中国指挥与控制学会会刊 
1 目标在地面的投影
2 立方体中心射击方法
从上一节可以看出,当弹道倾角一定时,若瞄准点为投影中心,命中概率最大。然而,弹道倾角往往存在随机偏差,若偏差较大,将导致理论投影与实际投影相差较大,进而影响命中概率。
综合考虑弹道倾角的偏差和射击误差,本文提出一种立方体中心射击方法,使命中概率最大。
定理:当瞄准点为立方体中心时,无论弹道倾角是多少,导弹穿过目标后的理论落点均为投影中心。
证明过程如下:
情形1:射向与目标底边水平或垂直。记弹道倾角为θ,立方体长宽高分别为2lx、2ly和H,x=H/tanθ,立方体中心点为G,穿过立方体中心后的理论落点为O。
从图3 可知,| |=x+lx-x/2=lx+x/2,| |=lx+x/2,即| |=| |;O点距另外两边的距离均为ly。说明O点为投影中心。
情形2:射向与目标底边不水平、不垂直。记弹道倾角为θ,射向与短边的夹角为α,立方体长宽高分别为2lx、2ly和H,2lz为目标沿射向的长度,z=H/tanθ,立方体中心点为G,穿过立方体中心后的理论落点为O。
从图4 可知,| |=z+lz-z/2=lz+z/2,| |=lz+z/2,即| |=| |;由于| |=| |,且夹角∠OA'A=∠OB'B=180°-α,因此| |=| |;同理,可以证明| |=| |、| |=| |。说明O点为投影中心。
综上所述,导弹穿过立方体中心后的理论落点为投影中心。
3 命中概率计算
散布误差是指射击时落点的随机偏差。设导弹武器系统对立方体目标进行射击,瞄准点为立方体中心,以穿过立方体后的理论落点O点为原点建立坐标系,长边为X轴,短边为Y轴,实际落点坐标为X=(x, y),目标底部面积v=2lx×2ly,如图5 所示。
受大量随机因素的影响,造成导弹的运动轨迹不可能重合,因此,形成了弹道的散布,导致实际落点对理论落点存在误差X=(x, y),X是一个二维随机变量,假设其服从N(0, Σ)分布,概率密度函数为
式中,X是散布误差;Σ是散布误差的协方差阵,形式为Σ= ,σ=CEP/1.1774。
于是,一次射击命中目标的概率为
p= ϕ(X)dX- ϕ(X)dX- ϕ(X)dX
式中,lx是目标长边/2;lz是目标短边/2;u是投影区域,如图6 所示, $u=\left\{ (x,y)|-\left( {{l}_{x}}+\frac{H\cdot \text{cos}\alpha }{2\text{tan}\theta } \right)\le x\le {{l}_{x}}+\left. \frac{H\cdot \text{cos}\alpha }{2\text{tan}\theta } \right\} \right.$, $-\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( {{l}_{y}}+\frac{H\cdot \text{sin}\alpha }{2\text{tan}\theta } \right)\le y\le {{l}_{y}}+\left. \frac{H\cdot \text{sin}\alpha }{2\text{tan}\theta } \right\}$;v是投影区域外左下角的缺口三角形, $v=\left\{ (x,y)|-\left( {{l}_{x}}+\frac{H\cdot \text{cos}\alpha }{2\text{tan}\theta } \right) \right.\le x\le -{{l}_{x}}+\left. \frac{H\cdot \text{cos}\alpha }{2\text{tan}\theta } \right\}$, $-\left( {{l}_{y}}+\frac{H\text{sin}\alpha }{2\text{tan}\theta } \right)\le y\le -{{l}_{y}}-\left. \frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }({{l}_{x}}+x) \right\}$;w是投影区域外右上角的缺口三角形, $w=\left\{ (x,y)|{{l}_{x}}-\frac{H\cdot \text{cos}\alpha }{2\text{tan}\theta }\le x\le {{l}_{x}}+\frac{H\cdot \text{cos}\alpha }{2\text{tan}\theta } \right\}$, $\left. {{l}_{y}}+\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }({{l}_{x}}-x)\le y\le {{l}_{y}}+\frac{H\text{sin}\alpha }{2\text{tan}\theta } \right\}$。
将式(1)代入式(2),推导得到一次发射命中目标的概率为
$\begin{aligned} &p=\left[\Phi_{0}\left(\frac{l_{x}+\frac{H \cdot \cos \alpha}{2 \tan \theta}}{\sigma}\right)-\Phi_{0}\left(\frac{-l_{x}-\frac{H \cdot \cos \alpha}{2 \tan \theta}}{\sigma}\right)\right].\\ &\left[\Phi_{0}\left(\frac{l_{y}+\frac{H \cdot \sin \alpha}{2 \tan \theta}}{\sigma}\right)-\Phi_{0}\left(\frac{-l_{y}-\frac{H \cdot \sin \alpha}{2 \tan \theta}}{\sigma}\right)\right]+\\ &2 \Phi_{0}\left(\frac{l_{y}+\frac{H \cdot \sin \alpha}{2 \tan \theta}}{\sigma}\right)\left[\Phi_{0}\left(\frac{l_{x}+\frac{H \cdot \cos \alpha}{2 \tan \theta}}{\sigma}\right)-\right.\\ &\left.\Phi_{0}\left(\frac{l_{x}-\frac{H \cdot \cos \alpha}{2 \tan \theta}}{\sigma}\right)\right]\\ &\frac{2}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{l x-\frac{n=\infty}{2 \omega \infty}}^{l x+\frac{n=\infty}{\operatorname{mos}}}\left[\exp \left[-\frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}\right] \Phi_{0}\left(\frac{l_{y}+\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\left(l_{x}-x\right)}{\sigma}\right] \mathrm{d} x\right. \end{aligned} $
式中,lx是目标长边/2;ly是目标短边/2;H是目标高度;σ是散布误差的标准差;θ是弹道倾角;α是方向角;Φ0(·)是标准正态分布累积分布函数。
4 数值算例
导弹武器系统对立方体建筑目标进行打击,瞄准点为立方体中心,目标底部尺寸为lx=60 m, ly=40 m。选取不同的CEP、目标高度、弹道倾角和方向角,分别计算命中概率,模型参数取值汇总如表1 所示。
表1 模型参数取值 |
| 参数名称 | 参数符号 | 参数取值 | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 情形1 | 情形2 | 情形3 | 情形4 | ||
| 目标长边/2 | lx | 30 | 30 | 30 | 40 |
| 目标短边/2 | ly | 20 | 20 | 20 | 40 |
| 圆概率偏差 | CEP | 0~50 | 40 | 40 | 40 |
| 目标高度 | H | 50 | 0~1000 | 50 | 50 |
| 弹道倾角 | θ | 75 | 75 | 1~90 | 75 |
| 方向角 | α | 30 | 30 | 30 | 0~90 |
将表1 中的模型参数代入式(3),计算得到命中概率。图7 为命中概率随CEP的变化曲线,当CEP大于10之后,命中概率显著下降;当CEP为40 m时,命中概率为0.354。
改变目标高度,得到图8 所示的命中概率曲线。随着目标高度的增大,命中概率逐渐增大,当目标高度大于500 m以后,命中概率变化不大,此时的命中概率主要受CEP制约。
改变弹道倾角,得到图9 所示的命中概率曲线,本文方法的瞄准点为立方体中心,传统方法的瞄准点为目标底部中心。随着弹道倾角的增大,命中概率逐渐减小,因为弹道倾角越小,目标沿射向在地面的投影越大,越容易命中目标。当弹道倾角为90°时,为垂直灌顶攻击,目标可等效为二维目标,两种方法的命中概率一致。
改变方向角,得到图10 所示的命中概率曲线,为了便于理解,此处将目标底部尺寸改为正方形。随着方向角的增大,命中概率先增大后减小,容易看出,方向角为45°时,沿射向的截面最大,此时命中概率最高。
5 结束语
本文针对导弹的弹道特点,对建筑目标进行二维投影,并提出了立方体中心射击方法。通过对射击误差建模,推导出综合考虑射击精度和弹道倾角的命中概率计算公式。数值算例表明应用该方法能够对建筑目标的命中概率进行准确的评估,从而为火力规划系统提供数据支撑。