Research on the CND-CS-UC Distribution Rules of Marine Moving Target

HOU Xue-long; JIANG Qing-shan

doi:10.3969/j.issn.1673-3819.2017.04.009

Command Control and Simulation >

2017 , Vol. 39 >Issue 4: 40 - 45

DOI: https://doi.org/10.3969/j.issn.1673-3819.2017.04.009

Theory & Research

Research on the CND-CS-UC Distribution Rules of Marine Moving Target

HOU Xue-long ,
JIANG Qing-shan

Expand

Naval Aeronautical University, Yantai 264001, China

Received date: 2017-01-09

Revised date: 2017-01-13

Online published: 2022-05-16

Fold

Abstract

Research distribution rules on marine moving target is of significance in operation decision-making in anti-ship missile. On basis of analyzing the connotation of target position distribution caused by certain speed(CS) and uncertain course(UC) under initial circular normal distribution(CND), CND-CS-UC distribution probability density model is built by means of conditional probability density method. Four properties on CND-CS-UC distribution are demonstrated, and optimized computing method for target probability in square and circular distribution area is induced. As a result of theoretical derivation and numerical analysis, CND-CS-UC distribution probability density in cartesian coordinate is symmetrical on vertical spatial plane through the distribution origin, and equivalent probability density curves of CND-CS-UC distribution are concentric circles. In polar coordinate, CND-CS-UC distribution probability density is closely to normal distribution when target motion distance was greater than three times mean square deviation of locating target, and coincidence degree between CND-CS-UC and normal distribution is above 94.97%.

Key words： marine moving target; uncertain distribution area; probability density; circular normal distribution; target searching

Cite this article

HOU Xue-long , JIANG Qing-shan . Research on the CND-CS-UC Distribution Rules of Marine Moving Target[J]. Command Control and Simulation, 2017 , 39(4) : 40 -45 . DOI: 10.3969/j.issn.1673-3819.2017.04.009

分析研究海上机动目标散布规律是科学组织反舰导弹高效对海搜索的一项基础性工作,其重要意义在于:一是可通过散布规律分析区域概率分布特征,确定重点搜索区域;二是可通过散布规律准确分析给定概率下的目标散布范围,为反舰导弹优化使用提供支持。在反舰导弹目标搜捕决策方面,经常应用CND-CS-UC散布^[1⇓⇓-4],其基本含义为:在目标初始位置散布在服从系统误差为零的正态圆分布(Circular Normal Distribution,CND)下,以确定速度(Certain Speed,CS)和未知方向(Uncertain Course,UC)机动一段时间后引起的位置散布。

关于CND-CS-UC散布,文献[1,5 ⇓⇓⇓⇓-10]用初始散布圆半径加上目标机动距离来表征最大散布范围;文献[2 ⇓-4,12-13]用均匀分布代替CND-CS-UC散布来简化散布圆的计算,以便使用等效面积比计算捕捉概率;文献[14]假设目标背离散布中心点作径向机动来建立CND-CS-UC散布模型;文献[15 ⇓⇓-18]采用蒙特卡洛方法仿真目标落点散布规律。

以上研究成果,多数简化假设条件来建立CND-CS-UC散布模型,难以反映CND-CS-UC散布的性质特征,导致对给定概率下的散布范围或高概率区域计算缺乏模型支持。为此,本文从CND-CS-UC散布概率密度解析模型构建入手,利用此模型分析该散布的性质特征,从理论上揭示该散布的基本规律,为后续研究给定概率下的CND-CS-UC散布范围及目标高概率出现区域提供支持。

1 问题描述

在反舰导弹对海搜捕决策方面,搜索者与被搜索者存在搜索与反搜索的博弈。能否合理估计目标散布范围对搜捕决策影响较大:估计过大,将会导致搜索资源浪费甚至过早暴露搜索意图;估计过小,可能漏搜目标。因此,在战术决策上,确定目标散布范围应遵循“稳妥、最小”原则。

在无法准确估计侦察预警兵力对目标横向和纵向定位精度的情况下,采用正态圆分布确定目标初始位置散布体现了“稳妥”原则。考虑到目标可能在[0,2π]内任意方向机动,在搜索者无法准确预测目标机动方向的情况下,认为目标机动方向服从均匀分布U[0,2π],同样也贯彻了“稳妥”原则。

引言中的CND-CS-UC散布正是集中反映目标搜捕战术决策中所追求“稳妥”原则的一类典型散布,指挥员接受认可,广大学者也认同^{[5⇓⇓⇓⇓-10,14]}。在反舰导弹作战使用精细化决策的大趋势下,确保“稳妥”原则的前提下还应追求“最小”原则,这就需要研究CND-CS-UC散布规律,以便在给定概率下计算满足要求的最小散布范围。

假设目标机动速度为

ν →

、机动方向为c、机动时间为t,侦察预警兵力对海上目标定位的均方差为σ_mz.(σ_mz.>0)。为方便描述,作以下定义:

定义1 目标机动矢量

D →

:由初始位置指向机动t时间所在位置的有向线段,

D →

∫ 0 t ν →

dt。

定义2 目标机动距离d:目标机动矢量

D →

的长度,d=|

D →

|(d>0)。

定义3 目标机动方向c:目标机动矢量

D →

与直角坐标系OX轴之间的夹角,逆时针为正,c∈[0,2π]。

根据CND-CS-UC散布的基本含义,对其内涵作进一步推广:

1)CND-CS-UC散布必须满足以下3个条件:一是目标初始位置服从二维正态分布N(0,0,

σ m z 2

σ m z 2

,0);二是目标机动距离是确定性变量,而不是随机变量;三是目标机动方向服从均匀分布U(0,2π)。

2)CND-CS-UC散布中,目标将以初始位置散布点为基准,在[0,2π]内任意方向机动,如图1(a)所示。这与目标背离初始散布中心作径向机动是有区别的,如图1(b)所示。很多文献^{[1,5⇓⇓⇓⇓-10,14]}以目标背离初始散布中心作径向机动为假设条件来估计CND-CS-UC最大散布范围或建立CND-CS-UC散布模型,这与实际情况不太相符。

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图1 CND-CS-UC散布概念图

2 CND-CS-UC散布模型的建立

2.1 目标初始位置散布概率密度

根据CND-CS-UC散布的基本内涵,侦察预警兵力对海上目标定位服从正态圆分布,定位系统误差为零。以目标定位点为原点建立XOY直角坐标系,则目标初始位置M(x_mb₀, y_mb₀)的概率密度为

(1)f

x, y

1 2 π σ m z 2

exp

- x 2 + y 2 2 σ m z 2

令式(1)中的x=rcosθ、y=rsinθ,根据变换规则,转成极坐标系下的概率密度为

(2)f

r, θ

r 2 π σ m z 2

exp

- r 2 2 σ m z 2

式中,r∈[0,+∞),θ∈[0,2π]。

对f(r,θ)在θ维度积分可得随机变量r的边缘概率密度:

(3)f

r

∫ 0 2 π r 2 π σ m z 2

exp

- r 2 2 σ m z 2

dθ

即

(4)f

r

r σ m z 2

exp

- r 2 2 σ m z 2

由上式可知,随机变量r服从瑞利分布。

2.2 CND-CS-UC散布概率密度模型

目标机动方向c在[0,2π]服从均匀分布,其概率密度为

(5)k

c

=1/2π,c∈[0,2π]

设目标机动t时间后的位置为P(x_mb, y_mb),根据定义1—3,有

(6)

x m b 0 = x m b - d c o s c y m b 0 = y m b - d s i n c

由上式可知,P(x_mb, y_mb)为二维随机变量。结合式(6)和式(1),在机动方向c与初始位置独立时,在给定c的条件下,位置点P(x_mb, y_mb)的条件概率密度^[20] 为

(7)k

x, y | c

1 2 π σ m z 2

exp

- x - d c o s c 2 + y - d s i n c 2 2 σ m z 2

由条件概率密度及随机变量c的概率密度,可得随机变量(x_mb, y_mb, c)的联合概率密度:

(8)k

x, y, c

x, y | c

·k

c

将式(7)代入式(8),可得

(9)k

x, y, c

1 4 π 2 σ m z 2

exp

- x - d c o s c 2 + y - d s i n c 2 2 σ m z 2

对k(x,y,c)在c维度积分可得P(x_mb, y_mb)的边缘概率密度:

(10)g

x, y

∫ 0 2 π

x, y, c

式中,x∈(-∞,+∞),y∈(-∞,+∞)。

令x=rcosθ、y=rsinθ,将式(10)转成极坐标系下的概率密度^[21]为

(11)g

r, θ

∫ 0 2 π

r·g

r c o s θ, r s i n θ, c

式中,r为目标散布落点与原点(初始散布中心点)的距离,r∈[0,+∞);θ为目标散布落点的极角,θ∈[0,2π]。

对式(11)在θ维度积分可得目标位于圆形区域的概率密度:

(12)g

r

∫ 0 2 π ∫ 0 2 π

r·g

r c o s θ, r s i n θ, c

dcdθ

式(10)、(12)分别为直角坐标系、极坐标系下的概率密度解析模型,记为CND-CS-UC(σ_mz,d)。它们从不同侧面描述了CND-CS-UC散布规律,虽然不是可直接计算的代数表达式,但在给定目标定位均方差σ_mz和目标机动距离d的情况下,可求出概率密度的数值解。

2.3 目标背离初始散布中心作径向机动散布概率密度

为在后文中对比分析CND-CS-UC散布与该散布的区别,现研究目标背离初始散布中心点的散布规律。在极坐标系下,设目标初始位置极径为r₀、径向机动距离为d、机动后的极径为r_t,参考图1(a),有

(13)r_t=r₀+d

由式(4)可知,r₀为随机变量,服从瑞利分布。

令:r_t的分布函数为H(r)、r₀的分布函数为F(r),有:H(r)=P{r₀+d≤r}=P{r₀≤r-d}。

即:H(r)=F(r-d)。

对H(r)求导可得r_t的概率密度函数h(r)为:h(r)=dH(r)/dr=f(r-d)。

代入式(4),有^[22]

(14)h

r

r - d σ m z 2 e x p - r - d 2 2 σ m z 2 r ⩾ d 0 r < d

上式表明目标背离初始散布中心径向机动散布服从一种特殊的瑞利分布,记为Rayleigh Distribution(σ_mz,d),简称RD(σ_mz,d)。

3 CND-CS-UC散布的性质特征

性质1 对于任意的x∈(-∞,+∞)、y∈(-∞,+∞),有:g(x, y)=g(-x, y)、g(x, y)=g(x,-y)、g(x, y)=g(-x,-y)。

下面给出简要证明过程中的基本思路和主要步骤。

证明:

1)首先,令f(c)=k(x,y,c),证明f(c)可积。

将x=rcosθ、y=rsinθ代入k(x,y,c),得:

c

1 4 π 2 σ m z 2

exp

- r 2 + d 2 - 2 r d c o s c - θ 2 σ m z 2

显然,f(c)在[0,2π]内连续,f(c)可积。

2)其次,证明f(c)的周期为2π。

f(c+2π)=

1 4 π 2 σ m z 2

exp

- r 2 + d 2 - 2 r d c o s (c + 2 π - θ) 2 σ m z 2

因此有f(c+2π)=f(c),可知f(c)是以2π为周期的函数。

3)再次,证明f(c)在2π周期内的定积分相等。

由于f(c)可积,对于任意一个与c无关的角度β,有

∫ β 2 π + β

c

dc=

∫ β 0

c

dc+

∫ 0 2 π

c

dc+

∫ 2 π 2 π + β

c

在上式右端最后一项积分中,令:t=c-2π,考虑到f(c)是以2π为周期的函数,有:

∫ 2 π 2 π + β

c

dc=

∫ 0 β

t + 2 π

dt=-

∫ β 0

t

dt=-

∫ β 0

c

因此

∫ β 2 π + β f c d c = ∫ β 0 f c d c + ∫ 0 2 π f c d c + ∫ 2 π 2 π + β f c d c = ∫ β 0 f c d c + ∫ 0 2 π f c d c - ∫ β 0 f c d c = ∫ 0 2 π f c d c

上式说明周期性函数f(c)在2π周期内的定积分相等,与β无关。

4)最后,证明g(x, y)=g(-x, y)。

根据式(10),有

x, y

r c o s θ, r s i n θ

∫ 0 2 π

c

g - x, y = g r c o s π - θ, r s i n π - θ = ∫ 0 2 π 1 4 π 2 σ m z 2 e x p - r 2 + d 2 - 2 r d c o s c + π - θ 2 σ m z 2 d c = ∫ 0 2 π f c + π d c

令t=c+2π,考虑到f(c)在2π周期内的定积分相等,有:

∫ 0 2 π

c + π

dc=

∫ π 3 π

t

dt=

∫ 0 2 π

c

∴g

x, y

- x, y

。

同理可证:g(x,y)=g(x,-y)。

由g(x,y)=g(x,-y)、g(x,y)=g(x,-y)可得:g(x,y)=g(-x,y)=g(-x,-y)。

证毕。

性质2 对于任意的x₁、y₁∈(-∞,+∞),x₂、y₂∈(-∞,+∞),如果满足

x 12

y 12

x 22

y 22

,有:g(x₁,y₁)=g(x₂,y₂)。

证明:令x₁=rcosθ、y₁=rsinθ,根据性质2所给条件,x₂、y₂可表示为:x₂=rcosθ₂、y₂=rsinθ₂。不失一般性,可设θ₂=θ+Δθ。

当

x 12

y 12

x 22

y 22

=0时,显然g(x₁,y₁)=g(x₂,y₂)。下面主要针对r>0的情况进行证明。

x 1, y 1

r c o s θ, r s i n θ

∫ 0 2 π

c

g x 2, y 2 = g r c o s θ 2, r s i n θ 2 = ∫ 0 2 π 1 4 π 2 σ m z 2 e x p - r 2 + d 2 - 2 r d c o s c - Δ θ - θ 2 σ m z 2 d c = ∫ 0 2 π f c - Δ θ d c

令t=c-Δθ,有:g(x₂,y₂)=

∫ 0 - Δ θ 2 π - Δ θ

f(t)dt。根据性质1证明过程中关于f(c)在2π周期内的定积分相等这个结论,有:

∫ 0 - Δ θ 2 π - Δ θ

f(t)dt=

∫ 0 2 π

f(c)dc。

因此,g(x₂,y₂)=

∫ 0 2 π

f(c)dc=g(x₁,y₁)。

证毕。

性质3 如果平面D满足以下条件:1)经过原点;2)垂直XOY平面。则:g(x, y)关于平面D对称。

设XOY平面任意两点关于平面D对称,则其中任意一点与原点的距离与其他点与原点的距离相等,根据性质2,它们的概率密度相等,即g(x, y)关于平面D对称。作为特例,g(x, y)关于平面y=x对称,这个结论在后文概率计算将用到。由此可见,性质1也是性质3的特例。

性质4 对于任意的r∈[0,+∞),θ₁、θ₂∈[0,2π],有:g(r,θ₁)=g(r,θ₂)。

可参考性质1的证明过程进行证明,不再赘述。

4 目标落入CND-CS-UC散布区的概率

根据性质1和性质4,CND-CS-UC散布区可用正方形或圆形区域表征,如图2所示。其中,在XOY坐标系下,三角形A、B关于直线y=x对称。不同应用场合,可选择适合于问题求解的区域形状来描述散布区。

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图2 CND-CS-UC散布区的典型形状

设正方形散布区半边长为L,目标落入正方形区域的概率P_s为

(15)P_s=

∫ - L L ∫ - L L

x, y

dxdy

将式(10)代入式(15),可得

(16)P_s=

∫ - L L ∫ - L L ∫ 0 2 π

x, y, c

dcdxdy

根据性质1,可将式(16)的变换如下:

(17)P_s=4

∫ 0 L ∫ 0 L ∫ 0 2 π

x, y, c

dcdxdy

上式数值积分计算量仅为式(16)的1/4。参考图2,三角形A、B关于直线y=x对称。根据性质3,目标落入A、B区域的概率相等。因此,可将式(17)进一步优化:

(18)P_s=8

∫ 0 L

∫ y L

∫ 0 2 π

x, y, c

上式的计算量仅为式(16)的1/8。

设圆形散布区半径为R,目标圆形区域的概率P_c为

(19)

P c = ∫ 0 R ∫ 0 2 π g r, θ d θ d r = ∫ 0 R ∫ 0 2 π ∫ 0 2 π r · k r c o s θ, r s i n θ, c d c d θ d r

根据性质4,对于任意的R∈[0,+∞),θ₁、θ₂、θ₃、θ₄∈[0,2π],当θ₂-θ₁=θ₄-θ₃时,有:

(20)

∫ R 0 ∫ θ 1 θ 2

r, θ

dθdr=

∫ R 0 ∫ θ 3 θ 4

r, θ

dθdr

根据式(20)所示结论,可将式(19)的积分计算量进一步减小,即

(21)P_c=n

∫ 0 R ∫ 0 2 π / n ∫ 0 2 π r · k r c o s θ, r s i n θ, c

dcdθdr

式中,n为正整数,可根据计算速度和精度折中选取。理论上讲,n越大,上式数值积分的计算量越小,约为式(19)的1/n。

5 实验分析

本文以卫星引导反舰导弹远程精确打击为例分析CND-CS-UC散布规律。假设:1)侦察卫星对目标定位均方差σ_mz=10km;2)目标机动航速v=30kn,机动时间t=40min;3)目标可能在任意方向机动。

5.1 直角坐标系下概率密度分布规律

根据实例描述,算得目标机动距离d=37.04km。采用Matlab进行数值计算,得到直角坐标系下的概率密度分布情况及等值线如图3、4所示。

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图3 直角坐标系下CND-CS-UC散布概率密度

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图4 CND-CS-UC散布概率密度等值线分布情况

分析图3、4,有:

1)概率密度最大值位于距离原点35.606km(d处附近)的环带“谷峰”上,该位置附近区域目标出现的可能性最大;随着d的增大,高概率密度所在的环带区向外扩散。

2)概率密度值关于过原点的任意垂面对称,等概率密度曲线呈同心圆分布。

上述图形特征与数值计算结果从侧面也验证了性质1-4是成立的。

5.2 极坐标系下概率密度分布规律

计算式(11)所示的极坐标系下CND-CS-UC(σ_mz,d)散布、式(13)所示的目标背离初始散布中心径向机动RD(σ_mz,d)散布和正态分布N(d,

σ m z 2

),结果如图5所示。

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图5 极坐标系下CND-CS-UC散布概率密度

令极坐标系下CND-CS-UC(σ_mz,d)散布概率密度最大值对应的极径为R_max,分析上图有:

1)CND-CS-UC(σ_mz,d)曲线与正态分布N(d,

σ m z 2

)曲线吻合度非常高。定义吻合度:p_wh=1-(R_max-d)/d。当d/σ_mz分别为3、3.704(本例)、6时,两条曲线吻合度为94.97%、96.56%、98.62%,说明:当d≥3σ_mz时,极坐标系下的CND-CS-UC(σ_mz,d)散布可用正态分布N(d,

σ m z 2

)近似;d/σ_mz越大,两者的吻合度越高。

2)RD(σ_mz,d)概率密度曲线CND-CS-UC(σ_mz,d)曲线有显著差异。一是区间概率差异明显:如RD(σ_mz,d)散布在[0,d]区间的概率为0,而CND-CS-UC(σ_mz,d)散布在此区间的概率接近0.5;二是高概率密度区域有较大差异:RD(σ_mz,d)散布概率密度最大值位于47.04km处,而CND-CS-UC(σ_mz,d)散布概率密度最大值R_max为38.32km。因此,用RD(σ_mz,d)去近似或代替CND-CS-UC(σ_mz,d)不合理。

5.3 散布区概率分布规律

主要考察目标落入以原点为中心点的正方形、圆形区域内的概率,计算结果如图6所示。

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图6 目标落入不同区域内的概率

分析图6走势与数值计算结果,有:7km以内、67km以外的区域目标出现的概率极低(分别约1‰),而在R_max(38.32km)左右30km区域内的概率高达99.73%以上。这说明应集中兵力兵器对60km的“环带”区域进行针对性搜索。中远程反舰导弹对此类大散布目标可以采取“圆周”机动搜索方式,重点覆盖“环带”高概率区域。推广到一般情况,有

1)当d≥3σ_mz时,目标落入[d-3σ_mz_, d+3σ_mz]圆形“环带”区域、正方形“框带”的概率分别介于99.79%~99.73%、99.95%~99.73%之间。d/σ_mz越大,区域概率越趋近于99.73%。这进一步说明了CND-CS-UC散布可用正态分布近似。

2)当d<3σ_mz时,目标落入[0,d+3σ_mz]正方形区域的概率介于99.73%~99.93%,d/σ_mz越大,区域概率越趋近99.93%;落入[0,(2d+R_max)/3+3σ_mz]圆形区域的概率介于99.73%~99.83%,d/σ_mz越大,区域概率越趋近99.83%。

3)对于不同σ_mz、d下的CND-CS-UC(σ_mz,d)散布,目标落入[0,d+3σ_mz]正方形或圆形区域的概率并不相同,以“d+3σ_mz”(本例计算得67.04km)估计最大散布范围缺乏统一的标准。根据正态分布“3σ”原则,不妨以目标落入概率99.73%作为CND-CS-UC最大散布范围的确定依据。根据本例数据解算得正方形、圆形区域下最大散布范围对应的半边长、半径分别为62.407km、65.905km。同理,利用文中构建的散布模型可以计算任意给定概率下的散布范围。

6 结束语

本文推导了初始位置服从正态圆分布、以确定速度和未知方向机动下的CND-CS-UC散布概率密度模型,研究了该散布的性质特征,得出以下结论:

1)直角坐标系下,CND-CS-UC(σ_mz,d)散布概率密度关于过原点的任意垂面对称,概率密度等值线呈同心圆分布。

2)极坐标系下,当d≥3σ_mz时,CND-CS-UC(σ_mz,d)散布的概率密度可用正态分布N(d,

σ m z 2

)近似,吻合度94.97%以上;d/σ_mz越大,两者的吻合度越高。中远程反舰导弹对大散布区内目标搜捕决策中可采用正态分布N(d,

σ m z 2

)简化末制导雷达最优搜索角计算复杂度,加快解算速度。

3)目标背离初始散布中心径向机动RD(σ_mz,d)散布^[14,22]与CND-CS-UC(σ_mz,d)散布有显著差别,应谨慎使用RD(σ_mz,d)散布去近似或代替CND-CS-UC(σ_mz,d)散布。

4)对于CND-CS-UC(σ_mz,d)散布,采用“d+3σ_mz”估计最大散布范围缺乏统一的概率标准,较为合理的方法是在给定可接受的最大概率下求解最大散布范围,而CND-CS-UC(σ_mz,d)模型能够支持任意概率下的散布范围求解。

5)进一步分析,CND-CS-UC(σ_mz,d)散布只关心目标机动矢量,与目标机动路径无关。对于不同机动路径,只要目标机动矢量对应的方向服从U(0,2π)、对应的机动距离相等且为确定性变量,CND-CS-UC(σ_mz,d)散布表达式完全一致。如图7所示的3条机动路径引起的散布是相同的。目标匀速直线机动仅是CND-CS-UC散布的一个特例。

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图7 目标机动路径示意图

6)对CND-CS-UC(σ_mz,d)散布模型稍加修改,也可描述目标以概略方向机动时的散布;利用CND-CS-UC(σ_mz,d)散布模型可通过覆盖区域积分较为准确的计算反舰导弹目标搜捕概率。

7)利用随机变量的互不相关性,基于条件概率密度方法可以建立不同初始位置散布、航向散布、速度散布组合情况下的复杂散布概率密度模型。该方法在构建多维随机变量概率密度模型方面十分有效。

CND-CS-UC散布模型不仅可用于反舰导弹目标搜捕决策领域,也可推广到航空搜潜、无人机对海搜索区域规划等领域。下一步将研究目标定位均方差σ_mz和目标机动距离d估算有误差的情况下,对CND-CS-UC(σ_mz,d)散布的影响程度。

References

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1 问题描述

图1 CND-CS-UC散布概念图

2 CND-CS-UC散布模型的建立

2.1 目标初始位置散布概率密度

2.2 CND-CS-UC散布概率密度模型

2.3 目标背离初始散布中心作径向机动散布概率密度

3 CND-CS-UC散布的性质特征

4 目标落入CND-CS-UC散布区的概率

图2 CND-CS-UC散布区的典型形状

5 实验分析

5.1 直角坐标系下概率密度分布规律

图3 直角坐标系下CND-CS-UC散布概率密度

图4 CND-CS-UC散布概率密度等值线分布情况

5.2 极坐标系下概率密度分布规律

图5 极坐标系下CND-CS-UC散布概率密度

5.3 散布区概率分布规律

图6 目标落入不同区域内的概率

6 结束语

图7 目标机动路径示意图

References