中国指挥与控制学会会刊 
随着技术的发展进步,世界海军强国发展了数量众多的新型航行器,给各国海上安全构成了严重威胁,水下监视能力成为世界主要海洋强国的发展重点,其核心在于能否有效地探测和跟踪水下目标。由于部分水下航行器呈现体积小、航速高等特点,传统基于目标距离和方向角的跟踪滤波方法由于跟踪递推信息量不足,难以保证在水下环境对目标跟踪高精度[1-2]。而水下目标高速运动使可利用的跟踪滤波数据点较少,但也产生了较大的目标多普勒速度,即目标相对于声呐系统的径向速度,将其引入跟踪滤波器的观测方程可以有效增加跟踪滤波的递推计算信息量,提高了跟踪滤波速度和精度。
基于目标距离和方向角的方程均为非线性方程,通常利用扩展卡尔曼滤波器(Extend Kalman Filter, EKF)或无迹卡尔曼滤波器(Unscented Kalman Filter, UKF)实现对目标跟踪[3-4]。EKF基于Taylor级数展开并省略高阶项的数学思想实现线性化近似,存在部分观测方程雅克比矩阵求解困难或无法求解和强非线性方程的线性化近似误差偏大的问题。而UKF通过目标距离和方向角的采样点近似表示其概率分布,并通过无迹变换(Unscented Transform, UT)逼近目标状态量的后验概率分布,避免了雅克比(Jaccobian)矩阵的复杂计算和均值等量的非线性传递,保证了较高精度的跟踪滤波。
目标多普勒速度可以认为是目标距离的一阶导数,其雅克比矩阵求解困难,因基于UKF跟踪滤波框架将目标多普勒速度引入观测方程[5]。综上,文中提出了一种基于UKF引入目标多普勒速度的水下快速跟踪方法,实现在少数据点条件下水下近程高速小目标的快速跟踪。
1 UKF原理及步骤
UKF是通过对目标运动状态先验概率密度分布取近似,通过采样Sigma点逼近目标运动状态后验概率密度分布,利用UT变换解决目标运动状态均值和协方差的非线性传递更新问题,避免了求解传递函数的雅克比矩阵,进而在卡尔曼滤波(Kalman Filter, KF)的框架下实现递推计算。因为,UKF避免了对非线性目标运动状态方程和观测方程本身进行线性化近似,不存在高阶项省略问题,保证了跟踪滤波的精度和鲁棒性[2]。
UT变换是根据目标运动状态先验概率密度分布在目标运动状态均值和协方差的估计值附近采样,使采样点的概率密度分布服从于目标运动状态概率密度分布,再将采样点代入非线性状态方程求取目标运动状态后验概率密度分布,并以采样点UT变换后均值和协方差作为目标运动状态的更新值,其原理如图1 所示。
对于过程噪声和量测噪声服从高斯分布的非线性方程,通过UT变换后Sigma点的均值和协方差精度可达到3阶Taylor级数展开精度,即使是非线性分布也可达到2阶Taylor级数展开精度。
Sigma点的采样方式有对称分布采样、单形分布采样和比例修正分布采样等方式。假设非线性函数y=f(x),目标运动状态向量X为n维向量,由先验概率分布知目标运动状态均值 和协方差矩阵P。文中以比例修正分布采样法为例介绍采样方法和UKF递推过程。
1)求取2n+1个采样点UT变换后的Sigma点,得
式中,( )j表示目标运动状态协方差均方根矩阵的第j列。
2)求Sigma点对应的权值ω
式中,λ=α2(n+κ)-n表示权值缩短参数,α表示Sigma点分布状态控制参数,κ和β表示待选参数。
假设k时刻的非线性目标运动状态方程和观测方程为
式中,W(k)和V(k)分别表示目标运动状态过程噪声向量和观测噪声向量,均服从高斯分布且互补相关。此时,UKF递推过程如下。
1)选取一组Sigma点集并求其权值
X(j)(k|k)=
2)求Sigma点集的目标运动状态一步预测值为
X(j)(k+1|k)=f[k,X(j)(k|k)] (j=1,…,2n+1)
3)通过求目标运动状态向量一步预测值加权平均值,得到目标运动状态一步预测估计值
(k+1|k)= ω(j)X(j)(k+1|k)
P(k+1|k)= ω(j)[(k+1|k)-X(j)(k+1|k)][(k+1|k)-X(j)(k+1|k)]T+Q(k)
4)基于式(6)和式(7)一步预测值代入UT变换,获得更新Sigma点集
X(j)(k+1|k)=
5)将式(8)中新的Sigma点集代入式(3)的目标运动状态观测一步预测值
Y(j)(k+1|k)=h[X(j)(k+1|k)]
6)将式(9)求得的目标运动状态观测一步预测值,通过加权求和得观测一步预测值的均值和协方差矩阵
7)求UKF增益
K(k+1)=
8)更新目标运动状态和协方差矩阵
(k+1|k+1)= (k+1|k)+K(k+1)[Y(k+1)- (k+1|k)]
P(k+1|k+1)=P(k+1|k)-K(k+1) KT(k+1)
通过UKF递推过程可知,其采样目标运动状态估计值点,并进行UT变换获得服从先验概率分布的Sigma点,通过UKF递推求得新的Sigma点均值和协方差矩阵,得到当前时刻目标运动状态的概率分布函数的一种统计学近似[6]。
2 引入目标多普勒速度的观测方程
传统的水下目标跟踪方法主要是基于目标距离和方向角构建的二维观测方程可利用信息有限,目标跟踪精度、收敛速度和鲁棒性均较难进一步提高[7]。文中,以近程小目标高速接近声呐系统场景进行研究,可将新型声呐系统直接测得的目标多普勒速度引入UKF观测方程,通过增加观测方程的多普勒速度维度,增加跟踪滤波的信息量,提高了跟踪精度和滤波收敛速度及鲁棒性。传统的水下跟踪滤波的目标运动方程和观测方程可分别表示为
式中,Y(k)=[R(k),θ(k)]T,R(k),θ(k)分别表示目标距离和目标运动方向角,V(k)表示观测噪声服从高斯白噪声。观测函数可表示为
h[X(k)]=
目标的多普勒速度是目标到传感器连线的径向速度[8],等价于目标距离一阶导数可表示为
vd(k)=
组成新的三维观测方程可表示为
Y(k)=h[X(k)]+V(k)= +V(k)
将改进的观测方程代入第一节中的UKF基本框架进行步骤1)~步骤8)的递推运算,即可得到基于引入目标多普勒速度的水下高精度目标跟踪方法。
3 仿真实验
和雷达跟踪目标基于极坐标系不同,声呐跟踪目标一般基于直角坐标系。文中,以单基地主动声呐跟踪高速近程小目标为例,验证该算法的可行性和有效性。
假设以发现目标的起始位置为坐标原点,声呐中心处于(1000,1000)点处,声呐信号发射周期T为1 s,目标沿着45°方位角以x轴25 m/s和y轴25 m/s向声呐中心运动,目标运动的自身位置和速度均方根误差分别为10 m和1 m/s,声呐量测的目标距离、方向角和多普勒速度的均方根误差分别为4 m,1°和1 m/s,UKF采用比例修正分布采样Sigma点,其参数设置为α=0.1、κ=0和β=2,跟踪持续时间为25 s,并进行了50次的蒙特卡洛试验,得到仿真实验结果如图2 所示。
由表1 可知,引入了目标多普勒速度的水下目标跟踪方法滤波后,目标位置均方根误差和速度均方根误差都明显优于常规仅基于目标距离和方位角的水下跟踪滤波方法。通过引入目标多普勒速度增加UKF的观测方程维度,有效增加了跟踪滤波的信息量,从而提高了跟踪滤波的精度,保证在少数据点条件下有效跟踪滤波;从图2 可知,引入目标多普勒速度水下目标跟踪方法性能稳定,能够25 s时长内保持较小的跟踪误差,没有出现滤波发散的趋势,具有较好的鲁棒性,而常规仅基于目标距离和方位角的跟踪滤波方法在跟踪20 s后,由于跟踪误差积累有较明显的滤波发散的趋势,鲁棒性较差。
表1 不同方法跟踪性能(50次) |
| 跟踪滤波方法 | 目标位置 均方根误差 | 目标速度 均方根误差 |
|---|---|---|
| 常规UKF | 26.985 8 m | 4.356 6 m/s |
| 引入多普勒UKF | 8.322 5 m | 2.977 5 m/s |
4 结束语
本文提出了基于引入目标多普勒速度的水下高速小目标快速跟踪方法,将声呐测得目标高速运动产生较大的多普勒速度引入基于UKF框架的观测方程,增加了跟踪滤波递推计算的信息量,实现了跟踪滤波方法在较少的数据点条件下的快速收敛,且保证了跟踪滤波有较高的精度,并通过仿真验证了该方法达到了预期的效果。