中国指挥与控制学会会刊 
在现代化战争中,为了提升导弹的速度、机动性和射程,导弹结构逐渐呈现细长化。而对于这种“大长细比”的导弹,它呈现出的弹性特征也越发明显,比如弹性振动的固有频率变小,与刚体工作频带较接近而发生耦合;弹体会长时间存在一定幅值的弯曲振动,这种振动会恶化弹载精密仪器的工作环境,从而降低精密仪器的精度;同时也是因为弹体的弯曲变形造成气动面所受的气动载荷发生变化,这种变化会使系统不能较好地完成机动指令,降低控制精度[1]。通常,将长细比大于15的导弹称为弹性导弹。
工程实践中,根据是否需要外部能量的参与,对弹性振动的处理可分为被动控制技术和主动控制技术[2]。被动控制技术需要依赖系统自身,其目标是减小控制系统中的弹性振动信号,常用的方法有传感器最优位置设计[3-4]、常规或自适应陷波器设计[5⇓-7]。然而,在实际飞行过程中,振动模态是时变的,而测量元件的安装位置是固定的,无法保证传入控制系统中的振动信号始终为最小。此外,无论是哪种类型的陷波器,都是将振动当作高频噪声干扰进行处理,这在振动模态频率较低甚至与刚体运动工作频带发生混叠时,会严重影响导弹刚体运动的工作频率特性,不利于控制系统的稳定性。因此,不以减振为目标的被动控制,会比较保守。主动控制技术需要利用外部能量对振动施加控制力,从而达到减震的效果。高强等人[8],Liu等人[9]通过在原有舵机的基础上引入附加作动装置,并针对飞行控制和振动抑制分别设计控制器,提出了主动减振组合控制方案,从而实现了对姿态的有效跟踪和减振。然而,添加额外的执行机构会改变硬件布局,影响导弹的气动外形,具体实现较难。
除了以上两种控制技术外,很多学者通过应用现代控制理论,从飞行控制算法的角度研究弹性振动的处理。Yang等人[10]将振动看作刚体动力学的不确定性建立模型,进而构造了H∞控制器。该方法的目标不是直接对振动进行控制,而是依靠系统自身的鲁棒性实现稳定。张雷等人[11]将振动模态引入到性能函数中,提出了两自由度H∞弹道跟踪减振控制算法,不仅实现了对刚体弹道状态的有效跟踪,对振动也有明显的抑制作用。此外,因为弹性振动信息作为导弹飞行过程中的广义量,没有相应的传感器可以测量,所以也有很多学者致力于利用观测器对其进行估计的研究。宗群等人[12]通过将弹性模态的影响视为不确定,并设计有限时间干扰观测器对其进行估计。王润驰[13]针对弹性扰动分别设计了经典干扰观测器和滑模干扰观测器,并且均能有效地观测到振动信息。如果将观测得到的振动信息作为状态变量开展控制器的设计,即对弹性振动进行控制,然后使其快速地被抑制住,便可在本质上直接抑制振动对飞行姿态影响。
1 弹性导弹纵向综合运动
其中,ωz为俯仰角速度,α为攻角,δz为俯仰舵偏角,V为飞行速度,g为重力加速度,ny为法向过载,a22,a24,a25,a34,a35为动力系数[16],q为振动广义坐标, 为广义坐标随时间的变化率,ω为振动模态的固有频率,ξ为结构阻尼,d1,d2,d3,d4,d5为振动广义力系数,A1,A2,B1,B2表示振动对刚体运动直接影响的系数,n为振动模态总数,下标“i”用于标注第i阶振动模态。
事实上,弹性振动模态的阶次越高,固有频率也就越高,在整个弹性变形中所占的比例就越小,重要程度也就越低。根据这个特点,若将振动信息作为设计控制器的依据,会因为执行机构带宽的限制而难以实现,所以本文只考虑第一阶振动模态。此外,在弹性导弹飞行控制系统中,由传感器直接测量得到的姿态角速度主要由刚体运动本身的姿态角速度和弹性振动引起的附加姿态角速度两部分组成[13],即
ω'z=ωz-ϕ'1(Xs)
其中,ω'z为传感器直接测量得到的俯仰角速度,ϕ'1(Xs)为传感器安装位置处第一阶振动模态的振型斜率。
令
x=[ ]T;u=δz
则式(1)和式(2)可由状态空间表达式描述为
其中
A=
B=[ ]T;
>C=
CN= ;
DN=[a35V/g]
y为传感器直接测量得到的俯仰角速度,且由式(3)中前两个方程构成的状态空间表达式Ⅰ用于降阶状态观测器设计。yN为法向过载,且由式(3)中第一个和第三个方程构成的状态空间表达式Ⅱ用于内模控制器设计。
2 降阶状态观测器设计
在实际的控制系统中,状态反馈控制所面临的困难就是一些状态变量不容易直接测量,所以在构造控制信号时,要在状态空间表达式I满足完全可观侧的前提条件下,才能对不易测量的状态变量进行估计。
由于姿态角速度可由传感器精确测量得到,所以只需要估计其余的状态变量,即
xa=ω'z;xb=[ ]T
其中,xa表示可由传感器直接测量得到的量,xb表示需要进行估计的状态变量。
对状态空间表达式I进行线性变换,使xa作为新状态变量,进而开展降阶状态观测器的设计,令
C1= ; =Tx;x=T-1
T= ;T-1=
其中, =[ ]=[ ],I3为3×3单位矩阵。则可得到
其中
=TAT-1=
=TB=[ ]T; =CT-1=[ ]
$\overline{\boldsymbol{A}}=\left[\begin{array}{c:ccc} a_{22}-\phi_{1}^{\prime} d_{11} & a_{24}-\phi_{1}^{\prime} d_{21} &B_{21}-\phi_{1}^{\prime}\left(d_{51}-\omega_{1}^{2}\right) & B_{11}-\phi_{1}^{\prime 2} d_{11}+\phi_{1}^{\prime} a_{22}-\phi_{1}^{\prime} d_{41}+2 \phi_{1}^{\prime} \xi_{1} \omega_{1}\\ \hdashline 1 & -a_{34} &-A_{21} & \phi_{1}^{\prime}-A_{11} \\ 0 & 0 & 0 &1\\ d_{11} & d_{21} & d_{51}-\omega_{1}^{2}& \phi_{1}^{\prime} d_{11}+d_{41}-2 \xi_{1} \omega_{1} \end{array}\right]$
=[]T
式中0m×h表示m行h列的零矩阵。
从式(4)可以看出,状态可直接测量部分的方程为
- xa- u= xb
可将上式看成输出方程。
此外,状态需估计部分的方程为
= xb+ xa+ u
设计观测矩阵L,用来对测量输出与估计输出之间差值的修正项进行加权,从而连续不断地对模型输出进行修正,并改善观测器的性能[17]。
结合式(5)和式(6),降阶状态观测器的观测器方程可表示为
$ \dot{\hat{x}}_{b}=\left(\bar{A}_{b b}-L \bar{A}_{a b}\right) \hat{x}_{b}+\bar{A}_{b a} x_{a}+\bar{B}_{b} u+L\left(\dot{x}_{a}-\bar{A}_{a a} x_{a}-\bar{B}_{a} u\right)$
式中, 为xb的估计值。
用式(6)减去式(7)并结合式(5),则可以得到观测器的误差方程为
$ \dot{x}_{b}-\dot{\hat{x}}_{b}=\left(\bar{A}_{b b}-L \bar{A}_{a b}\right)\left(x_{b}-\hat{x}_{b}\right)$
定义
$ e=x_{b}-\hat{x}_{b}$
则式(8)可变为
=(-L ) e
从上式可以看出,误差向量的动态特性由矩阵 -L 的特征值决定,所以加权矩阵L的设计,要确保矩阵 -L 的特征值使误差向量的动态特性渐近稳定,并能使误差向量尽快地趋于可接受的小范围内,从而设计出高性能的状态观测器。
3 自动驾驶仪的设计
根据内模原理,任何一个系统想要良好的跟踪外部输入信号或者抵消扰动信号,那么在该系统的反馈回路中一定包含有输入或者扰动的动力学模型[18]。所以,以状态空间表达式II为控制模型开展内模控制器设计。
3.1 内模控制器设计
根据内模控制原理进行控制器的设计和分析,可将公式进行整理得到如下方程组
式中,r为参考输入信号,E为跟踪误差的积分。
选取常用的阶跃信号作为飞行控制系统的典型输入信号,则在t>0时,有r(∞)=r(t)=1,所以系统的动态特性可被描述为
定义
xe(t)=x(t)-x(∞);Ee(t)=E(t)-E(∞);ue(t)=u(t)-u(∞)
则式(11)可以改写成
定义增维误差向量z为
则式(12)可变为
(t)=Aez(t)+Beue(t)
式中,
Ae= ;Be=
在式(13)所描述的系统是状态完全可控的情况下,通过设计状态变量反馈,可以使该系统的输出yN精确地跟踪输入信号r,则ue可以被定义为
ue=-Kz=-Kxxe-KNEe
其中,KN为积分增益常数,Kx为反馈增益矩阵,且K= ],Kx= ],Kb=[ ]。这里的ue即为控制舵偏角指令δzc。
对于状态反馈式(14),利用二次型最佳控制方法设计状态反馈增益矩阵K,使得下列性能指标J
J= (zTQ z+ R ue)dt
达到极小值。式中,Q为正定(或半正定)对称矩阵,R是正定对称矩阵,矩阵Q和R分别确定了误差和能量消耗的相对权重。
将式(14)代入式(15),可以得到
J= zT(Q+KTRK)zdt
令
zT(Q+KTRK)z=-d(zTPz)/dt
其中,P为正定实对称矩阵。
矩阵P可通过求解Riccati方程得到,方程如下
P+PAe-PBeR-1 P+Q=0
则J取得最小值的解为
K=R-1 P
本文提出的状态观测器和内模控制器相结合的方法,其实质是一个观测-状态反馈控制系统,不同的是在控制器中加入了输入信号的内部模型。此外,状态反馈不仅可以实现闭环系统的稳定,还会极大地改善动态性能,而与弹性振动相关的状态变量q1和 作为可控量,在受到状态反馈的影响时,可具有较好的收敛特性,从而对弹性振动起到快速抑制的作用[2]。
3.2 自动驾驶仪的结构
由式(7)可以看出,为了得到 $\hat{x}_{b}$,需要对xa进行微分,在xa含有噪声信号的情况下,微分是不利的,所以这里需要进行处理。
为了避免xa的微分,定义
$ \dot{\hat{\eta}}=\hat{A} \hat{\eta}+\hat{B} y+\hat{F} u$
$ \eta=x_{b}-L y=x_{b}-L x_{a} ; \hat{\eta}=\hat{x}_{b}-L y=\hat{x}_{b}-L x_{a}$
于是式(7)可变为
$ \dot{\hat{\eta}}=\hat{A} \hat{\eta}+\hat{B} y+\hat{F} u$
其中
$\hat{A}=\bar{A}_{b b}-L \bar{A}_{a b} ; \hat{B}=\hat{A} L+\bar{A}_{b a}-L \bar{A}_{a a} ; \hat{F}=\bar{B}_{b}-L \bar{B}_{a}$
将 变换到 ,可得
$\hat{x}=\hat{C} \hat{\eta}+\hat{D} y$
式中
$\hat{C}=\left[\begin{array}{ll}0 & I_{3} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} ; \hat{D}=\left[\begin{array}{ll} 1 & L \end{array}\right]^{\mathrm{T}}$
将内模控制器和降阶状态观测器相结合的自动驾驶仪结构如图1 所示。
从图1 可以看出,内回路由直接测量或估计得到的状态变量反馈构成,其中包括角速度反馈、角度反馈和振动信息反馈,通过设置合适的反馈增益,可以起到提高弹体阻尼、增加角运动稳定和抑制振动的作用。这相当于Raytheon回路中的阻尼回路和增稳回路。图中还能看出,通过设置合适的跟踪误差积分增益常数,外回路可以实现正确、快速地跟踪制导指令,相当于Raytheon回路中的制导回路。所以本文提出的自动驾驶仪设计方法可以作为推广的Raytheon三回路自动驾驶仪设计。
3.3 利用观测状态进行反馈的影响性分析
对于状态反馈内回路,若利用观测状态 $\hat{x}$进行反馈,则控制输入量u可以写成如下形式
$u=-K \hat{x}=-K_{b} \hat{\eta}-\left(K_{a}+K_{b} L\right) y$
将式(21)代入式(19)可以得到
$\dot{\hat{\eta}}=\hat{A} \hat{\eta}+\hat{B} y+\hat{F}\left[-K_{b} \hat{\eta}-\left(K_{a}+K_{b} L\right) y\right]= \\ \left(\hat{A}-\hat{F} K_{b}\right) \hat{\eta}+\left[\hat{B}-\hat{F}\left(K_{a}+K_{b} L\right)\right] y$
定义
$\tilde{A}=\hat{A}-\hat{F} K_{b} ; \tilde{B}=\hat{B}-\hat{F}\left(K_{a}+K_{b} L\right) \\ \tilde{C}=-K_{b} ; \widetilde{D}=-\left(K_{a}+K_{b} L\right)$
则式(21)和式(22)可以表示为
$\dot{\eta}=\tilde{A} \hat{\eta}+\widetilde{B} y$
$u=\widetilde{C} \hat{\eta}+\widetilde{D} y$
如果将u视为输出量,将-y视为输入量,则基于降阶观测器的控制器传递函数为
$\frac{U(s)}{-Y(s)}=-\left[\tilde{C}(s I-\tilde{A})^{-1} \tilde{B}+\widetilde{D}\right]$
根据相关实践经验,若用观测状态进行反馈,尽管闭环系统稳定,基于状态观测器的控制器也可能不稳定,所以式(25)可以用来检查观测器控制器的稳定性以及状态反馈内回路的稳定裕度。
对于整个自动驾驶仪,这里定义
x1e(t)=ωz(t)-ωz(∞)
与
$\begin{aligned} e=& x_{b}(t)-\hat{x}_{b}(t)=\\ & {\left[x_{b}(t)-x_{b}(\infty)\right]-\left[\hat{x}_{b}(t)-\hat{x}_{b}(\infty)\right]=} \\ & x_{b e}(t)-\hat{x}_{b e}(t) \end{aligned}$
则将内模控制器和降阶状态观测器相结合,可得到的状态方程如下
$\begin{aligned} \dot{z}=& A_{e} z-B_{e} K \hat{z}=\\ & A_{e} z-B_{e} K\left[\begin{array}{lll} E_{e} & x_{1 e} & \hat{x}_{b e} \end{array}\right]^{\mathrm{T}}=\\ & A_{e} z-B_{e} K\left[\begin{array}{lll} E_{e} & x_{1 e} & x_{b e}-e \end{array}\right]^{\mathrm{T}}=\\ & A_{e} z-B_{e} K\left\{z-\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & e \end{array}\right]^{\mathrm{T}}=\right.\\ &\left(A_{e}-B_{e} K\right) z+B_{e} K_{b} e \end{aligned}$
由式(9)和式(26),可得整个自动驾驶仪的动态特性如下
对式(27)的特征方程进行求解,可得
即
|sI-(Ae-BeK)||sI-(-L )|=0
从上式可以看出,整个自动驾驶仪的闭环极点分别由状态观测器和内模控制器产生,所以降阶状态观测器和内模控制器可相互独立设计。
为了保证整个系统的稳定性,Ae-BeK和 -L 的特征值都必须具有负实部。此外,为了实现控制器极点对系统响应的主导作用,必须保证观测器的极点位置离虚轴较远,从而使观测误差的收敛比状态向量的衰减更快。同时需要注意的是,若观测器极点距离虚轴太远,也会导致观测器控制器不稳定以及观测器带宽过大而带来放大噪声等问题。
3.4 通过相关技术指标确定有效控制增益
以上介绍的是,在降阶状态观测器和内模控制器可相互独立设计的基础上,应用二次型最佳控制方法来选取自动驾驶仪的控制增益,由此设计出来的自动驾驶仪在应用到实际系统中有时会出现不稳定的情况。这就需要通过经典控制理论对系统提出频域约束条件,从而保证系统具有一定的稳定裕度,同时还要根据实际情况提出时域约束条件,保证自动驾驶仪的跟踪效果和减振效果。所以整个自动驾驶仪的设计还需要综合考虑相关技术指标。
本文提出的自动驾驶仪设计指标可以参考经典Raytheon回路。其中,图1 中状态反馈内回路的设计指标和Raytheon回路略有不同,而外回路的设计指标和Raytheon回路中的制导回路基本一致,具体如下:
1)反馈增益矩阵Kx的选取要保证状态反馈内回路中的弹性状态在1 s内衰减至零;
2)Kx的值要保证观测器的极点比控制器的极点快2~5倍,且观测器控制器与被控对象串联的幅值裕度应大于6 dB,相角裕度应大于30°;
3)积分增益常数KN的选取要保证ωCN≤ωn/k2(ωCN为外回路截止频率,ωn≈ 为静稳定弹体自然频率,k2的取值大致为2~3);
4)外回路调节时间不超过3 s,且外回路的幅值裕度应大于6 dB,相角裕度应大于30°;
5)最大的开环截止频率ωCR不超过执行机构带宽的三分之一。
在实际利用二次型最佳控制方法式(15)~式(18)来确定控制增益时,需要在可接受的控制效果、响应速度以及要求的控制能量之间折中,而权系数Q和R的调节也是有规律可循的。其中,对角矩阵Q相对变大,则系统的快速性好;R相对变大,则开环截止频率小。
为了得到有效的控制增益,本文的具体做法是通过调整权系数Q和R反复地进行自动驾驶仪的设计,直到自动驾驶仪的性能符合前述相关技术指标的要求,此时的增益才为自动驾驶仪的有效控制增益。
4 数值仿真
引入大长径比导弹末制导攻击段的弹道,并以其中两个典型特征点的飞行数据和弹性振动数据作为对象,进行姿态稳定、过载跟踪和振动抑制方面的仿真研究。
选取高空和低空两个特征点,它们的飞行参数V分别为880 m/s、350.7 m/s,H分别为12 967.1 m、3 045.7 m,振动模态ω1分别为14 Hz、16 Hz,ξ1分别为0.004 9、0.006 6,ϕ'1分别为0.496 2、0.509 2。此外,刚体运动和弹性振动的模型数据如表1 所示。
表1 不同特征点处的刚体运动及弹性振动模型数据 |
| a22 | a24 | a25 | a34 | a35 | D11 (deg/s) | D21 (deg/s) | D31 (deg/s) | D41 | D51 | A11 | A21 | B11 | B21 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 高 | -1.95 | -80.43 | -107.14 | 0.095 | 0.034 | 0.0209 | -9.57 | -5.87 | -0.021 | 2.36 | -0.00064 | -0.0017 | -0.817 | 12.26 |
| 低 | -2.51 | -41.10 | -54.75 | 0.106 | 0.043 | 0.0268 | -4.89 | -7.21 | -0.026 | 1.555 | -0.00083 | -0.0018 | -0.417 | 6.501 |
通过仿真寻优,性能指标Q和R的最终选取值如下
且最终两个特征点处控制系统的反馈增益矩阵Kx和积分增益常数KN如表2 所示。
表2 不同特征点处的反馈增益和积分增益 |
| KN | Ka | Kb1 | Kb2 | Kb3 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 高 | -0.707 1 | -0.211 1 | -0.944 2 | -79.239 5 | -4.009 0 |
| 低 | -0.707 1 | -0.183 9 | -0.489 9 | -36.007 5 | -4.122 9 |
系统闭环极点(特征方程的根)如表3 所示。
表3 不同特征点处的闭环极点 |
| 特征方程的根 | |
|---|---|
| 高 | -12.646 2±86.902 5i,-6.935 5,-7.472 7±3.557 4i |
| 低 | -15.499 9±99.245 1,-2.258 5,-4.622 7±4.880 1i |
高低空特征点处降阶状态观测器的极点配置情况和观测增益设计结果如表4 所示。
表4 不同特征点处观测器的极点和增益 |
| 观测器的极点p | 观测增益矩阵L | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| pb1 | pb2 | pb3 | Lb1 | Lb2 | Lb3 | |
| 高 | -30 | -30 | -30 | -0.032 2 | 0.022 0 | -1.402 6 |
| 低 | -30 | -30 | -30 | -0.056 0 | 0.014 1 | -1.273 6 |
高空、低空两个特征点处基于降阶状态观测器的控制器传递函数分别为
从式(31)和式(32)可以看出,设计出来的两个特征点的观测器控制器是稳定的。设置观测初始条件为[0.1°, 0.00001, 0.0001],仿真结果如图2 ~图7 所示。
仿真结果图2 可以看出,状态观测器的估计误差均可在短时间内收敛到0。从图3 ~图5 可以看到,刚体状态及控制舵偏角均能以较快的速度趋于稳态值,且过载响应速度快,弹性振动模态也能够在1 s内被有效地抑制住。图6 反映了两特征点内回路中以ωz为单输出的系统幅频和相频特性,减振前即是状态反馈内回路的开环,而减振后是状态反馈内回路的闭环,从伯德图上可以很明显地看出,振动模态处的峰值都被有效地衰减,还可以看出最大的开环截止频率在12 Hz左右,目前尚有执行器可以满足其要求。图7 反映的是两个特征点处内回路和外回路的幅频和相频特性,可以发现它们的幅值和相位裕度均符合指标要求,且外回路的开环截止频率在3 rad/s左右,低于自然频率的二分之一,符合指标要求。所以本文提出的内模控制器和降阶状态观测器相结合来设计弹性导弹自动驾驶仪的方法是可行的。
此外,为了进一步说明由状态观测器和内模控制器相结合构成的自动驾驶仪具有一定的优越性,引入带陷波器的Raytheon三回路过载驾驶仪[19],并以低空特征点为例,将两种自动驾驶仪进行时域上的对比,仿真结果如图8 ~图10 所示。
从图8 可以发现,本文方法会产生较少的抖动次数,稳定性相对更高,且攻角达到稳态值的速度更快。从图9 可以看出,无论是带陷波器的Raytheon三回路还是本文的方法都可以实现对阶跃指令信号的有效跟踪,但本文方法的过载跟踪曲线更光滑且响应速度更快,同时可以发现,本文方法在大约前0.3 s内,会往反方向产生一定的小量值,这是由于系统出现非最小相位的缘故。从图10 可以看到,本文方法起到了减震的效果,可以使振动模态更快地衰减至零。因此,从时域上的对比来看,本文的设计方法相较于带陷波器的Raytheon三回路有一定的优越性。
5 结束语
将弹性振动视为对控制系统的直接影响,采用了内模原理设计控制器,目的是将振动信息作为设计控制器的依据,从而可以在实现姿态稳定和过载指令有效跟踪的同时,对弹性振动也有明显的抑制作用。对于内模控制所需要的广义量,考虑到传感器可以直接测量得到受振动影响后的姿态角速度,所以本文充分利用这个特点,在线性变换的基础上,设计了降阶状态观测器。
在系统状态完全可控可观测的条件下,当采用观测状态进行反馈时,内模控制器和状态观测器只有在可分离的基础上才能结合使用。而为了实现控制器极点对系统响应的主导作用,以及考虑到观测器极点距离虚轴太远带来的问题,两者的极点位置还需要综合考量校验。
虽然本文提出的方法不需要额外执行机构,并相较于经典Raytheon三回路过载驾驶仪具有一定的优越性,但主动减振的方法本身就对执行器的要求比较高,所以会给实际硬件的实现带来了挑战。