中国科技核心期刊      中国指挥与控制学会会刊     军事装备类重点期刊
Multimodal Information Fusion

A pseudo linear Kalman filtering algorithm for bearings-only maneuvering target tracking

  • LIU Xinan 1, 2 ,
  • WU Panlong 1 ,
  • BO Yuming 1
Expand
  • 1 School of Automation, Nanjing University of Science & Technology, Nanjing 210094, China
  • 2 China North Vehicle Research Institute, Beijing 100000, China

Received date: 2023-09-14

  Revised date: 2023-12-18

  Online published: 2024-10-10

Abstract

A modified range parameterized instrumental variable pseudo linear Kalman filter (MRP-IVPLKF) algorithm is proposed for single station bearings-only ground maneuvering target tracking. Firstly, based on the detection range of the observation station, the relative range between the target and the observation station is divided into several sub-intervals using range parameterization, and instrumental variable pseudo linear Kalman filters are independently operated. Then, based on the filtering innovation and innovation covariance, the sub-filter weights are updated and target maneuvering is detected, ensuring filter stability by resetting the sub-filter weights and state information. Finally, the state information of each sub-filter is weighted and fused to obtain the target state, solving the problem of the decrease in tracking accuracy caused by unknown initial range and target maneuvering. The simulation results show that the position tracking accuracy of the algorithm proposed in this article is significantly improved compared to traditional methods, and can effectively achieve tracking of maneuvering targets.

Cite this article

LIU Xinan , WU Panlong , BO Yuming . A pseudo linear Kalman filtering algorithm for bearings-only maneuvering target tracking[J]. Command Control and Simulation, 2024 , 46(5) : 62 -68 . DOI: 10.3969/j.issn.1673-3819.2024.05.009

在电子战、信息战环境下,传统的有源探测系统主动辐射电磁波信号会暴露自身目标,自身的生存面临严重的威胁。单站无源跟踪系统仅依靠被动接收目标辐射源的辐射信息实现探测、识别、定位与跟踪,具有隐蔽性强,设备量小,作用距离远,覆盖地域大,机动性能好等特点[1-3]。纯方位单站定位的主要问题为量测值与目标状态间呈非线性关系,以及无法利用交叉定位等手段获取目标初始位置信息,尤其是当目标做未知机动时,传统方法很难实现有效跟踪[4-7]
对于纯方位目标跟踪,文献[8]设计了一种距离参数化扩展卡尔曼滤波(Extended Kalman Filter,EKF)纯方位单站跟踪算法,然而该算法的跟踪精度不高。为了提高跟踪精度,文献[9]设计了一种改进的容积卡尔曼滤波(Cubature Kalman Filter, CKF)纯方位单站跟踪算法,然而计算复杂度也随着跟踪精度显著提升。除了传统的非线性滤波算法[10-11],还可以通过将非线性方位测量值替换为伪线性估计器的伪线性方程[12-13]来实现纯方位目标跟踪,这种方法通常被称为伪线性卡尔曼滤波器(Pseudo Linear Kalman Filter,PLKF)。与其他非线性卡尔曼滤波算法相比,PLKF需要的计算复杂度较低,同时提供良好的跟踪性能,但PLKF的主要缺点是存在严重的偏差。基于工具变量的伪线性卡尔曼滤波算法(Instrumental Variable Pseudo Linear Kalman Filter,IVPLKF)采用递归工具变量算法的工具变量矩阵来消除伪量测矩阵与伪线性噪声间的关联性,从而消除偏差,在保留PLKF的稳定性和低复杂度的基础上有更好的估计性能。
本文针对地面纯方位机动目标跟踪问题,提出了一种基于机动检测的改进距离参数化工具变量伪线性滤波算法(Modified Range Parameterized-Instrumental Variable Pseudo Linear Kalman Filter,MRP-IVPLKF)。通过距离参数化将目标相对距离划分为若干个子区间并独立运行IVPLKF滤波器,降低了初始距离未知对跟踪精度的影响,消除了伪线性滤波器的偏差;基于滤波新息与新息检测目标机动,通过重置子滤波器参数解决了目标机动导致滤波发散的问题。该方法实现了纯角度量测下对机动目标的精准跟踪,具有较高应用价值。

1 纯方位目标运动分析

1.1 目标运动模型

目标和观测站的相对运动关系如图1所示。
图1 目标和观测站相对运动关系

Fig.1 Relative motion relationship between target and observation station

k时刻目标的目标状态向量为Xk=[px,k,py,k,vx,k,vy,k]T,[px,k,py,k]和[vx,k,vy,k]分别表示目标的位置和速度。观测站位置为sk=[sx,k,sy,k]T,在跟踪过程中默认为已知量。目标状态方程为
Xk=FXk-1+wk-1
其中,F为状态转移矩阵,wk-1是均值为04×1,方差为Q的过程噪声。

1.2 伪线性量测

k时刻观测站得到的角度为 β ~ k,量测方程为
Zk= β ~ k=h(Xk)+nk=tan-1 Δ y k Δ x k+nk
其中,Δxk=px,k-sx,k、Δyk=py,k-sy,k,nk是均值为01×1、方差为 σ k 2 的量测噪声,量测噪声与过程噪声相互独立。由量测方程可知,纯方位目标跟踪本质上是一种非线性系统[13]
对量测噪声做如下变换:
sin nk=sin( β ~ kk)=sin β ~ kcos β k-cos β ~ ksin β k
其中,βk表示k时刻的真实角度。
上式两边同乘dk= Δ x 2 + Δ y 2,可以得到:

dksin nk=sin β ~ kΔxk-cos β ~ kΔyk=

sin β ~ k(px,k-sx,k)-cos β ~ k(py,k-sy,k)=

[sin β ~ k,-cos β ~ k]pk-[sin β ~ k,-cos β ~ k]sk=

[sin β ~ k,-cos β ~ k,0,0]Xk-[sin β ~ k,-cos β ~ k]sk

由此可以得到伪线性量测方程:
zk=HkXk+ηk
其中,伪线性量测zk=[sin β ~ k,-cos β ~ k]sk,伪线性量测矩阵Hk=[sin β ~ k,-cos β ~ k,0,0],伪线性量测噪声ηk=-dksin nk,其中dk表示目标与观测站的相对距离,ηk的协方差Rk=E{ η k 2}= d k 2 E{sin2nk},当量测噪声nk很小时,Rk d k 2 σ k 2 [14]

2 基于机动检测的MRP-IVPLKF滤波器设计

2.1 距离参数化

假设初始时刻目标与观测站相对距离的范围为(rmin,rmax),将该区间分为N个区间,第n个子区间为(rminρn-1,rminρn),其中比例因子ρ的表达式为
ρ= r m a x r m i n 1 / N
假设目标相对距离在区间内服从均匀分布,则在第n个子区间内,目标相对距离的均值 r - n与标准差 σ r n分别为:
r - n=rmin ρ n - 1 + ρ n 2
σ r n=rmin ρ n - ρ n - 1 12
距离参数化需要给每个区间的子滤波器分配初始权重,初始时刻第n个子滤波器的权重 ω 0 n
ω 0 n= ( ρ n - ρ n - 1 ) r m i n r m a x - r m i n
N=4举例,目标与观测站相对距离划分成的初始子区间如图2所示。
图2 目标和观测站相对距离子区间(N=4)

Fig.2 Sub interval of relative range between target and observation station(N=4)

基于初始时刻量测与各区间目标相对距离的均值和标准差,对各子滤波器进行初始化,第n个子滤波器的初始状态 X 0 n 、初始协方差 P 0 n 为:
X 0 n=( r - ncos β 0, r - nsin β 0,0,0)T
P 0 n=diag( σ r n 2 cos2β0, σ r n 2 sin2β0, σ v 2 cos2β0, σ v 2 sin2β0)
其中,β0为初始时刻角度量测值,σv为依据目标类型设定的先验速度初始标准差。
滤波过程中,距离参数化需要更新子滤波器权重。在观测噪声为高斯白噪声的情况下,可计算得子滤波器的伪量测似然函数。在此基础上依据贝叶斯准则,得到的权重更新函数如下:
ω k n= ω k - 1 n 1 2 π P z z , k | k - 1 n e x p ( - 0.5 ( z k - z k | k - 1 n ) T ( P z z , k | k - 1 n ) - 1 ( z k - z k | k - 1 n ) ) i = 1 N ω k - 1 i 1 2 π P z z , k | k - 1 i e x p ( - 0.5 ( z k - z k | k - 1 i ) T ( P z z , k | k - 1 i ) - 1 ( z k - z k | k - 1 i ) )
其中, ω k n 为k时刻第n个子滤波器的权重, P z z , k | k - 1 n 为第n个子滤波器获取的伪量测协方差, z k | k - 1 n 为第n个子滤波器获取的伪量测的预测值。
设置子滤波器权重阈值Tm1,若第m个子滤波器的权重小于Tm1,则终止对应的子滤波器,并对其余子滤波器的权重作归一化处理。重新归一化后的权重为
( ω k n)'= ω k n i = 1 m - 1 ω k i + i = m + 1 N ω k i,n=1,…,m-1,m+1,…,N

2.2 工具变量伪线性卡尔曼滤波

伪线性滤波的估计误差 e k n,可以写作如下形式:
e k n= A k n+ B k n+ C k n
A k n=(( P k | k - 1 n)-1+ H T k ( R ^ k n)-1Hk)-1 P k | k - 1 nF( X ^ k - 1 | k - 1 n-Xk-1)
B k n=-(( P k | k - 1 n)-1+ H T k ( R ^ k n)-1Hk)-1( P k | k - 1 n)-1wk-1
C k n=(( P k | k - 1 n)-1+ H T k ( R ^ k n)-1Hk)-1 H T k ( R ^ k n)-1ηk
其中, A k n B k n C k n 为误差分量, P k | k - 1 n 表示第n个子滤波器k时刻的预测状态协方差, R ^ k n=(d ^ k n)2 σ k 2, d ^ k n 为第n个子滤波器的相对距离估计值, X ^ k - 1 | k - 1 n 表示k-1时刻的状态估计值。第一项 A k n 来自k-1时刻误差的传播,这不是导致PLKF中有偏差估计的原因。第二项 B k n 来自Hkwk-1之间相关性的偏差,过程噪声wk-1相对较小的情况下, B k n 可以忽略。第三项 C k n 传播了Hkηk之间的相关性产生的偏差,不能忽略,因为它们都包含量测噪声nkHkηk之间的相关性导致了状态估计的偏差[15]
IVPLKF算法通过改进卡尔曼增益及状态估计协方差的计算方式,消除Hkηk之间的关联,从而达到无偏估计。将伪线性卡尔曼滤波的量测向量用IV向量来代替。构造IV向量需要目标的方位角信息,由于真实方位角未知,故不可获得最优IV向量,用偏差补偿伪线性估计得到的方位角 β ^ B C , k | k n 代替。
通过IVPLKF算法获得状态估计值 X ^ I V , k | k n,状态协方差 P I V , k | k n,算法步骤如下:
1)计算PLKF算法获得的状态估计值 X ^ k | k n 和状态协方差 P k | k n:
X ^ k | k - 1 n=F X ^ I V , k - 1 | k - 1 n
P k | k - 1 n=F P I V , k - 1 | k - 1 nFT+Q
K k n= P k | k - 1 n H T k ( R ^ k n+Hk P k | k - 1 n H T k)-1
X ^ k | k n= X ^ k | k - 1 n+ K k n(zk-Hk X ^ k | k - 1 n)
P k | k n= P k | k - 1 n- K k nHk P k | k - 1 n
2)对PLKF算法的滤波结果进行偏差补偿,获得方位角估计值 β ^ B C , k | k n:
C ^ k n=- P k | k n ( R ^ k n)-1 σ k 2MT(M X ^ k | k n-sk)
X ^ B C , k | k n= X ^ k | k n- C ^ k n
β ^ B C , k | k n=h( X ^ B C , k | k n)
其中, C ^ k n 为偏差补偿项,M=[I 2 × 2 0 2 × 2], X ^ B C , k | k n为偏差补偿伪线性卡尔曼滤波得到的状态估计值。
3)构造IV向量 G k n,计算IVPLKF算法获得的状态估计值 X ^ I V , k | k n和状态协方差 P I V , k | k n:
G k n=[sin β ^ B C , k | k n,-cos β ^ B C , k | k n]M
K I V , k n= P k | k - 1 n( G k n)T( R ^ I V , k n+Hk P k | k - 1 n( G k n)T)-1
X ^ I V , k | k n= X ^ k | k - 1 n+ K I V , k n (zk-Hk X ^ k | k - 1 n)
P I V , k | k n= P k | k - 1 n- K I V , k nHk P k | k - 1 n
其中, R ^ I V , k n=(d ^ I V , k n)2 σ k 2, d ^ I V , k n为偏差补偿后的相对距离估计值。

2.3 机动检测

由此可得到距离参数化工具变量伪线性卡尔曼滤波(Range ParameterizedInstrumental Variable Pseudo Linear Kalman Filter, RP-IVPLKF),但该算法在目标机动的情况下跟踪精度会下降,本文设计一种机动检测算法,与RP-IVPLKF结合,得到MRP-IVPLKF算法。
子区间权重稳定时,目标初始相对距离对应的子滤波器权重收敛为1,记此滤波器序号为λ,其余子滤波器权重降为0,对目标运动状态进行机动检测。检测到目标机动后,对该时刻的子滤波器参数重新初始化。本文使用基于滤波新息与滤波协方差的机动因子Ik实现目标机动检测,表达式如下:
Ik= t = k - W 1 + 1 k δ T t( P z z , t | t - 1 λ)-1δt
其中,δt=zt- z t | t - 1 λ,W1为机动检测自由度。
Ik大于给定阈值Tm2,则认为目标机动,重置各子滤波器的状态估计值、状态协方差矩阵和权重,具体表达式如下:
X ^ I V , k | k j= X ^ I V , k | k λ ( 1 ) X ^ I V , k | k λ ( 2 ) c o s ( ϕ j ) X ^ I V , k | k λ ( 3 ) + s i n ( ϕ j ) X ^ I V , k | k λ ( 4 ) - s i n ( ϕ j ) X ^ I V , k | k λ ( 3 ) + c o s ( ϕ j ) X ^ I V , k | k λ ( 4 )
其中,ϕj=2π j N,1≤jN表示机动后目标航向的旋转角, X ^ I V , k | k j 表示第j个子滤波器重置后的状态估计值。
重置k时刻第j个子滤波器的状态协方差 P I V , k | k j 与权重 ω k j 为:
P I V , k | k j= P I V , k | k λ
ω k j= 1 N
对各子滤波器的状态估计值进行加权融合,得到目标状态估计值。
X ^ k | k= i = 1 N ω k i X ^ I V , k | k i

2.4 改进距离参数化工具变量伪线性卡尔曼滤波

由此,本文设计的MRP-IVPLKF算法具体流程如下:
1) 按式(6)~式(11)划分初始区间,计算各子区间滤波器滤波初值与初始权重;
2) 各子区间独立运行IVPLKF,按式(18)~式(29)更新子滤波器状态估计值与状态协方差;
3) 按式(12)更新子滤波器权重,如果子滤波器权重小于Tm1则终止对应子滤波器,按式(13)归一化其余子滤波器的权重。如果权重已经稳定,进入步骤4),否则进入步骤5);
4) 比较机动因子IkTm2,如果Ik>Tm2,按式(31)~式(33)重置子滤波器的状态估计值、状态协方差和权重,否则进入步骤5);
5) 按式(34)对各子滤波器状态估计值加权融合,得到目标状态估计值。

3 仿真验证

3.1 仿真初始条件

假设初始相对距离在(500 m,3 000 m)之间,子区间个数N=4,按照距离参数化方法划分子区间,给定每个子区间的状态量、状态协方差和权重初值,速度初始标准差为10。子滤波器权重阈值设置为0.01,机动检测自由度W1=30,机动识别阈值设置为200。采样时间T=0.1 s,针对不同量测误差设置两种仿真场景,通过蒙特卡洛仿真实验比较所设计算法在不同场景下的跟踪性能,一是量测误差较小时,σ1=0.1 mrad;二是量测误差较大时,σ2=1 mrad。
观测站各时刻运动状态如表1,目标各时刻运动状态如表2,目标及观测站的运动轨迹如图3所示。
表1 观测站运动状态

Tab.1 Observation station movement status

时间/s 运动模型 运动参数
1~10 匀加速运动 初始时刻静止,位于原点,加速度(0.8 m/s2,-0.8 m/s2)
10~25 匀转弯运动 角速度π/15 rad/s
25~90 匀速直线运动 速度(-8 m/s,8 m/s)
90~105 匀转弯运动 角速度π/15 rad/s
105~155 匀速直线运动 速度(8 m/s,-8 m/s)
表2 目标运动状态

Tab.2 Target movement status

时间/s 运动模型 运动参数
1~40 匀速直线运动 初始时刻位置(2 000 m,2 000 m),初始时刻速度(-5.9 m/s,-5.9 m/s)
50~65 匀转弯运动 角速度π/15 rad/s
65~155 匀速直线运动 速度(5.9 m/s,5.9 m/s)
图3 观测站与目标运动轨迹

Fig.3 Observation station and target motion trajectory

3.2 仿真结果分析

针对量测误差的不同,设置两种不同的仿真场景,在每个场景中将距离参数化工具变量伪线性卡尔曼滤波与本文所提的方法进行仿真比较,位置均方根误差仿真结果如图4图5所示,速度均方根误差仿真结果如图6图7所示。
图4 RP-IVPLKF与MRP-IVPLKF位置均方根误差(σ1=0.1 mrad)

Fig.4 Root mean square error of position for RP-IVPLKF and MRP-IVPLKF(σ1=0.1 mrad)

图5 RP-IVPLKF与MRP-IVPLKF位置均方根误差(σ2=1 mrad)

Fig.5 Root mean square error of position for RP-IVPLKF and MRP-IVPLKF(σ2=1 mrad)

图6 RP-IVPLKF与MRP-IVPLKF速度均方根误差(σ1=0.1 mrad)

Fig.6 Root mean square error of speed for RP-IVPLKF and MRP-IVPLKF(σ1=0.1 mrad)

图7 RP-IVPLKF与MRP-IVPLKF速度均方根误差(σ2=1 mrad)

Fig.7 Root mean square error of speed for RP-IVPLKF and MRP-IVPLKF(σ2=1 mrad)

图4可以看出,在量测误差σ1=0.1 mrad条件下,未进行机动修正的RP-IVPLKF算法在模型不匹配时无法自适应调整各子滤波器权重,过大的偏差使权重归一化时分母出现无限趋近于0的情况,最终导致了滤波器崩溃无法输出滤波结果的严重问题;而MRP-IVPLKF算法在检测到目标机动时刻的基础上重新初始化各子滤波器的状态信息和权重,补偿了模型不匹配导致的偏差,从而快速实现对机动目标的精准跟踪。从图5可以看出,在量测误差σ2=1 mrad条件下,未进行机动修正的RP-IVPLKF算法在目标发生机动后滤波误差显著上升,在观测站一次机动后滤波误差逐渐降低,而MRP-IVPLKF算法通过机动检测算法在机动时刻更新目标状态信息和子滤波器权重,滤波误差相较于RP-IVPLKF显著降低,在观测站一次机动后滤波误差收敛至目标机动前,实现了对目标的精准跟踪。
图6图7可以看出,在目标机动前,两种算法的速度均方根误差保持一致,随着观测站的机动逐渐降低,估计速度和真实速度趋于相同。但随着目标开始机动,传统的RP-IVPLKF算法出现较大误差,而MRP-IVPLKF算法通过重新初始化策略修正目标当前时刻的状态,迅速调节目标的速度,速度均方根误差快速收敛至目标发生机动前,跟踪性能显著优于RP-IVPLKF算法。

4 结束语

针对地面纯方位机动目标跟踪问题,提出了一种改进距离参数化工具变量伪线性滤波算法。通过引入观测范围作为先验信息,进行分段滤波,有效避免了滤波初始值对纯方位目标跟踪性能的影响。采用递归工具变量算法的工具变量矩阵消除伪量测矩阵和伪线性噪声之间的相关性,跟踪精度获得了显著提升。针对地面目标典型机动形式,设计一种基于新息与新息协方差机动检测方法,通过子滤波器重置策略解决目标机动导致滤波发散的问题。仿真结果表明,本文所提出的算法,降低了目标初始距离未知对跟踪精度的影响,改善了PLKF算法的估计偏差问题,可以精准跟踪纯角度测量的机动目标,跟踪性能优于PLKF算法。
对于目标做连续多次机动的情况,由于系统的不可观测性,算法的跟踪精度会下降。下一步是针对观测站最优轨迹的研究,并在此基础上继续研究纯方位强机动目标跟踪系统。
[1]
黄耀光, 李建新, 高博. 基于空频域信息的单站无源定位可观测分析[J]. 指挥控制与仿真, 2012, 34(5): 46-49, 54.

HUANG Y G, LI J X, GAO B. Research on the observability for single observer passive location based on spatial-frequency domain information[J]. Command Control & Simulation, 2012, 34(5): 46-49, 54.

[2]
张雪松, 吴楠, 王锋, 等. 基于改进Jerk模型的跳跃滑翔目标跟踪[J]. 指挥控制与仿真, 2023, 45(4): 62-69.

DOI

ZHANG X S, WU N, WANG F, et al. Skip-glide target tracking based on improved Jerk model[J]. Command Control & Simulation, 2023, 45(4): 62-69.

[3]
周乾君, 吴盘龙, 李继民. 一种联合估计的RAM类目标跟踪算法[J]. 指挥控制与仿真, 2022, 44(4): 48-52.

DOI

ZHOU Q J, WU P L, LI J M. A RAM target tracking algorithm based on joint estimation[J]. Command Control & Simulation, 2022, 44(4): 48-52.

[4]
张锐, 王军, 杨博, 等. 自适应模型更新的长时目标跟踪算法[J]. 指挥控制与仿真, 2021, 43(2): 25-32.

DOI

ZHANG R, WANG J, YANG B, et al. Long time target tracking algorithm based on adaptive model updating[J]. Command Control & Simulation, 2021, 43(2): 25-32.

[5]
颜丙峰, 李星秀, 吴盘龙. 基于IMM-SRUKF的双站纯角度机动目标跟踪[J]. 指挥控制与仿真, 2021, 43(2): 39-44.

DOI

YAN B F, LI X X, WU P L. Angle only by double station for maneuvering target tracking based on IMM-SRUKF[J]. Command Control & Simulation, 2021, 43(2): 39-44.

[6]
HE S, WU P L, LI X X, et al. Adaptive modified unbiased minimum-variance estimation for highly maneuvering target tracking with model mismatch[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2023, 72(1): 1-16.

[7]
王聘, 田敬, 吴鹏, 等. 改进强跟踪粒子滤波及其在紧组合导航中的应用[J]. 指挥控制与仿真, 2021, 43(4): 117-122.

DOI

WANG P, TIAN J, WU P, et al. Improved strong tracking particle filter and its application in the tightly-coupled integrated navigation[J]. Command Control & Simulation, 2021, 43(4): 117-122.

[8]
樊垚, 费玮玮, 杨洪康, 等. 基于距离参数化EKF滤波器的纯方位目标运动分析[J]. 舰船科学技术, 2019, 41(9): 128-133.

FAN Y, FEI W W, YANG H K, et al. Bearings-only target motion analysis method based on range-parameterised EKF filter[J]. Ship Science and Technology, 2019, 41(9): 128-133.

[9]
鹿传国, 冯新喜, 张迪. 基于改进容积卡尔曼滤波的纯方位目标跟踪[J]. 系统工程与电子技术, 2012, 34(1): 28-33.

LU C G, FENG X X, ZHANG D. Pure bearing tracking based on improved cubature Kalman filter[J]. Systems Engineering and Electronics, 2012, 34(1): 28-33.

DOI

[10]
YUN P, WU P L, HE S, LI X X. A variational bayesian based robust cubature kalman filter under dynamic model mismatch and outliers interference[J]. Measurement, 2022, 191(1): 1-15.

[11]
WANG K, LI X X, WU P L. A variational Bayesian modified unbiased converted measurement Kalman filter[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2023, 31(3): 261-267.

[12]
LI J N, HE S M, NING Z, et al. Three-dimensional bearing-only target following via observability-enhanced helical guidance[J]. IEEE Transactions on Robotics, 2023, 39(2): 1 509-1 526.

[13]
张俊根. 基于IMMBPF的纯方位区间量测机动目标跟踪[J]. 控制工程, 2022, 29(12): 2 277-2 283, 2 299.

ZHANG J G. Maneuvering target tracking of bearings-only interval measurement based on IMMBPF[J]. Control Engineering of China, 2022, 29(12): 2 277-2 283, 2 299.

[14]
Nguyen Ngoc hung, Dogancay Kutluyil. Improved pseudolinear kalman filter algorithms for bearings-only target tracking[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2017, 65(23): 6 119-6 134.

[15]
肖碧琴, 李锋. 纯方位偏差补偿估计算法研究[J]. 指挥控制与仿真, 2011, 33(1): 94-96.

XIAO B Q, LI F. Research of bias compensation estimator algorithm[J]. Command Control & Simulation, 2011, 33(1): 94-96.

Outlines

/