动学模型,可用状态空间方程表示
X ˙ T= 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0XT+ 0 c o s β s i n βaT
目标航向角β可表示为
β=arctan VyT/VxT
弹目相对运动距离r和视线角q可在地面坐标系中表示为:
r= ( x T - x M ) 2 + ( y T - y M ) 2
q=arctan y T - y M x T - x M
设定状态变量[x1,x2,x3]T=[r, r ˙, q ˙]T,r为弹目相对运动距离, r ˙为弹目相对速率, q ˙为视线角速率,由此,一对一弹目非线性系统状态空间表达式为
x ˙ 1 x ˙ 2 x ˙ 3= 0 1 0 x 3 2 0 0 0 0 - 2 x 2 / x 1x+L1u+L2v
其中
L1= 0 s i n ( β + q ) c o s ( β + q ) / x 1,L2= 0 - s i n ( α - q ) - c o s ( α - q ) / x 1

2 导弹-目标微分博弈模型

在战场环境中,导弹与目标两者之间的关系可归结为二人零和非合作博弈状态[13],一方面,弹丸利用自身的感应制导系统有针对性地攻击目标,使目标失去战斗能力;另一方面,目标利用自己的感知与防御体系,干扰弹丸形成爆炸威力,以减小被毁伤的概率,故而,弹丸与目标之间的毁伤是博弈对抗毁伤,因此将作为攻击方的弹丸和作为防御方的目标视作参与毁伤博弈的两个局中人,建立弹目博弈模型,设导弹与目标的状态方程[14]为
x ˙=f(x,u,v,t)
初始条件为x(t0)+c。
x是系统的状态变量,u和v是导弹的控制量和目标的控制量,其均以分段函数表征,且为导弹与目标所设定的策略集的子集。J是局中人双方的收益函数,也作为目标的支付函数
J=φ(x(tk),tk)+ ∫ t 0 t k   L(x,u,v,t)dt
其中
φ(x(tk),tk)=0
上式为终点条件。
在二人微分博弈中,假设t=t0为初始时刻,且x(t0)=c,控制状态变量u和v,按照弹目状态方程把导弹与目标导引至满足终点条件,并要求从全部允许的控制中找出各自的最优控制,即局中人一方希望找到支付函数最小值时的控制输入u,而另一方希望找到使支付函数取最大值时的控制输入v,即寻找一对控制变量(u*,v*)使其满足下式,(u*,v*)为此博弈过程中的均衡解
J(u*,v)≤J(u*,v*)≤J(u,v*)

2.1 策略集与收益函数选取

导弹与目标的策略集设为
u∈U={u1(x,t),u2(x,t),…,un(x,t)}
v∈V={v1(x,t),v2(x,t),vm(x,t)}
导弹的策略集为U,目标的策略集为V,设定u和v为控制量,均为系统变量x和t的函数。
在实际作战环境中,导弹末制导过程中的策略未知,目标的规避导弹打击的策略也未知,此外博弈局中人双方各自选择策略的概率不一样,即实际的决策情况是一种混合策略下的博弈,在有限数量的参与者进行的博弈中,若每个参与者具有有限种纯策略,则该博弈过程中至少存在一个纳什均衡。纳什均衡为在博弈对局中,当其他博弈局中人行为策略不变时,博弈的任意一个局中人都不愿意改变行为策略的情况,这时,局中人的策略组合就称为纳什均衡策略[15]。
为了能全面分析导弹和目标的动态博弈过程中的决策情况,现将混合策略定义如下:
u'={γ1,γ2,…,γp}γ1≥0, ∑ i = 1 pγi=1
v'={η1,η2,…,ηq}η1≥0, ∑ j = 1 qηi=1
其中,γi和ηj为导弹和目标选择各自纯策略的概率。一个混合策略纳什均衡的一对策略组合(u*,v*)
u*={ γ 1 *, γ 1 *,…, γ p *}
c(u*,v*)≥c(ui,v*),∀ui∈u*
v*={ η 1 *, η 1 *,…, η p *}
d(u*,v*)≥d(u*,vj),∀vj∈v*
其中,c和d为拦截弹和目标的收益。
在末制导阶段的博弈过程中,计算得出的制导律的有效性和收益函数的选取有极大的关系,导弹和目标收益函数的形式如下:
sij=gu(x,ui,vj,t)
tij=gv(x,ui,vj,t)
sij、tij分别代表导弹选择第i种制导律、目标选择第j种机动方式规避导弹局中人两方的收益大小,且均为x、t、u、v的函数。按照前面所述,以脱靶量为核心制定目标性能指标函数,将零效脱靶量zem=|(r2 q ˙)/ r ˙|作为双方的收益函数,在此处制定双方的收益函数如下:
sij= r 2 q ˙ r ˙
tij=- r 2 q ˙ r ˙
由此,在动态博弈过程中,任意时刻都可以列出一个拦截弹与目标的收益矩阵,如下所示
( s 11 , t 1 1 ) ( s 12 , t 1 2 ) … ( s 1 q , t 1 q ) ( s 21 , t 2 1 ) ( s 22 , t 22 ) … ( s 2 q , t 2 q ) ︙ ︙ ⋱ ︙ ( s p 1 , t p 1 ) ( s p 2 , t p 2 ) … ( s p q , t p q )
此外,收益函数以及导弹、目标策略集均是关于系统状态变量、时间的函数,可以反映系统任意时刻的状态,由此得到一对一导弹-目标的动态博弈模型。

2.2 基于模型预测控制的纳什均衡求解

在真实的战场环境中,由于下一刻目标的闪避或运动轨迹具有不确定性、随机性,针对这种情况,利用模型预测控制使导弹能及时有效地打击目标。
模型预测控制是一种具有对系统实时预测的控制算法。算法利用系统已有的信息,使用滚动优化,在系统局部寻求最优解,最终得到分段函数形式的最优控制律并不断更新的一种算法。其过程为,通过分析系统整个运行过程中的已有状态,推测将来任一时刻的输入、输出。因此首先需要根据算法理论,确定一对一弹目博弈模型的系统状态方程、性能指标,求模型预测算法下的纳什均衡解。文中非线性系统的状态空间表达式为状态方程,如式(12)。性能指标选择零效脱靶量为核心,可将其表示为
mu(t)J= x 1 2   x 3 x 2 ( t + T )
其中,T为有限的时间区域,由此可以计算博弈模型的纳什均衡解。
在初始时刻t1,有一组纳什均衡解( u 1 *, v 1 *),满足混合策略纳什均衡解定理,从t1时刻开始,导弹和目标开始执行策略( u 1 *, v 1 *)直到下一个时刻t2不再满足式(22)和式(23)的条件,重新计算此时的纳什均衡解( u 2 *, v 2 *),使其满足纳什均衡解的条件,t2时刻即为纳什均衡发生改变的时刻[16],即导弹和目标的策略也发生了变化,以此类推,在t3,t4…,直到导弹命中目标,不满足混合策略纳什均衡解定理时,即式(22)和式(23)不等式符号发生变化。
最终得到分段函数形式的纳什均衡解,以此为导弹-目标各自的运动策略
u*(t)= u 1 * , t 1 ≤ t ≤ t 2 ︙ 　 　 ︙ u t n * , t n ≤ t ≤ t k,v*(t)= v 1 * , t 1 ≤ t ≤ t 2 ︙ 　 　 ︙ v t n * , t n ≤ t ≤ t k

3 算例仿真分析

3.1 拦截制导结果分析

假设导弹和目标双方之间的毁伤策略空间影响因素主要包括导弹末制导阶段的导引律、目标的机动方式,导弹的初始位置坐标(x,y)为(0,0),目标的初始位置为(9000,1100),导弹和目标两个方向的速度分量(vx,vy)为(700,80),(-100,0)。目标跃升时的过载量为5 g,加力加速度为49 m/s2。
导弹比例导引律策略集为{x1,x2,…,x6},飞行目标策略集{y1,y2,…,y6}。其中,策略x1表示导弹末制导阶段以比例系数为2的比例导引律攻击飞机,目标以加力状态直线飞行机动方式规避导弹;x2表示导弹末制导阶段以比例系数为2的比例导引律攻击飞机目标,目标以跃升这一机动方式规避导弹;x3表示导弹末制导阶段以比例系数为2的比例导引律攻击飞机目标,目标规避导弹以最大状态直线飞行;x4表示导弹末制导阶段以比例系数为5的比例导引律攻击飞机目标,目标以加力状态直线飞行机动方式规避导弹;x5表示导弹末制导阶段以比例系数为5的比例导引律攻击飞机目标,目标以跃升机动方式规避导弹;x6表示导弹末制导阶段以比例系数为5的比例导引律攻击飞机目标,目标在规避导弹时以最大状态直线飞行;y1表示目标在加力状态直线飞行时,受到比例系数为2的导弹攻击;y2表示目标在跃升飞行时,受到比例系数为2的导弹攻击;y3表示目标在最大状态直线飞行时,受到比例系数为2的导弹攻击;y4表示目标在加力状态直线飞行时,受到比例系数为5的导弹攻击;y5表示目标跃升时,受到比例系数为5的导弹攻击;y6表示目标最大状态直线飞行受到比例系数为5的导弹攻击。导弹在t时刻的收益矩阵见表1。
表1 t时刻导弹-目标收益矩阵

Tab.1 Missile target revenue matrix at time t

M&T 加力状态
直线飞行		 跃升 最大状态
直线飞行
N=2 (e11,f11) (e12,f12) (e13,f13)
N=5 (e21,f21) (e22,f22) (e23,f23)
其中eij= r i j 2 ( t ) q ˙ i j ( t ) r ˙ i j ( t ), fij=- r i j 2 ( t ) q ˙ i j ( t ) r ˙ i j ( t )。
考虑实际系统的非线性,建立弹目的非线性系统状态空间表达式即式(12),结合表1的收益矩阵,计算得到攻防对抗策略空间下纳什均衡解改变的时刻,即0、3 s、4.5 s导弹和目标的各自的收益值矩阵,分别为如下所示:
t=0 s时
加力状态直线飞行 跃升 最大状态直线飞行
2 5 ( - 85.47,85.47 ) ( - 85.59,85.59 ) ( - 85.65,85.65 ) ( - 85.58,85.58 ) ( - 85.68,85.68 ) ( - 85.76,85.76 )
t=3 s时
加力状态直线飞行 跃升 最大状态直线飞行
2 5 ( - 15.87,15.87 ) ( - 42.35,42.35 ) ( - 20.88,20.88 ) ( - 30.59,30.59 ) ( - 69.76,69.76 ) ( - 42.68,42.68 )
t=4.5 s时
加力状态直线飞行 跃升 最大状态直线飞行
2 5 ( - 8.47,8.47 ) ( - 25.15,25.15 ) ( - 17.29,17.29 ) ( - 15.28,15.28 ) ( - 32.26,32.26 ) ( - 21.68,21.68 )
最后可得到以分段函数形式的导弹制导律:
u*(t)= 5 r ˙ q ˙ , 0 ≤ t ≤ 3 s 4.11 r ˙ q ˙ , 3 ≤ t ≤ 4.5 s 2 r ˙ q ˙ , 4.5 s ≤ t ≤ t k
目标的机动方式策略如下:
v*(t)= 加 力 状 态 直 线 飞 行 , 0 ≤ t ≤ 2 s 跃 升 , 2 ≤ t ≤ 3.5 s 最 大 状 态 直 线 飞 行 , 3.5 s ≤ t ≤ t k
图2绘制了混合策略条件下的导弹与目标相对运动的轨迹。
图2 导弹-目标运动轨迹(目标过载量5 g)

Fig.2 Motive curve of missile and target

3.2 博弈模型的纳什均衡解结果分析

图3和图4分别绘制了纯策略和基于微分博弈的混合策略下,零效脱靶量以及导弹运动轨迹的比较情况。
图3 各策略下脱靶量比较

Fig.3 Comparison of missing distance under various strategies

图4 各策略下导弹运动轨迹比较

Fig.4 Comparison of missile motion trajectories under various strategies

仿真结果表明,基于动态微分博弈混合策略下计算出来的导引律决策方法去攻击目标,这时零效脱靶量明显小于两种纯策略下的导弹策略,因为混合策略下设计的导弹导引律导弹视线角转率更小,所以脱靶量较小,意味着混合策略下计算的导弹导引律有更高的命中精度,此外,如图4,混合策略下的导弹导引律使得导弹的运动轨迹更平直,此方法提高了导弹的命中精度。
此外,在每一个时刻都可以计算出弹目毁伤对抗博弈价值矩阵,而每一个博弈价值矩阵都对应一个双方参与人的毁伤策略空间选择概率的三维分布,以t=3 s时的策略局势分析为例,图5为t=3 s时的空间支付矩阵仿真三维分布。
图5 双人博弈混合策略空间支付矩阵仿真

Fig.5 Simulation of hybrid strategy space payment matrix in two-player game

此时导弹方的策略集为{x1,x2,…,x6},其中每一个策略的选择概率为(0,0,0,0,0,0.23),即导弹方选择第6个策略的概率为0.23,其他策略的概率为0;目标方的策略集为{y1,y2,…,y6},其中选择每一个独立策略的概率为(0,0.047,0,0,0,0),即目标方选择第2个策略的概率为0.047,其他策略概率为0,因此全局博弈下{x6,y2}为该时刻下的最优策略,即导弹在比例系数为5的制导律下攻击目标时导弹收益最大,目标在选择跃升这一机动方式时收益最大。结果表明,通过分析某一时刻下混合策略纳什均衡解,可以确定该时刻下全局最优策略局势,即这一时间段中的一种静态博弈全局最优策略局势。
为验证本文提出的基于微分博弈的制导律的有效性,将本文提出的基于微分博弈的导弹制导律与文献[16]提出的最优导引律和文献[17]提出的比例导引律比较,可以得到脱靶量随时间变化的趋势如图6所示。
图6 弹目相对距离曲线

Fig.6 Relative distance curve of the missile to the target

由图6可以得到,导弹以基于微分博弈的制导律拦截目标时间最短,可以高效地对目标形成拦截,其次是最优导引律和比例导引律。
图7中,微分对策导引律下的导弹运动轨迹最贴近于一条直线,是因为在这种微分博弈的制导律下,导弹控制能量损失小,因此其轨迹最为平直,其次是最优导引律和比例导引律。
图7 三种制导律下的弹目运动轨迹

Fig.7 Motion trajectories of missiles and targets under three guidance laws

图8可以看出导弹采取三种不同制导律下导弹加速度的变化,其中本文提出的基于微分博弈的导弹导引律并不要求导弹有较强的机动性,因此其导弹加速度较小,其所需要的导弹加速度明显小于最优制导律、比例导引律下导弹的加速度。
图8 三种制导律下的导弹加速度

Fig.8 Missile acceleration under three guidance laws

上述比较证明所设计的导弹博弈拦截策略可更加智能地适应攻防态势。这是因为基于微分博弈得到的决策方法是在不明确对方的准确信息,只知道对方的基本表现的情况下,允许各方采用最优策略,实现静态竞争向动态竞争的转变,属于双边最优控制。而比例制导律、最优制导律等其他制导律属于单边寻优问题,因此基于微分博弈的决策方法具有更佳的整体性能,更符合实战。

4 结束语

针对一对一导弹攻击目标的情况,基于末制导下弹目运动模型,利用微分博弈将空战环境下的弹目攻防问题转换为寻求两个局中人参与博弈、获得双边最优的策略局势问题。
1)针对动力学方程的非线性以及目标下一次机动方式不确定的情况,使用模型滚动预测方法去预测下一时刻目标策略以及策略改变的时刻,即动态博弈模型中的均衡解,最终求得在末制导过程中某一时间段中的局部最优解,得出了某一时间段中的导弹制导律;
2)在获得某一时间段的制导律,即完成动态博弈下的决策分析后,获得某一确定时刻下对局中人双方最优的策略局势;
3)通过仿真分析,得出基于动态博弈的导弹导引律对目标有更高的命中精度,验证了基于微分博弈的混合策略下的导弹制导律的有效性。

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