中国指挥与控制学会会刊 
低轨(Low Earth Orbit, LEO)卫星通信星座因其传输距离短、信号衰减少、时延低等优势,能够覆盖地面基站难以触及的区域,为全球用户提供全时空、多层次的通信服务[1]。若在低轨巨型星座中搭载电子侦察载荷,几乎所有国家上空都将实现电子侦察卫星的全天候覆盖,可实时监测全球范围内防空雷达、卫星通信与导航等系统的电磁态势,使军事行动在平时与战时均趋于“透明化”。此外,星座中卫星数量和轨道密度的显著增加,不仅提升了系统的空间自由度、频率分辨率与高程分辨能力,还可实现对包括空中辐射源在内的多类目标的实时定位与跟踪,显著增强了航天电子侦察系统的整体探测性能,或将引发卫星侦察模式的根本性变革。
低轨电子侦察星座的首要研究内容是星座的轨道设计与优化。传统星座设计方法多以几何解析为基础[2],代表性理论包括卫星覆盖带理论[3]、Walker 星座设计理论[4]及正交圆轨道设计理论[5]等,其中,Walker 星座作为典型方案,已广泛应用于导航与通信系统,如星链(Starlink)与一网(OneWeb)即基于该结构构建。然而,面对多目标、多约束条件下的复杂优化问题,几何解析法和枚举法在效率与可扩展性方面均存在局限。因此,近年来研究者引入了多种智能优化算法,如遗传算法、差分进化、粒子群优化与模拟退火算法等,通过在可行域内进行全局搜索,以实现任务驱动目标函数的优化[6-7]。例如,文献[8]考虑发射场任务间隔时间约束,提出应用改进遗传算法的低轨星座部署策略优化方法。文献[9]提出一种基于改进粒子群算法的卫星星座优化设计方法,以最大化卫星星座对特定区域如中国的平均覆盖率为目标,基于3+4P星座构型进行卫星星座优化设计。文献[10]利用NSGA-Ⅱ算法和TOPSIS综合评价优化星间链路拓扑结构,决策出不同应用场景下的最优星间链路方案。
针对当前低轨星座在时频差无源定位任务中的需求,本文提出了一种面向该应用的低轨电子侦察星座优化设计方法。在给定轨道高度范围和其他约束条件的前提下,综合考虑卫星数量最少与定位性能最优两个目标,基于遗传算法构建优化模型,并利用STK与Matlab进行联合仿真,完成低轨星座结构的高效优化与性能评估。
1 面向时频差无源定位的低轨电子侦察星座轨道模型
Walker星座的设计参数可归纳为两类:构型参数(T/P/F)和轨道参数(h/i),其中,总卫星数T、轨道面数P和相位差F唯一确定星座构型;轨道高度h与倾角i则决定单星轨道特性。因此,完整的星座优化参数集为{T,P,F,h,i}。
1.1 多星时频差定位原理
考虑三维空间的TDOA/FDOA无源定位系统,如图1所示。在地心地固坐标系中,一组卫星基站si(i=1,2,…,N)组成的定位系统对卫星观测到的辐射源u的信号进行TDOA 和FDOA参数估计。设各观测站的位置和速度分别为si=[xi yi zi]T、vi=[vxi vyi vzi]T,辐射源的位置为u=(x,y,z)T,其中各接收站的编号i(i=1,2,…,N)。
辐射源到观测卫星的真实距离可表示为
ri=‖u-si‖=$\sqrt{({x}_{i}{-x)}^{2}+({y}_{i}{-y)}^{2}+({z}_{i}{-z)}^{2}}$
因此,主接收站1和辅接收站i的信号到达时间差可表示为
TDODi1=$\frac{{r}_{i1}}{c}$=$\frac{{r}_{i}-{r}_{1}}{c}$
FDOAi1=$\frac{{v}_{i}(u-{s}_{i})}{\lambda {r}_{i}}$-$\frac{{v}_{1}(u-{s}_{1})}{\lambda {r}_{1}}$
式中,vi,v1为径向距离变化速度,λ为目标信号的波长。
在已建立的地心地固坐标系中,考虑地球表面的约束条件如下:
$\frac{{x}^{2}}{N}$+$\frac{{y}^{2}}{N}$+$\frac{{z}^{2}}{N(1-{e}^{2})}$=N
则最终得出时频差(TFDOA)定位方程组可表示为
1.2 定位精度模型
多星定位系统有M颗卫星,则分别有M-1个时差方程与频差方程,由时频差方程在梯度构成的雅可比矩阵可表示为
假设观测站与目标均处于运动状态,则基于TFDOA的Fisher矩阵为
JTFDOA=${\left(\frac{dTFDOA}{du}\right)}^{T}{Q}_{tf}^{-1}\frac{dTFDOA}{du}$
式中,Qtf为TFDOA模型的噪声协方差矩阵。
在忽略地球表面约束条件时,克拉美罗下界(CRLB)[16]为Fisher矩阵的逆
CRLB(u0)=${J}_{TFDOA}^{-1}$=${\left\{{\left(\frac{dTFDOA}{du}\right)}^{T}{Q}_{tf}^{-1}\frac{dTFDOA}{du}\right\}}^{-1}$
考虑TFDOA模型包含地球表面约束,则带有约束条件的克拉美罗下界(CRLB)表达式为
CRLB(u0)=${J}_{TFDOA}^{-1}$-${J}_{TFDOA}^{-1}$F(FT${J}_{TFDOA}^{-1}$F)-1FT${J}_{TFDOA}^{-1}$
1.3 优化目标及约束方程的建立
无源定位系统中,电磁目标的定位精度是关键指标。优化目标需兼顾两方面:在满足最少观测卫星数量的前提下,最大化星座的无源定位性能(即最小化定位误差下限CRLB),同时最小化星座卫星总数。由于卫星与辐射源的相对位置及辐射源工作模式具有时变性,需以观测周期内的平均定位性能为优化依据。
此外,卫星轨道设计需满足以下约束条件:(1)星座规模约束:卫星总数T∈[Nmin, Nmax];(2)轨道相位约束:不同轨道卫星的相对相位F∈[0, P-1];(3)轨道高度范围:500~1 500 km,以规避大气阻力(下限)和范艾伦辐射带影响(上限)[17]。
因此,优化目标函数可以表示为
$\underset{T,P,F,i,h\in S}{Min}${T,Q}
其中,S表示搜索解集空间,T为卫星总数,Q为星座的克拉美罗界CRLB,P为轨道面数,N为每个轨道面内的卫星数,F为相对相位,h为轨道高度,i为轨道倾角。
为模拟低轨星座与辐射源的动态相对位置,可采用STK进行轨道仿真,并结合MATLAB联合计算星座的CRLB。在遗传算法迭代过程中,每次更新卫星参数后,通过STK重新仿真星座构型,并利用MATLAB计算更新后的CRLB,从而实现CRLB的迭代优化。
2 基于遗传算法的低轨电子侦察星座轨道优化方法
星座轨道构型优化属于多目标约束优化问题,其复杂性主要体现在参数类型多样、量纲不统一以及目标函数与变量之间存在非线性关系等方面。在处理此类问题时,传统优化算法常面临易陷入局部最优或计算效率较低等局限。遗传算法是一种模拟生物进化过程的智能优化方法,能够通过自然选择与遗传机制对复杂非线性优化问题进行有效求解,具备较强的全局搜索能力和鲁棒性。基于此,本文采用遗传算法对星座轨道构型进行优化设计,以在保证计算效率的同时提升星座的覆盖性能。
2.1 星座参数的染色体编码
对于优化对象为Walker构型的低轨电子侦察星座(卫星总数T=PN,P为轨道面数,N为每轨道面卫星数),可以将优化目标简化为“最小化单轨道面卫星数N”,以降低模型复杂度。基于此,低轨电子侦察星座的优化设计需要考虑的参数变量包括:
X={[P][N][F][h][i]}
在遗传算法中,这些参数被称作染色体,本文对染色体使用二进制编码。编码、译码以及精度计算公式如下,其中,用u来代表被编码的参数,其参数的范围为[Umin,Umax],k表示二进制编码位数。
编码:x=$\frac{(u-{U}_{min})({2}^{k}-1)}{{U}_{max}-{U}_{min}}$
译码:u=$\frac{{U}_{max}-{U}_{min}}{{2}^{k}-1}$·x+Umin
编码精度:Π=$\frac{{U}_{max}-{U}_{min}}{{2}^{k}-1}$
2.2 遗传算法的处理流程
遗传算法的核心原理基于生物进化中的选择、交叉和变异机制,其通过适应度函数评估个体优劣,采用轮盘赌选择保留优质染色体。在交叉阶段,通过单点交叉等操作交换父代基因片段(Pc∈[0.6,0.9]),变异阶段则以小概率(Pm∈[0.001,0.01])随机改变基因位以维持种群多样性。这3个核心操作使算法在探索与开发间保持平衡。最终,遗传算法步骤如图2所示:
(1) 生成卫星星座轨道参数的初始染色体种群;
(2) 对种群中的每条染色体计算适应度函数的值,以此评估染色体的适应性能;
(3) 模拟自然选择的过程,产生新的染色体种群。
重复步骤2和3,当找到最优解或满足终止条件时结束循环。
3 仿真实验
3.1 Starlink星座的定位性能
在仿真实验中,本文采用卫星工具包(STK)分析星座的整体覆盖性能。如图3所示,本文利用STK提供的接口STK/connect可以连接Matlab实现Starlink星座场景的建立,场景中各卫星的轨道6根数数据均来自celestrak网站。
为验证Starlink星座的无源定位能力,本实验利用STK构建了包含15个典型地面辐射源的仿真场景。辐射源分布于赤道(纬度±5°)、中纬度(±30°)和高纬度(±60°)区域,覆盖经度范围3.00°至356.67°,具体坐标如表1所示。实验初始时刻设定为2024年3月15日04:00:00(UTC),该时间窗口选择基于Starlink星座在该时段内卫星覆盖密度的稳定性验证。辐射源天线波束宽度设为60°,波束指向垂直地表,时间测量误差为50 ns,符合典型电子侦察载荷的精度要求。通过STK/Connect接口导出卫星轨道6根数及覆盖数据,结合Matlab计算各辐射源的克拉美罗下界(CRLB)。
表1 实验辐射源地理坐标与区域分类Tab.1 Geographic coordinates and regional classification of experimental radiation sources |
| 辐射源 | 经度/° | 纬度/° | 区域类型 |
|---|---|---|---|
| F1 | 3 | -1.19 | 赤道 |
| F2 | 123 | -1.19 | 赤道 |
| F3 | 249 | -1.19 | 赤道 |
| F4 | 356.67 | 29.76 | 中纬度 |
| F5 | 3.53 | -32.14 | 中纬度 |
| F6 | 123.33 | 29.76 | 中纬度 |
| F7 | 123.33 | -32.14 | 中纬度 |
| F8 | 250 | 29.76 | 中纬度 |
| F9 | 250.59 | -32.14 | 中纬度 |
| F10 | 354 | 60.71 | 高纬度 |
| F11 | 4.26 | -56.9 | 高纬度 |
| F12 | 126 | 60.71 | 高纬度 |
| F13 | 124.62 | -56.9 | 高纬度 |
| F14 | 264 | 60.71 | 高纬度 |
| F15 | 244.61 | 56.9 | 高纬度 |
计算结果显示,Starlink星座对F1~F15的未约束定位误差理论下界(CRLB)分别为28.28 m、27.95 m、23.68 m、28.85 m、16.87 m、20.43 m、25.38 m、21.75 m、28.56 m、0 m(波束宽度90°时为7.10 m)、26.97 m、127.27 m、21.77 m、76.75 m、42.99 m。值得注意的是,辐射源F10(高纬度)在波束宽度为60°时因覆盖卫星数不足导致定位失效(CRLB=0 m),但当波束宽度放宽至90°时,其定位精度显著提升至7.10 m,表明高纬度区域的定位性能对波束宽度更为敏感。
因此,在Starlink星座中,针对纬度范围在-60°~60°,经度范围在0°~240°的辐射源的不加约束的定位精度均可达到百米级以内,而加约束计算得到的定位精度值则更小。
3.2 低轨星座优化后的试验结果
由以上分析可知,当辐射源波束宽度为60°时,无源定位精度结果仍有待提高。为了面向电子侦察的需求,实现对全球范围内的辐射源更高精度的实时监测,我们需要对星链构型进行进一步优化。
在全球范围内,目前最具代表性的低轨巨型星座为星链(Starlink)。截至2025年1月,星链已有7 000余颗卫星。为简化计算,本研究选择星链一代第一阶段(Block v1.0)的卫星构型作为仿真对象,该构型包含4层Walker星座,总计4236颗卫星,轨道高度范围为540至570 km,轨道倾角覆盖53.0°至97.6°,以实现对全球不同区域的覆盖。具体参数见表2。
表2 Walker星座具体构型参数Tab.2 Specific configuration parameters of walker constellation |
| T/个 | P/个 | h/km | i/(°) | |
|---|---|---|---|---|
| Group1 | 1584 | 72 | 550 | 53.0 |
| Group2 | 720 | 36 | 570 | 70 |
| Group3 | 348 | 6 | 560 | 97.6 |
| Group4 | 1584 | 72 | 540 | 53.2 |
| 总数 | 4236 | 186 |
实验采用卫星工具包(Satellite Tool Kit, STK)生成上述低轨星座场景,仿真时间设定为2024年4月18日4:00,并通过Matlab与STK互联进行覆盖性分析。目标区域选为北纬0°至60°、经度-180°至180°,该区域覆盖全球人口稠密的中低纬度地区,具有较高的监测需求。为评估定位性能,考虑到均匀分布和区域代表性,在目标区域内设置9个辐射源,经纬度坐标分别为(0°,-120°)、(0°, 0°)、(0°, 120°)、(30°,-120°)、(30°, 0°)、(30°, 120°)、(60°,-120°)、(60°, 0°)、(60°, 120°),天线波束入射角均为60°。以9个辐射源同一时刻定位精度的平均值近似代表目标区域的定位精度。
基于约束和性能指标,本文设定目标函数中的星座卫星总数和星座的定位精度所占的权重分别为0.3和0.7,采用遗传算法进行低轨电子侦察星座轨道构型的优化。对于遗传算法,设定参数为:种群数量为2,迭代次数为10,交叉概率为0.6,变异概率为0.01,解空间满足上述的约束条件。定位精度的计算基于CRLB,并设置时差和频差的测量误差分别为σt=50 ns,σf=10 Hz。综合考虑无源定位性能最优与低轨星座卫星总数最少,我们进行目标函数的优化。
表3 优化后Walker星座具体构型参数Tab.3 Optimized configuration parameters of walker constellation |
| T/个 | P/个 | h/km | i/(°) | |
|---|---|---|---|---|
| Group1 | 1584 | 72 | 549.829 | 52.936° |
| Group2 | 720 | 36 | 570.208 | 69.995° |
| Group3 | 290 | 5 | 642.648 | 149.223° |
| Group4 | 1 407 | 67 | 1 265.511 | 168.745° |
| 总数 | 4 001 | 180 |
结果显示,进化到3代之后,最优适应度函数值和最优定位精度趋于稳定,收敛速度快,总耗时约97 200 s。本文优化后的结果如下:卫星总数减少了235个,轨道数减少了6个;平均定位精度值为29.263 m,低于初始星座的定位精度值45.083 m,相比之下减少了15.820 m,无源定位性能有所提升,其中,Group4的轨道高度从540 km提升至1 265.511 km,倾角调整至168.745°,增强了对高纬度地区的覆盖能力。可见优化后星座对目标区域的覆盖能力增强,能够在节约资源的情况下,完成对全球地区的实时监测。
4 结束语
本文针对时频差无源定位任务,提出了一种面向低轨电子侦察星座的多目标优化设计方法,主要结论如下:(1)以最小化卫星总数与克拉美罗界(CRLB)为双重优化目标,采用遗传算法进行轨道参数的多目标优化,兼顾系统成本与定位精度。通过STK导出覆盖数据,并结合STK/Connect接口与Matlab联合计算,实现了星座CRLB的有效评估。(2)优化后的星座在纬度-60°至 60°、经度0°至240°范围内实现了百米级以内的定位精度,进一步约束计算条件后精度更高,验证了所提方法在提升低轨星座定位性能方面的有效性。(3)当前算法计算效率较低,单次适应度计算需耗时数分钟,若迭代次数与种群规模增加,总计算时间显著增长。未来可考虑引入分布式计算,将适应度评估任务并行分配至多台计算机,以缩短整体优化时间。