中国指挥与控制学会会刊 
机动目标跟踪是军事和民用领域的一个基本问题,可用于导弹的精确定位打击、卫星监控系统、防卫系统、海岸监视系统、核武器运载系统以及海上或空中交通管制等。
机动目标跟踪本质上是一个估计问题,在贝叶斯估计的框架内,线性高斯条件下可得到解析解,即基本的卡尔曼滤波方程。但实际系统大多不满足线性高斯条件,无法得到解析解。
无迹卡尔曼滤波(unscented Kalman filtering,简称UKF),又称无味卡尔曼滤波,是针对贝叶斯估计在非线性高斯条件下无法得到解析解的难题产生的一种次优的非线性系统滤波方法,与通常采用的局部线性化方法(扩展卡尔曼滤波,extended Kalman filtering,简称EKF)相比,计算量相当,但UKF不需要计算雅可比矩阵;能处理不可微的非线性函数;能对所有高斯输入向量的非线性函数进行近似[1],因此在非线性系统滤波问题中得到了广泛应用。与针对线性高斯系统滤波问题的基本卡尔曼滤波方法相比,UKF、EKF的计算量较大。
普通的UKF针对最一般的情况,即:描述机动目标及其观测的数学模型均为非线性,系统噪声和观测噪声均为非加性。但实际我们常常遇到下面一类情况:目标机动模型在直角坐标系下建立,且为线性模型;而雷达观测在极坐标系下,将状态量进行坐标变换使得观测方程成为非线性模型;噪声均为加性噪声。在上述特定情况下,将普通的UKF算法简化为一种特定的RBUKF(Rao-Blackwellised UKF)算法[2⇓-4],可以减少一些不必要的计算,提高运算速度,提高算法的效费比。
发散问题是理论上的滤波算法应用于实际系统所面临的一个瓶颈问题,解决得不好,滤波器会陷入“瘫痪”,因此,对上述RBUKF算法进行防发散改进,是增强算法实用性的重要手段。
1 机动目标及其观测模型
假设机动目标及其观测可用下述状态空间表达式描述:
X(k+1)=Φ(k+1,k)X(k)+Γ(k+1,k)W(k)
Z(k)=h[X(k)]+V(k)
这里,应用CT模型时,X(k)为4维状态向量,Z(k)为2维观测向量,h[X(k)]为非线性坐标变换函数,且h[X(k)]= ,W(k)和V(k)分别为系统噪声和观测噪声,二者均为零均值的高斯白噪声,互不相关,且均为加性噪声。Φ(k+1,k)、Γ(k+1,k)分别为状态转移矩阵和干扰转移矩阵。
2 防发散RBUKF(ARBUKF)算法
2.1 RBUKF算法
当系统噪声与观测噪声均为加性噪声,且状态方程为线性,观测方程为非线性时,修改最一般形式的UKF算法,得到相应的RBUKF算法为:
1) 初始化
(0)=E[X(0)]
P(0)=E{[X(0)- (0)][X(0)- (0)]T}
2) 时间更新
(k/k-1)=Φ(k,k-1) (k-1/k-1)
P(k/k-1)=Φ(k,k-1)P(k-1/k-1)Φ(k,k-1)T+Γ(k,k-1)Q(k-1)Γ(k,k-1)T
3) 采样2n+1个西格玛点
χi(k/k-1)={ (k/k-1) (k/k-1)+[]I (k/k-1)-[]i} (i=1,2,...,n)
采用比例采样策略,式中,λ=α2(n+κ)-n。
4) 测量更新
ζi(k/k-1)=h[χi(k/k-1)]
(k/k-1)= ζ i(k/k-1)
PZZ= [ζi(k/k-1)- (k/k-1)] [ζi(k/k-1)- k/k-1)]T+R(k)
其余步骤、公式与最一般形式的UKF算法完全相同,不赘述。
PXZ= [χi(k/k-1)- (k/k-1)] [ζi(k/k-1)- k/k-1)]T
K(k)=PXZ
(k/k)= (k/k-1)+K(k)[Z(k)- (k/k-1)]
P(k/k)=P(k/k-1)-K(k)PZZK(k)T
2.2 防发散改进
卡尔曼滤波算法的一个突出特点是若模型准确,滤波器在3-5个采样周期就能收敛;但若模型不准,滤波器很容易发散。因此,防发散是卡尔曼滤波器在实际应用中不可回避的问题。在基本卡尔曼滤波算法中,通常认为滤波器发散是模型误差不断积累,而观测值过早“老化”导致。防发散的主要思想是:当实际估计误差超过理论预测值的r倍以上(r≥1)时,认为滤波器发散,这时,通过修改算法减小模型递推的权重,相对增大观测值的权重。在各种防发散算法中,有一种实际不发散的新算法(亦称s(k)法),在检测到滤波器发散后,通过增大预测误差方差,迫使滤波器减小估计值对通过模型递推产生的预测数据的依赖,相应增大新的观测值对估计值的修正作用,该方法物理概念清楚[5],防发散效果好,可将其思想移植到上述RBUKF算法中,具体改进方法如下。
H(k)= |
ν(k)=Z(k)- (k/k-1)
ν(k)Tν(k)>r·trace[H(k)P(k/k-1)HT(k)+R(k)]时,认为滤波器发散,这时,式(6)变为
P(k/k-1)=s(k)·Φ(k,k-1)P(k-1/k-1)Φ(k,k-1)T+Γ(k,k-1)Q(k-1)Γ(k,k-1)T
s(k)= tr{[ν(k)νT(k)-H(k)Γ(k,k-1)Q(k-1) ΓT(k,k-1)HT(k)-R(k)]·[H(k)Φ(k,k-1) P(k-1/k-1)ΦT(k,k-1)HT(k)]-1}
式中,m为观测向量的维数。
3 仿真结果及分析
为了验证本文提出的AD-RBUKF算法的性能,将其与基本UKF、Sigma点粒子滤波(SPPF)进行比较。
仿真场景选取一种非线性运动轨迹——转圈运动[6]。假设初始位置为[300m,0m],初始速度为[300m/s,0m/s],初始切向加速度为a0=40m/s2,仿真时间80s。
AD-RBUKF算法中,r=2,S=1.5,其它参数选择如下:α=0.5,amax=80m/s2,采样周期T=1s。假设观测噪声为V(k)=[βx(k)+Δx0]w(k)。式中,β为相对误差系数,这里取β=0.01;Δx0为固定量测误差,这里取Δx=30m;w(k)是均值为零,方差为1的正态伪随机数。观测噪声方差为:R(k)=[βx(k)+Δx0]2。
采用CT模型,分别对各算法进行100次Monte Carlo仿真,UKF、SPPF和AD-RBUKF算法的位置RMSE仿真结果如表1 所示,平均计算时间如表2 所示。三种算法的x方向、y方向位置RMSE的仿真曲线分别如图1 、图2 所示。
由图1 、图2 和表1 、表2 可以看出,在模型为非线性的情况下,基本的UKF算法已经是一种次优解,实际估计误差超过理论预测值是常态,因此,当实际估计误差超过理论预测值的r(r≥1)倍以上时,通过修改算法减小模型递推的权重,相对增大观测值权重的方法,
能有效改善跟踪精度,且非线性程度越高,模型误差持续积累、观测值过早“老化”的问题越突出,防发散改进的效果越明显。r值太小,防发散检测过于敏感,修正过于频繁,会使滤波器出现不必要的震荡,导致滤波精度的改善受损;r值太大,防发散门限过宽,则不能有效发现和修正。针对本文设定的运动轨迹的跟踪问题,仿真结果表明,随着r值增大跟踪精度提升幅度先增大后减小,因此,本文取r=2。此时,
1) 在使用相同的CT模型时,相对于基本UKF算法,AD-RBUKF和SPPF算法的跟踪精度大幅提高。其中,AD-RBUKF算法x方向、y方向位置RMSE分别是基本UKF算法的6.37%、7.39%。
2) 相对于SPPF算法,AD-RBUKF算法提高了跟踪精度。AD-RBUKF算法x方向、y方向位置RMSE分别是SPPF算法的18.32%、22.40%。更令人关注的是,AD-RBUKF算法比SPPF算法的计算复杂度和计算时间大幅降低,其平均计算时间只有SPPF算法的1.11%。
4 结束语
本文提出的AD-RBUKF算法跟踪效果明显优于其它两种常用的非线性滤波方法。与基本的UKF算法相比,AD-RBUKF算法在计算时间基本相当的前提下跟踪精度显著提高;与SPPF算法相比,AD-RBUKF算法缩短计算时间的优势显著,在此前提下,跟踪精度还能有所提高。