中国指挥与控制学会会刊 
处于海上复杂环境中的舰船在航行过程中受到多种不同外力的扰动,不可避免会产生艏摇、横摇等运动。研究发现,舰船在海上航行过程中出现的非线性混沌运动是导致其不能实现高精度直航向航行的重要影响因素。这种混沌运动容易导致舰船偏离航向或失控,必须予以消除或转变为影响较小、较易控制的周期运动[1-2]。
自1990年Ott等人提出混沌控制的OGY方法[3]起,各种混沌控制方法被陆续提出,例如,延迟反馈控制、PID控制、脉冲控制、自适应控制等[4⇓-6],这些研究为舰船混沌运动的控制提供了良好的理论基础[7-8]。但由于混沌系统自身特点,目前,许多方法对复杂非线性混沌系统的控制往往不能达到令人满意的控制效果,对于参数未知或变化的舰船混沌运动更是如此。本文作者曾经探讨了一种舰船混沌运动的PID控制方法,实现了舰船混沌运动的稳定控制[9],但该方法的前提是确定的系统模型参数,一旦舰船混沌运动模型参数发生变化,原有PID控制器就可能无法实现对舰船混沌运动的有效控制。
为了解决舰船混沌运动中的参数不确定性问题,本文在某型舰船转艏操纵运动非线性模型的基础上,将Lyapunov稳定性理论与Backstepping方法相结合,提出了一种改进自适应Backstepping混沌控制方法。该方法实现了将混沌系统状态变量控制到不动点上的目的,而且具有良好的参数辨识性能,对舰船混沌运动的控制具有重要价值。
1 舰船混沌运动模型及问题描述
其中,x=[x1,x2]T∈R2,x1∈R分别为系统状态变量及输出量,x1是舰船转艏角速度,x2为舰船转艏角加速度;a、b、c、d、e为系统模型参数。相关的先期研究表明,当船的阻尼项系数和刚度项系数相差不是很大时,通过反馈增量的补偿,阻尼项系数和刚度项系数是同一数量级,在给定值较小的情况下,系统将进入非线性混沌状态,即舰船在航向保持过程中会出现混沌现象[10]。
本文以某型舰船为研究对象,计算其相应参数得出该型舰船转艏操纵运动非线性响应模型如下:
对该模型进行数值仿真实验,仿真步长取0.001 s,系统初始值取(x10,x20)=(0.3,0.3),舰船初始航向090°,仿真运行800 s,绘制出系统相位图、系统庞加莱截面映射图和舰船航向时序图,如图1 ~3所示。
从图1 、图2 可以看出,该型舰船的转艏操纵运动非线性响应模型具有典型的混沌系统特征。从图3 可以发现,舰船在把定舵角为零的情况下,其航向无法保持在指定的初始航向090°上,呈现典型的振荡。因此,必须对舰船转艏操纵运动中的混沌现象进行控制和消除,从而实现舰船的高精度航向保持。
2 舰船混沌运动的改进自适应Backstepping控制
其中, =[x1,x2,…,xi]T∈Ri,i=1,…,n,u∈R及y∈R分别是系统状态变量、输入量和输出量;θ∈Rp是未知常参数向量;gi(·)≠0,Fi(·),fi(·),i=1,…,n-1为已知光滑非线性函数;gn(·)≠0,Fn(·),fn(·)为已知连续非线性函数。通过运用Backstepping方法对控制器u进行设计,就可以实现非线性系统的控制或同步[11]。
对于如式(1)所示的舰船转艏操纵运动非线性响应模型,其受控系统可写为如下形式
其中,x=[x1,x2]T∈R2,u∈R,y∈R分别为系统状态变量、控制输入量及输出量。对系统施加控制的目的是设计控制器u使得系统状态变量满足 ‖x‖=0。
将式(4)与式(3)所示的非自治“严格反馈”系统相比较,可得
对于本文研究的舰船转艏操纵运动非线性响应模型,其混沌运动控制器设计步骤如下。
第一步,定义误差变量:
其中,a1为虚拟控制。利用自适应Backstepping方法设计控制器u。
第二步,对z1进行求导,可得 = =x2=z2+a1,取虚拟控制a1=-c1z1,c1为大于0的常数,则
=z2-c1z1
取Lyapunov函数
V1=
对V1求导,有
=z1 =z1z2-c1
第三步,令 $\hat{a}$、 $\hat{b}$、 $\hat{c}$、 $\hat{d}$、 $\hat{e}$分别为不确定参数a、b、c、d、e的估计值,对z2进行求导,可得
$\begin{aligned} &\dot{z}_{2}=\dot{x}_{2}-\dot{a}_{1}= \\ &\hat{a}\left(z_{2}-c_{1} z_{1}\right)+\hat{b} z_{1}+\hat{c} z_{1}^{3}+\hat{d} \cos \omega t+\hat{e} \sin \omega t+u+ \\ &c_{1} \dot{z}_{1}-(\hat{a}-a)\left(z_{2}-c_{1} z_{1}\right)-(\hat{b}-b) z_{1}-(\hat{c}-c) z_{1}^{3}- \\ &(\hat{d}-d) \cos \omega t-(\hat{e}-e) \sin \omega t \end{aligned}$
取Lyapunov函数
$\begin{gathered} V_{2}=V_{1}+\frac{1}{2} z_{2}^{2}+\frac{1}{2} r^{-1}(\hat{a}-a)^{2}+\frac{1}{2} r^{-1}(\hat{b}-b)^{2}+ \\ \frac{1}{2} r^{-1}(\hat{c}-c)^{2}+\frac{1}{2} r^{-1}(\hat{d}-d)^{2}+\frac{1}{2} r^{-1}(\hat{e}-e)^{2} \end{gathered}$
其中,r为正常数,对V2求导,则有
$\begin{aligned} &\dot{V}_{2}=-c_{1} z_{1}^{2}+\left[z_{1}+\hat{a}\left(z_{2}-c_{1} z_{1}\right)+\hat{b} z_{1}+\hat{c} z_{1}^{3}+\right. \\ &\left.\hat{d} \cos \omega t+\hat{e} \sin \omega t+c_{1} z_{2}-c_{1}^{2} z_{1}+u\right] z_{2}+ \\ &(\hat{a}-a)\left[r^{-1} \dot{\hat{e}}-\left(z_{2}^{2}-c_{1} z_{1} z_{2}\right)\right]+ \\ &(\hat{b}-b)\left(r^{-1} \dot{\hat{b}}-z_{1} z_{2}\right)+(\hat{c}-c)\left(r^{-1} \dot{\hat{c}}-z_{1}^{3} z_{2}\right)+ \\ &(\hat{d}-d)\left(r^{-1} \dot{\hat{d}}-z_{2} \cos \omega t\right)+ \\ &(\hat{e}-e)\left(r^{-1} \dot{\hat{e}}-z_{2} \sin \omega t\right) \end{aligned}$
第四步,为了保证 ≤0,根据如式(13)所示的Backstepping方法控制器设计原则进行控制器设计:
$u=\frac{1}{g_{n}}\left(-c_{n} z_{n}-g_{n-1} z_{n-1}-\hat{\theta}_{n t h}^{\mathrm{T}} F_{n s}-f_{n s}\right)$
取舰船混沌运动控制输入量u为
$\begin{gathered} u=-c_{2} z_{2}-z_{1}-\hat{a} z_{2}-c_{1} z_{2}+c_{1}^{2} z_{1}+\hat{a} c_{1} z_{1}- \\ \hat{b} z_{1}-\hat{c} z_{1}^{3}-\hat{d} \cos \omega t-\hat{e} \sin \omega t \end{gathered}$
第五步,针对采用自适应Backstepping方法对系统模型参数辨识不准确的问题,本文在选取控制器参数自适应律时,引入参数估计误差补偿项,经改进的参数自适应律如下:
$\left\{\begin{array}{l} \dot{\hat{a}}=r\left[\left(z_{2}^{2}-c_{1} z_{1} z_{2}\right)-l(\hat{a}-a)\right] \\ \dot{\hat{b}}=r\left[z_{1} z_{2}-m(\hat{b}-b)\right] \\ \dot{\hat{c}}=r\left[z_{1}^{3} z_{2}-n(\hat{c}-c)\right] \\ \dot{\hat{d}}=r z_{2} \cos \omega t \\ \dot{\hat{e}}=r z_{2} \sin \omega t \end{array}\right.$
则 变为
$\dot{V}_{2}=-c_{1} z_{1}^{2}-c_{2} z_{2}^{2}-l(\hat{a}-a)^{2}-m(\hat{b}-b)^{2}-n(\hat{c}-c)^{2} \leqslant 0$
显然, 负定,控制器u设计完毕。此时,按照本文提出的方法,可得到如下误差系统:
$\left\{\begin{array}{l} \dot{z}_{1}=z_{2}-c_{1} z_{1} \\ \dot{z}_{2}=-c_{2} z_{2}-z_{1}-(\hat{a}-a)\left(z_{2}-c_{1} z_{1}\right)-(\hat{b}-b) z_{1}- \\ \quad(\hat{c}-c) z_{1}^{3}-(\hat{d}-d) \cos \omega t-(\hat{e}-e) \sin \omega t \end{array}\right.$
结论:考虑混沌系统(4)、控制输入量(14)、误差系统(17)及参数自适应律(15),z=[z1,z2]T=0的平衡状态是全局一致稳定的,从而使得系统状态变量x=[x1,x2]T、控制输入量u以及参数估计值 $\hat{\theta }(t)$全局有界,进而有
证明:
对于误差系统(17)存在Lyapunov函数V,
$ \begin{array}{r} V=\frac{1}{2} z_{1}^{2}+\frac{1}{2} z_{2}^{2}+\frac{1}{2} r^{-1}(\hat{a}-a)^{2}+\frac{1}{2} r^{-1}(\hat{b}-b)^{2}+ \\ \frac{1}{2} r^{-1}(\hat{c}-c)^{2}+\frac{1}{2} r^{-1}(\hat{d}-d)^{2}+\frac{1}{2} r^{-1}(\hat{e}-e)^{2} \end{array}$
可知,V>0,对其进行求导,可得
$ \dot{V}=-c_{1} z_{1}^{2}-c_{2} z_{2}^{2}-l(\hat{a}-a)^{2}-m(\hat{b}-b)^{2}-n(\hat{c}-c)^{2}$
易得 ≤0,即可证明误差系统(17)在z=[z1,z2]T=0的平衡状态是全局一致稳定的。
由误差变量系统定义(6)及虚拟控制a1定义可知,系统状态变量x1,x2均有界,且当z1→0,z2→0时,有x1→0,x2→0,即x(t)=0。根据V及可知,系统参数估计值 $\hat{\theta }(t)$是全局有界的。根据控制输入量u的定义(14),得出控制输入量也是有界的。证明完毕。
通过从理论上对式(15)及系统(17)进行分析,采用改进的自适应Backstepping设计方法得到的控制器u和参数自适应律,能够使系统的运动轨迹收敛于使(x,t)=0的不变子集M,且当(x,t)=0时, $\hat{a}-a=0$、 $\hat{b}-b=0$及 $\hat{c}-c=0$成立,即实现了对系统不确定参数的准确辨识。
3 仿真实验及分析
为了验证本文设计的混沌控制器的控制效果,进行仿真实验,设定系统初值(z10,z20)=(0.2,0.2), ${{\hat{a}}_{0}}=0$, ${{\hat{b}}_{0}}=0$, ${{\hat{c}}_{0}}=0$, ${{\hat{d}}_{0}}=0$, ${{\hat{e}}_{0}}=0$,c1=3,c2=2,r=1,l=100,m=100,n=100,舰船航向初始值为090°,仿真步长0.001 s,仿真时长50 s,仿真实验结果及系统参数辨识结果如图4 ~8所示。
从图4 、图5 中可以看到,原混沌系统及误差系统在加入控制器u后都能被迅速稳定至(0,0),控制效果明显。图6 中舰船航向在加入控制器u后迅速稳定在090°,与图3 中的混沌状态相比,明显得到了稳定控制。实验表明,在控制器u的作用下,舰船转艏操纵运动中的混沌状态得到了抑制,进一步验证了本文设计的控制器u的有效性。图7 为所施加的自适应控制作用,其表明控制器的控制信号为连续有界信号。图8 为系统参数辨识过程的收敛曲线,从图中可以看出,参数估计值$\hat{a}$、$\hat{b}$、$\hat{c}$、$\hat{d}$、$\hat{e}$分别收敛于$\hat{a}$=-0.320 8、$\hat{b}$=0.271 5、$\hat{c}$=-4.394 5、$\hat{d}$=0.103 68、$\hat{e}$=0.078 8,辨识结果准确。实验表明,依据本文所提出的改进自适应Backstepping方法设计得到的控制器,不仅对关键参数未知的舰船混沌运动具有良好的控制效果,而且能够实现对系统参数的准确辨识,表明了本文所提方法具有良好的适用性和有效性。
4 结束语
对舰船转艏操纵运动而言,其非线性运动模型中各参数会随着舰船的航速、吃水、海水密度等影响因素的改变而变化,这导致了模型参数的不确定性。本文针对这一模型参数不确定问题,采用自适应控制技术实现对混沌运动的控制。为了克服采用一般自适应Backstepping方法进行舰船混沌运动控制器设计时存在的部分系统参数无法准确辨识的不足,在理论分析基础上,提出了一种基于改进自适应Backstepping的混沌控制方法。该方法可以实现对系统关键参数未知的舰船混沌运动的稳定有效控制,并做到对舰船混沌运动非线性响应模型中不确定参数的良好辨识,为舰船航向的高精度保持提供了一种可供参考和实现的有效途径。