Sliding Mode Control of Quad-rotor UAV Based on Extended State Observer

ZHAO Hong-chao; ZHOU Hong-qing; WANG Shu-hu

doi:10.3969/j.issn.1673-3819.2020.05.018

Command Control and Simulation >

2020 , Vol. 42 >Issue 5: 91 - 96

DOI: https://doi.org/10.3969/j.issn.1673-3819.2020.05.018

Engineering ＆ Application

Sliding Mode Control of Quad-rotor UAV Based on Extended State Observer

ZHAO Hong-chao ¹ ,
ZHOU Hong-qing ² ,
WANG Shu-hu ²

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1. Yantai Nanshan College, Longkou 265713
2. Naval Aviation University, Yantai 264001, China

Received date: 2020-02-29

Request revised date: 2020-04-23

Online published: 2022-05-07

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Abstract

The outer loop position controllers and inner loop attitude controllers were designed by combining extended state observer (ESO) and sliding mode control, for satisfying the demands of real-time, energy consumption and disturbance rejection of quad-rotor unmanned aerial vehicle (UAV) control system. The outer loop position controllers consisted of three ESOs and three sliding mode controllers. Three ESOs estimated the complex disturbance and UAV’s velocity simultaneously. Three sliding mode controllers ensured three output tracking errors of the position control system to converge to zero. The inner loop attitude controllers also consisted of three ESOs and three sliding mode controllers. Three ESOs estimated the lumped disturbance and attitude angular velocity simultaneously. Three sliding mode controllers ensured three outputs tracking errors of the attitude control system to converge to zero. Simulation results show that the sliding mode controllers based on ESOs ensure the strong disturbance rejection capability of quad-rotor UAV control system, and they increase the trajectory tracking accuracy of quad-rotor UAV.

Key words： quad-rotor UAV; disturbance rejection; energy consumption; ESO; sliding mode controller

Cite this article

ZHAO Hong-chao , ZHOU Hong-qing , WANG Shu-hu . Sliding Mode Control of Quad-rotor UAV Based on Extended State Observer[J]. Command Control and Simulation, 2020 , 42(5) : 91 -96 . DOI: 10.3969/j.issn.1673-3819.2020.05.018

四旋翼无人机具有垂直起降、空中悬停、飞行灵活、操作简单等优势特性,引起了人们越来越多的关注和重视。近年来,四旋翼无人机已经在航拍、物流快递、线路巡检、消防抢险、农业植保、灾害救援、军事侦察等许多领域得到了广泛的应用。

四旋翼无人机是一种典型的欠驱动、非线性、静不稳定系统,同时因其惯性质量较小、抗干扰能力较差、飞行环境要求较高等特性,使四旋翼无人机对控制系统算法有着较高的要求。在工程中,无法对无人机所受的空气动力建立精确的数学模型,无人机的转动惯量、空气动力参数等测量值与实际值之间也存在偏差,另外还有外界干扰的影响,这些都增加了无人机的控制难度。因此,需要为无人机设计抗干扰能力强(鲁棒性强)的控制系统。

为了保证四旋翼无人机控制系统具有较强的鲁棒性,国内外研究者将一些先进控制方法应用于无人机控制系统设计。常用的控制方法包括PID控制改进形式、鲁棒控制、滑模控制、反步控制、自适应控制、自抗扰控制等。经典PID控制方法是工程中四旋翼无人机采用最多的一种控制方法,但是其鲁棒性不强。为了增强鲁棒性,一些研究者将其与先进控制方法相结合,设计出多种改进形式,比如模糊自适应PID控制^[1]、基于遗传算法的非线性PID控制^[2]、基于Kalman滤波的PID控制^[3]、模糊串级PID控制^[4]、基于神经网络的PID控制^[5]等。文献[6]将四旋翼无人机动力学解耦为外环位置控制系统和内环角度控制系统,分别针对两个子系统设计了干扰观测器和鲁棒H_∞控制器。文献[7]采用反步控制和滑模控制设计了分数阶控制器,利用分数阶滑模提高系统的收敛速度和精度。文献[8]对传统滑模控制进行了改进,设计了一种基于双幂次趋近律的积分滑模控制器,增强了系统鲁棒性以及轨迹跟踪能力。文献[9]分别采用自适应滑模控制方法、基于神经网络干扰观测器和基于非线性干扰观测器的线性滤波降阶方法设计了四旋翼无人机控制器,通过仿真验证了几种控制器保证了系统跟踪性能和鲁棒性。文献[10]设计了基于模型参考自适应的容错控制器,在存在外界扰动和执行器故障的情况下四旋翼飞行器也具有较好的姿态控制效果。文献[11,12,13]采用了自抗扰控制方法设计四旋翼无人机控制器,并利用自抗扰控制中的扩张状态观测器(ESO)在线实时估计系统的总扰动,使控制系统具有较强的鲁棒性。文献[14,15]在四旋翼无人机控制系统设计中也采用ESO来估计系统的内、外总扰动,提高了控制系统的跟踪精度。

四旋翼无人机对实时性与能耗有较高要求,除动力设备能耗程度高以外,控制算法的运行功耗也是主要耗能因素之一。选择简单有效的控制算法能够降低能耗、减轻机载计算机的运算负担,有利于在四旋翼无人机上进行应用。滑模控制方法具有鲁棒性强的优点,而且算法简单,因此本文采用滑模控制替代PID控制来设计四旋翼无人机的控制器。众所周知,滑模控制的主要缺陷是存在抖振现象,其产生的主要原因是不连续的符号函数项的增益需要足够大,大于总扰动项的上界,以保证鲁棒性。为了克服抖振现象,采用ESO对各种不确定项和外界干扰等构成的总扰动项进行估计和补偿,并将输出加入滑模控制器中,因此不需要较大的符号函数项,在保证鲁棒性的同时显著削弱抖振问题。此外,我们研究发现,ESO在对总扰动项进行补偿的同时,也可以作为运动速度和角速度的观测器,从而不需要设计额外的状态观测器或者滤波器来解算运动速度和角速度信息,也保证了控制算法具有简单实用,能耗低的优点。

1 四旋翼无人机建模

四旋翼无人机是一个4输入、6输出的欠驱动系统,并且各通道之间具有较强的耦合度。假设四旋翼无人机为结构对称、质量分布均匀的刚体,忽略无人机的机体及螺旋桨的形变和弹性振动等复杂动态。将无人机的空中运动分为质心运动和姿态运动两个部分,并考虑各种干扰项的影响,建立四旋翼无人机的数学模型如下:

(1)

x ¨ = (cos ϕ sin θ cos ψ + sin ϕ sin ψ) U 1 / m + d x y ¨ = (cos ϕ sin θ sin ψ - sin ϕ cos ψ) U 1 / m + d y z ¨ = (cos ϕ cos θ) U 1 / m - g + d z ϕ ¨ = (I y - I z) θ · ψ · / I x + U 2 / I x + d ϕ θ ¨ = (I z - I x) ϕ · ψ · / I y + U 3 / I y + d θ ψ ¨ = (I x - I y) ϕ · θ · / I z + U 4 / I z + d ψ

式中(x、y、z)为在地面坐标系的无人机质心位置;ϕ、θ、ψ分别为滚转角、俯仰角和偏航角;U₁为4个螺旋桨的总升力;m为无人机的质量;g为重力加速度;I_x、I_y、I_z为三轴转动惯量;U₂、U₃、U₄为三轴控制力矩;d_x、d_y、d_z是包含不确定项、空气阻力及外界干扰等因素的总扰动项;d_ϕ、d_θ、d_ψ是包含不确定项、空气阻尼力矩、螺旋桨陀螺力矩及外界干扰等因素的总扰动项。

2 基于扩张状态观测器的滑模控制器设计

由四旋翼无人机的数学模型可知,其控制方式是利用U₂、U₃和U₄来改变无人机的3个姿态角,而U₁和3个姿态角共同作用改变无人机的位置,即位置变化是借助姿态角变化来实现的。为了解决4个输入控制6个输出的欠驱动问题,将无人机控制系统分解为外环位置控制和内环姿态控制两部分分别控制。

2.1 外环位置控制器设计

为了实现位置控制器的解耦设计,引入3个虚拟控制量如下:

(2)

u x = (cos ϕ sin θ cos ψ + sin ϕ sin ψ) U 1 u y = (cos ϕ sin θ sin ψ - sin ϕ cos ψ) U 1 u z = (cos ϕ cos θ) U 1

此时位置系统模型变换为

(3)

x ¨ = u x / m + d x y ¨ = u y / m + d y z ¨ = u z / m - g + d z

由于x子系统、y子系统和z子系统的模型是基本一致的,下面以x子系统为例设计扩张状态观测器和滑模控制器,进而可以容易地推广到y子系统和z子系统的设计。

针对x子系统设计第1个扩张状态观测器,记为“ESO1”,定义观测误差变量如下:

(4)

e₁₁=z₁₁-x,e₁₂=z₁₂- $x ·$ ,e₁₃=z₁₃-d_x

式中:

x ·

为无人机运动速度沿x轴的分量。

ESO1设计为

(5)

z · 11 = z 12 - β 1 e 11 z · 12 = z 13 - β 2 fal (e 11, 0.5, δ) + u x / m z · 13 = - β 3 fal (e 11, 0.25, δ)

式中:β₁>0,β₂>0,β₃>0,0<δ<1,fal(·)函数的一般表达式为

(6)

fal(e, a, δ)= $| e | a sign (e), e | > δ e / δ (1 - a), | e | ≤ δ$

其中:sign(·)为符号函数。根据韩京清老师的研究^[16],观测误差最终收敛于零的小邻域内,设|d_x|≤d_max,则

(7)

| e 11 | ≤ (d max / β 3) 4 | e 12 | ≤ β 1 (d max / β 3) 4 | e 13 | ≤ β 2 (d max / β 3) 2

因此,只要选取β₃足够大于d_max,这些观测误差都会足够小。利用ESO1的状态z₁₃估计复合干扰项d_x,因此在滑模控制器设计中将以z₁₃代替d_x。另外,由式(4)可得,观测误差e₁₂足够小表明了z₁₂恰好是

x ·

的估计量,因此不需要设计额外的状态观测器或者滤波器来解算

x ·

。

设x的期望指令为x_d,跟踪误差为e_x=x_d-x。选取滑模面为

(8)

s₁= $e · x$ +c₁e_x,c₁>0

基于ESO的滑模控制器设计表述为如下定理。

定理1:对于x子系统,设计扩张状态观测器ESO1,选取滑模面为式(8),设计滑模控制器如下:

(9)

u_x=m[c₁ $x · d$ + $x ¨ d$ -c₁z₁₂-z₁₃+k₁s₁+ρ₁sign(s₁)]

式中:k₁>0,ρ₁≥|c₁e₁₂+e₁₃|。那么,系统跟踪误差渐近收敛到零。

证明:选取Lyapunov函数为

(10)

V= $s 12$ /2

对V求导,并将式(4)、式(9)代入,整理可得,

(11)

$V ·$ =s₁ $s · 1$ =s₁( $x ¨ d$ +c₁ $x · d$ -c₁ $x ·$ -u_x/m-d_x)=

s₁[c₁(z₁₂- $x ·$ )+(z₁₃-d_x)-k₁s₁-ρ₁sign(s₁)]≤

-k₁ $s 12$ -ρ₁|s₁|+|(c₁e₁₂+e₁₃)s₁| (11)

由于ESO1保证了e₁₂、e₁₃都会足够小,因此,只要选取ρ₁适当大就能够保证ρ₁≥|c₁e₁₂+e₁₃|,由此可得,

(12)

$V ·$ ≤-k₁ $s 12$ =-2k₁V

因此控制系统是渐近稳定的,

lim t → ∞

s₁=0,再由式(8)可得,跟踪误差e_x渐近收敛到零。证毕。

同理,对于y子系统,设计ESO2为

(13)

z · 21 = z 22 - β 1 e 21 z · 22 = z 23 - β 2 fal (e 21, 0.5, δ) + u y / m z · 23 = - β 3 fal (e 21, 0.25, δ)

观测误差变量为

(14)

e₂₁=z₂₁-y,e₂₂=z₂₂- $y ¨$ ,e₂₃=z₂₃-d_y

式中

y ¨

为无人机运动速度沿y轴的分量。

设y的期望指令为y_d,跟踪误差为e_y=y_d-y。选取滑模面为

(15)

s₂= $e · y$ +c₂e_y,c₂>0

设计滑模控制器如下:

(16)

u_y=m[c₂ $y ¨ d$ + $y ¨ d$ -c₂z₂₂-z₂₃+k₂s₂+ρ₂sign(s₂)]

式中k₂>0,ρ₂≥|c₂e₂₂+e₂₃|。则跟踪误差e_y渐近收敛到零。

对于z子系统,设计ESO3为

(17)

z · 31 = z 32 - β 1 e 31 z · 32 = z 33 - β 2 fal (e 31, 0.5, δ) + u z / m z · 33 = - β 3 fal (e 31, 0.25, δ)

观测误差变量为

(18)

e₃₁=z₃₁-z,e₃₂=z₃₂- $z ·$ ,e₃₃=z₃₃-d_z

式中

z ·

为无人机运动速度沿z轴的分量。

设z的期望指令为z_d,跟踪误差为e_z=z_d-z。选取滑模面为

(19)

s₃= $e · z$ +c₃e_z,c₃>0

设计滑模控制器如下:

(20)

u_z=m[c₃ $z · d$ + $z ¨ d$ -c₃z₃₂-z₃₃+g+k₃s₃+ρ₃sign(s₃)]

式中k₃>0,ρ₃≥|c₃e₃₂+e₃₃|。则跟踪误差e_z渐近收敛到零。

由式(2)进行反解,可以求得实际控制输入U₁和实现u_x、u_y、u_z所需的期望姿态角指令:

(21)

U 1 = u z / (cos ϕ cos θ) ϕ d = ta n - 1 [(u x sin ψ - u y cos ψ) cos θ / u z] θ d = ta n - 1 [(u x cos ψ + u y sin ψ) / u z]

2.2 内环姿态控制器设计

由式(21)求得的ϕ_d、θ_d分别作为内环ϕ、θ的期望指令;另外需给定ψ的期望指令ψ_d。式(1)的后3个方程为姿态角系统模型。考虑到扩张状态观测器在多变量系统的解耦控制方面性能优越^[16],将系统模型中的交叉耦合项(I_y-I_z)

θ · ψ ·

/I_x、(I_z-I_x)

ϕ · ψ ·

/I_y、(I_x-I_y)

ϕ · θ ·

/I_z视为内部扰动项,由扩张状态观测器一并进行估计,从而姿态角系统模型变换为

(22)

ϕ ¨ = U 2 / I x + d ̅ ϕ θ ¨ = U 3 / I y + d ̅ θ ψ ¨ = U 4 / I z + d ̅ ψ

式中

d ̅ ϕ

=(I_y-I_z)

θ · ψ ·

/I_x+d_ϕ,

d ̅ θ

=(I_z-I_x)

ϕ · ψ ·

/I_y+d_θ,

d ̅ ψ

=(I_x-I_y)

ϕ · θ ·

/I_z+d_ψ被称为汇总干扰项。

对比式(22)和式(3)可知,姿态角系统模型和位置系统模型是基本一致的,因此,外环位置控制器的设计过程可以同理推广到内环姿态控制器的设计。

对于ϕ子系统,设计ESO4为

(23)

z · 41 = z 42 - β 4 e 41 z · 42 = z 43 - β 5 fal (e 41, 0.5, δ 4) + U 2 / I x z · 43 = - β 6 fal (e 41, 0.25, δ 4)

观测误差变量为

(24)

e₄₁=z₄₁-ϕ,e₄₂=z₄₂- $ϕ ·$ ,e₄₃=z₄₃- $d ̅ ϕ$

式中

ϕ ·

为无人机的滚转角速度。设跟踪误差为e_ϕ=ϕ_d-ϕ。选取滑模面为

(25)

s₄= $e · ϕ$ +c₄e_ϕ,c₄>0

设计滑模控制器如下:

(26)

U₂=I_x[c₄ $ϕ · d$ + $ϕ ¨ d$ -c₄z₄₂-

z₄₃+k₄s₄+ρ₄sign(s₄)]

式中:k₄>0,ρ₄≥|c₄e₄₂+e₄₃|。则跟踪误差e_ϕ渐近收敛到零。

对于θ子系统,设计ESO5为

(27)

z · 51 = z 52 - β 4 e 51 z · 52 = z 53 - β 5 fal (e 51, 0.5, δ 4) + U 3 / I y z · 53 = - β 6 fal (e 51, 0.25, δ 4)

观测误差变量为

(28)

e₅₁=z₅₁-θ,e₅₂=z₅₂- $θ ·$ ,e₅₃=z₅₃- $d ̅ θ$

式中

θ ·

为无人机的俯仰角速度。设跟踪误差为e_θ=θ_d-θ。选取滑模面为

(29)

s₅= $e · θ$ +c₅e_θ,c₅>0

设计滑模控制器如下:

(30)

U₃=I_y[c₅ $θ · d$ + $θ ¨ d$ -c₅z₅₂-z₅₃+k₅s₅+ρ₅sign(s₅)]

式中k₅>0,ρ₅≥|c₅e₅₂+e₅₃|。则跟踪误差e_θ渐近收敛到零。

对于ψ子系统,设计ESO6为

(31)

z · 61 = z 62 - β 4 e 61 z · 62 = z 63 - β 5 fal (e 61, 0.5, δ 4) + U 4 / I z z · 63 = - β 6 fal (e 61, 0.25, δ 4)

观测误差变量为

(32)

e₆₁=z₆₁-ψ,e₆₂=z₆₂- $ψ ·$ ,e₆₃=z₆₃- $d ̅ ψ$

式中

ψ ·

为无人机的偏航角速度。设跟踪误差为:e_ψ=ψ_d-ψ。选取滑模面为

(33)

s₆= $e · ψ$ +c₆e_ψ,c₆>0

设计滑模控制器如下:

(34)

U₄=I_z[c₆ $ψ · d$ + $ψ ¨ d$ -c₆z₆₂-

z₆₃+k₆s₆+ρ₆sign(s₆)]

式中k₆>0,ρ₆≥|c₆z₆₂+z₆₃|。则跟踪误差e_ψ渐近收敛到零。

总结一下,本部分运用解耦控制思想,针对6个输出量分别设计了6个基于ESO的滑模控制器,保证了系统输出跟踪误差渐近收敛到零。四旋翼无人机控制系统的结构如图1所示。

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图1 四旋翼无人机控制系统结构框图

3 仿真分析

为了检验本文提出的控制方法的有效性,根据图1采用Matlab/Simulink软件平台构建四旋翼无人机控制系统的仿真模型。以文献[15]的四旋翼无人机模型为研究对象进行仿真分析,并将本文算法的控制算法与文献[15]的控制算法进行对比。为了保证对比的准确性、可靠性,设置无人机参数、期望轨迹以及总干扰项等都与文献[15]相同。期望轨迹为

(35)

x d = 2 sin (0.2 π t) y d = 2 sin (0.2 π t + π) z d = 0.5 t

偏航角的期望指令为ψ_d=0。位置环施加的总干扰项均为2 sin t;姿态环施加的总干扰项为[sin 2t 0 sin 2t]^T。

经过仿真调试,选取控制器参数为:

β₁=100、β₂=500、β₃=2000、δ=0.01、c₁=c₂=3.6、k₁=k₂=4.2、ρ₁=ρ₂=1.5、c₃=35、k₃=75、ρ₃=10、β₄=200、β₅=800、β₆=3000、δ₄=0.001、c₄=c₅=c₆=25、k₄=k₅=k₆=36、ρ₄=ρ₅=ρ₆=4.5。

无人机初始位置[x y z]^T=[0 0 0]^T,初始姿态角[ϕ θ ψ]^T=[0 0 0]^T。由静止状态起飞沿螺旋上升轨迹运动,仿真步长为0.001 s,仿真时间为30 s,仿真结果分别如图2~6所示。

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图6 ESO对姿态角速度的观测误差

仿真结果分析:由图2和图3可得,基于ESO的滑模控制器能够控制四旋翼无人机快速准确地跟踪期望轨迹,在施加干扰的情况下,达到稳态时轨迹跟踪误差最大仅有0.001 5 m;而在文献[15]中,轨迹跟踪误差最大为0.06 m。对比可得,本文算法将轨迹跟踪精度提高了一个数量级,跟踪精度高,抗干扰能力强。

由图4可得,达到稳态时姿态角跟踪误差最大为0.003 rad,姿态角跟踪误差虽然存在抖振现象,但是振幅很小。由图5和图6可得,6个ESO在估计总干扰项的同时,也完成了对运动速度和姿态角速度的估计,在0.74 s以后ESO对运动速度的观测误差都收敛到0.01 m/s以内,在1.1 s以后对姿态角速度的观测误差都收敛到0.004 rad/s以内,估计精度较高。仿真结果表明,文中所设计的基于ESO的滑模控制器保证了四旋翼无人机控制系统具有较强的抗干扰能力,提高了轨迹跟踪精度。

4 结束语

本文针对四旋翼无人机的欠驱动特性,将控制系统分解为外环位置控制和内环姿态控制两部分分别控制。考虑了不确定项、内部耦合以及外界干扰等因素的影响,将它们集中在一起构成汇总干扰项,设计了扩张状态观测器对汇总干扰项进行估计。另外,采用扩张状态观测器也对运动速度和角速度进行估计。在此基础上设计了滑模控制器控制跟踪误差渐近收敛到零。仿真结果表明,所设计的基于扩张状态观测器的滑模控制器保证了四旋翼无人机控制系统具有较强的抗干扰能力,在存在各种干扰的情况下对四旋翼无人机的运动速度和角速度进行了准确估计,提高了四旋翼无人机的轨迹跟踪精度,表现出较好的控制性能。下一步工作是分析四旋翼无人机动力系统饱和问题,进而研究四旋翼无人机控制系统抗饱和算法。

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1 四旋翼无人机建模

2 基于扩张状态观测器的滑模控制器设计

2.1 外环位置控制器设计

2.2 内环姿态控制器设计

图1 四旋翼无人机控制系统结构框图

3 仿真分析

图2 螺旋上升轨迹跟踪效果

图3 轨迹跟踪误差曲线

图4 姿态角跟踪误差曲线

图5 ESO对运动速度的观测误差

图6 ESO对姿态角速度的观测误差

4 结束语

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