中国指挥与控制学会会刊 
火药在炮膛内爆燃,推导弹头在膛内高速滑动的同时,还会烧蚀炮膛与磨损炮管,从而导致不可逆转的弹头初速减退,当初速减退到某个允许值时,炮管的寿命终结,必须更换炮管[1-2]。为了补偿由于初速减退而导致的射击误差,每次射击前都需要对初速减退量进行检测与估计。传统的估计方法是:人工测量炮室增长量、观测炮管内壁烧痕的数量和大小,再依据经验公式换算成初速减退量。弹头初速雷达出现后,用测速雷达测出的弹头初速序列来估计实际的弹头初速从而完成初速偏差修正,是当前正在推广的技术。在射击误差中,当不考虑对运动目标射击的运动假定误差时,初速误差是它的最大成分,而初速减退量是弹头初速误差的重要成分[3],因此,为弹头初速减退量构建一个定量的数学模型是一项重要的课题。
初速修正与炮管寿命检测,其实质是初速一步预测与初速减退量的长期预测问题。而利用状态方程求解预测问题,特别是一步预测问题的求解工具,是非常适宜的。特别是由于同一个炮管可能发射不同装药号的弹药,也可能发射不同类型(穿甲弹、榴弹、燃烧弹等)弹药,而这种转换又是随机的,其所导致的状态方程是时变的。此时,利用卡尔曼递推预测,即可以很方便地得到最优的(无偏最小方差)一步与多步预测。如果能给出导致初速偏差的各种因素对应的状态方程,不仅炮管寿命可以自动判别,而且可为弹头初速偏差修正提供最优解。
本文的重点是初速状态方程的构建。作为它的应用,给出了炮管寿命的判别式;当进行初速偏差修正时,给出了一个状态初始方差的优化表达及其应用条件,为每一次发射提供可行的、无偏最小方差的初速偏差修正方案。
1 初速减退系数的推导
基本假设1 弹头在膛内的运动速度vdm(t) 与其加速度成正比。即
=-αmvdm(t)
解得
vdm(t)=vdm(0+) =vdm(0+)rm(t)
式中m代表装药号,rm(t)为膛内速度随时间的衰减系数,αm为固定常数,它由弹丸内弹道学确定。由于火药爆燃几乎是在瞬间完成的,它对弹头的推力几乎相当于一个δ函数,使得静止的弹头在瞬间获取一个巨大的初始速度vdm(0+)。由于弹头在膛内运动时存在阻力,以及膛内密封空间的扩大,漏气现象的出现,导致弹头在膛内初速下降是必然的。用上式表述这一现象与实际基本相符合。
基本假设2 由火药爆燃与弹头在膛内的运动造成的药室扩容与炮管烧蚀是不可恢复的,且其导致的前后两次发射的初速减退量与弹头在膛内的速度成正比。基于这个假设,记vm(1)为出厂后新炮首次发射的初速,显然有
vm(2)=rmvm(1)
由于药室扩容与炮管烧蚀的不可恢复性,应有
vm(k+1)=rmvm(k)= vm(1)
式中rm称为m号装药的初速减退系数。
记 (1)为m号装药在标准弹道与气象条件下的射表初速,即火炮出厂前经过各种检测手段给出的估计值。显然它存在估计误差,称为初速射表误差,记为 (1)。故m号装药的实际初速为
vm(1)= (1)+ (1)~N[(1), ]
式中 为射表初速误差的方差。其值最好由生产厂家提供;也可由射表给定。若射表的最低有效为10-n(n=1,2,3,…),则
σb= 10-n-1
即射表输入误差的三分之一。因而对射表初速,有
(k+1)=rm (k)= (1)
2 不同装药号的初速减退系数的转换
当用全装药发射N0发弹药后,其初速退减量与射表初速之比
= =β
称为炮管报废系数。此时,由于火药对炮管烧蚀过大,初速下降量过大,不仅导致弹头的稳定性变差、射击误差增大,甚至影响发射安全。依火炮使用规范,这时就必须更换新炮管。式中N0称为使用全装药号时炮管的寿命。r0、N0、β的量值最终都应通过标准弹道与气象条件下,基于全装药的炮管寿命试验予以确定。对于m≠0的其他装药号,也可以通过不同装药号下的炮管寿命试验获得,且如此获得的数据最为可靠。为了降低生产成本,还可以通过物理特性导出一个不同装药号之间rm、Nm转换的数学模型。先讨论rm间的互相转换问题。具体言之,弹头在膛内由零突变到vdm(0+)的启动速度,必然对应一个瞬间积分为vdm(0)的加速度 (0),即
(0)=vdm(0+)δ(0)= vm(1)δ(0)
火药在膛内爆燃瞬间在密闭空间内形成的压强Pm是它的装药量的函数,记为
Pm=Pm[(L-m)G]
式中,L为一发弹药所标配的药包数;m为装药号,它表示发射弹药时,从标配的药包中减去(m>0)或增加(m<0)的药包数;G为一个药包的装药量。鉴于火药爆燃瞬间在炮膛内形成的压强对弹头底部的推力,亦即弹头启动的加速度 (0)成正比,即
= · =Γm
式中Γm为m号装药与全装药在膛内爆燃时的压强比。由于Pm是弹药的一个重要性能参数,应该在产品性能手册上公示,而在产品设计资料上是必需的指标,因而,Γm应是一个已知参数。它还有一个近似值
Γm=
即药包数之比,可在Γm缺失时使用。此时
rm= Γmr0=μmr0
式中μm为r0与rm之间的转换系数。
3 射表初速的更新与炮管全寿命的判定
由于不可逆的初速减退量的存在,每发射一次弹药都会使下一发初速下降,因而,必须于下次发射前为本次发射提供初速。鉴于一次连射中的弹药号不变,本文将以一次连射为单位,解决这一问题。用k(l)表示第l次连射发射的弹药数,当l=1时,如果用的是m号装药,则有
[k(1)+1]=rm [k(1)]= (1)= [k(2)]
倘若第二次连射时,仍使用m号装药,则第二次连射的初值即可有上式给出。考虑到式(13),将有
[k(2)]= [k(2)]= [k(2)]
此式表明:第二次齐射的首发弹头的射表初速应由式(15)给出。式(15)可以递推,即第l+1次连射的首发弹药的射表初速应为
[k(l)]= vm[k(l)]
上述分析表明,每次连射后,都应依据式(16),对所有装药号的射表初速予以更新,以备下次射击时使用。
鉴于每次连射后,射表初速,包括全装药的射表初速都要更新并予以记录,当记录到第l次连射后,若下式成立
≤β
由式(8)知,炮管寿命已到,应更换新炮管。综合上述分析可知,初速退减量的状态方程,当每个连射均采用同一装药号时,对一个连射而言,状态方程可以表示为
由于装药号是射击前依据射击任务决定的,因而rm是一个时变参数;状态初值vm(1)是一个随机变量,且该随机变量的初值的均值是一个由式(16)给定的、与连射次数有关的确定量。对射击的全过程而言,它的状态方程是时变的,然而,对一个连射,却是一个仅状态初值为随机变量的、线性常系数、一阶状态方程。对不同连射,只需依据式(16)更新射表初值即可继续递推。
4 在初速偏差修正中的应用
利用测速雷达在非标准弹道与气象条件下预测弹头的初速,这是提高初速修正精度的一项重要的技术举措。现在讨论,如何将初速减退量的状态方程应用于这一技术之中。
为了突出将初速减退量状态方程融入初速修正技术之中,本文设定,在非标准条件下存在的初速误差还有药温偏差修正量为:
ΔvmT(k+1)=ΔvmT(k),ΔvmT(k)~N[0, ]
它为强相关误差。
弹重偏差修正量为
ΔvmG(k)~N[0, ]
它为不相关误差。
雷达测速误差为
ΔvC(k)~N[0, ]
且它们与初速减退量都互不相关。因而,非标准条件下,弹头的初速度表示为
vm(k+1)=vm(k)+ΔvmT(k)+ΔvmG(k)
它也是不相关误差,其对应的状态方程为
Xm(k+1)= = =RmXm(k)
测量方程为
Zm(k)=(1,1)Xm(k)+ΔvmG(k)+ΔvC(k)
其状态初值的均值与方差为
当雷达给出初速测量值序列Zm(k)之后。依卡尔曼估计可持续地递推出弹头初速一步预测值 (k+1|k),此时
(1)- (k+1|k)=Δvm(k+1)
即是所在第l个连射k+1发,k=1,2,…,初速修正量。此时,必须注意一点:这里的 (1)是由式(16)给出的第l次连射时的对表初速。
在利用卡尔曼递推公式进行一步预测时,还有一个递推初值优化问题。当雷达给出首发弹头初速测量值Zm(1)后,虽然可以给出首发初速的滤波值 (1 |1),由于弹头已经射出,已不能用于修正,但它给出的每个连射首发初速的方差的滤波值为
var((1|1))=cov[Xm(1),Zm(1)]var-1[Xm(1)]cov[Zm(1),Xm(1)]= <var[Xm(1)]
显然,它小于首发初速未检测前方差状态的初值利用式(27)代替卡尔曼递推的初始方差,将得到一步预测的、最优预测的最小方差预测。但必须注意,利用式作递推的状态方差的初值,能保持无偏,应保证
Δ =Δ =Δ =0
即这些误差的均值必须为零。ΔvC无偏需要对雷达测速设备适时地进行零位调整。对药温与弹重,则需依传统修正方法,于发射前检测药温与检视弹重符号,对初速偏差做首发初速修正。此时,相应的方差 , 将转化成药温测量装置与弹重测量装置的测量误差的方差。很显然,也只有如此,前述的状态方程才能没有ΔvmT,ΔvmG,ΔvC的均值存在。
综上所述,可知,由式(27)做递推的状态方差初值,给出的弹头初速的预测是融合了传统的依测温、测重的预测与利用测速雷达的预测而得到的更优的预测,它是比两种预测方法都更优的预测。
5 结束语
本文仅从理论上建立了初速减退量的状态方程模型,并利用卡尔曼滤波方法预测出弹头初速的一步预测值。本方法的准确性与可用性有待实际的进一步验证。
只要初速的状态方程是可测可控的,其一步状态预测就是收敛的,即只要测速序列足够长,它一定可收敛到唯一的最优值。但射击过程不允许收敛过程较长,在有限射击时,每次发射都需要进行初射修正,本文给出了发发校射的最优方法。
实际的初速修正,还应包括:弹药存储年限、冷炮效应(连射时,炮管温升导致的初速改变)等的修正。只要列出它们相应的初速偏差的状态方程并结合本文给出的状态方程,问题即可以用同样的方法得到解决。上述效应的状态方程的构建已不属于本文的研究范畴,更限于篇幅,将另行阐述。