Analysis of the Army Ammunition Kill Probability Model

GUO Zhi; LIU Si-yu; WANG Jun

doi:10.3969/j.issn.1673-3819.2021.01.001

Command Control and Simulation >

2021 , Vol. 43 >Issue 1: 1 - 3

DOI: https://doi.org/10.3969/j.issn.1673-3819.2021.01.001

Analysis of the Army Ammunition Kill Probability Model

GUO Zhi ,
LIU Si-yu ,
WANG Jun

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School of Automation,Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China

Received date: 2019-11-15

Online published: 2022-04-29

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Abstract

Taking the kill element(projectile or its effective fragments)as the research object, with clear physical concept and rigorous mathematical deduction, the current kill probability model of the kill element is classified into four categories, while the conditions and differences of each respective application are clarified; furthermore, the deficiency of the current national military standard in this respect, as well as the necessity of adoption logarithmic normal law in the evaluation of the army ammunition kill probability is also demonstrated.

Key words： ammunition damage probability; law of munition damage; lognormal distribution

Cite this article

GUO Zhi , LIU Si-yu , WANG Jun . Analysis of the Army Ammunition Kill Probability Model[J]. Command Control and Simulation, 2021 , 43(1) : 1 -3 . DOI: 10.3969/j.issn.1673-3819.2021.01.001

在射弹散布相同的条件下,一发弹药对一个特定位置上的特定目标的毁伤能力,完全取决于弹药的毁伤能力与目标的抗毁能力,而与弹药是导弹还是高炮的制导系统或火控系统无关。因而,可以用统一的理论来处理不论是火炮的弹药,还是导弹或是原子弹的毁伤概率。由于弹药与目标种类繁多,毁伤机理差异明显,因而,出现了很多的数学模型,其中,最常用的有0-1分布律^[1]、对数正态分布律^[2]等弹药毁伤律,前者多为小威力弹药所采用,后者多为大威力弹药所采用,理论上却不存在这一要求。由于我国高炮武器系统打击效能评定的国家军用标准^[3]已经定为0-1律,因而,如何将其扩充到弹炮结合武器系统射击的毁伤效能乃至更复杂多样的武器系统射击的毁伤效能评估,已是一个重要的课题。

1 毁伤元的毁伤概率定义

在独立射击过程中,若发射n个毁伤元,有m个目标被毁伤,且下述极限存在,即

(1)

l i m n → ∞ m n

=P_h=const

则定义P_h为该独立过程的毁伤概率。其物理含义是:当发射的毁伤元的个数趋于无限大时,毁伤目标数m与发射的毁伤元数n之比。

若将上述定义中的“毁伤事件”改作“命中事件”或“命中条件下的毁伤事件”,则可得到相应的“命中概率P”与“命中条件下的毁伤概率

P h 0

”的定义。显然,P仅与无控弹药的火控策略或制导弹药的制导策略所导致的射击误差有关,而

P h 0

却与毁伤元的毁致能力及目标的抗毁能力有关。P与

P h 0

两者是独立的,因而还有

(2)P_h=P·

P h 0

在独立射击过程中,发射一个毁伤元毁伤同一个目标的毁伤概率定义为该弹药的毁伤概率,记为P_d。

显然,P_d也可以分解为一个毁伤元的命中概率P'与该毁伤元命中条件下的对同一目标的毁伤概率

P d 0

。相对于独立射击过程的毁伤概率而言,这是一个条件毁伤概率,即P_h与P_d两者含义不同。前者的目标是多个,后者的目标是一个。现在的问题是:如何由P_h推导出P_d的表达式。为此,必须先明确一个重要事实:在一次射击过程中,目标可以被多次命中,因而有

(3)P=P'

然而,却不会有多次毁伤。一个目标一旦被毁伤,即使它可能被再毁伤,只能记录一次毁伤。此时,P_h与P_d的关系则需要分类讨论。若P₀=

P h 0

=0,则P_d=0。因而,只需讨论

P h 0

≠0的情形。

2 命中即毁伤条件下的毁伤元毁伤概率

此时

P h 0

=1,故有

(4)P_d=P=∫_x_∈_Sf(x)dx=1-∫_x_∉_Sf(x)dx

式中,f(x)是毁伤元的分布密度函数,S为目标迎弹面。

3 对具有二元抗毁性目标的毁伤元毁伤概率

这是

P h 0

≠1的一种情形。它的特点是,目标迎弹面S存在两类区域:一类区域S₁,毁伤元命中即毁,另一类区域S₂,命中亦不毁,且S₁与S₂的面积已知,但它们的分布情况未知,因而,当毁伤元命中目标时,可以认为落入S₁必毁的区域的概率为

(5)

$P d 0$ = $S 1 S 1 + S 2$ = $S 1 S$

而落入S₂必不毁的区域的概率1-

P d 0

等同于不命中的区域。因而,只要已知S₁与S₂即可由式(5)给出此条件下毁伤元的毁伤概率,而无须另行求得

P d 0

,通常将它与

P h 0

=1之情形合称为0-1毁伤律。从严格的意义上讲,此公式应是一个经验数据。

4 随毁随停射击体制下的毁伤元毁伤概率

这是

P h 0

≠1的又一种情形,它对应的是:在依时序对一个目标发射毁伤元时,一旦目标被毁即停止打击。若目标在命中毁伤元m个后被毁伤,此时的毁伤概率

P h 0

(1-

P h 0

)^m^-1是一个服从几何分布的随机变量。因而,毁伤一个目标的平均弹药消耗量为

(6)

∑ m = 1 ∞

P h 0

(1-

P h 0

)^m^-1=

1 P h 0

1 P d 0

其倒数即为一个命中的毁伤元毁伤一个目标的概率:

(7)

$P d 0$ = $P h 0$

及

(8)P_d=

P h 0

P h 0

∫_x_∈_Sf(x)dx

这种射击体制要求停射于目标毁伤瞬间,因而,不会出现无效的毁伤事件,是一种最节省弹药消耗的体制。然而,它不适用于无时序的齐射,以及毁而不停的连射。这种射击体制更多的是用于毁伤概率的可信性检测,这里不再深入讨论。

5 毁而不停射击体制下的毁伤元毁伤概率

这是

P h 0

≠1最普遍的情形。齐射隶属于此类。在独立射击过程中,发射n个毁伤元后,含无效毁伤的毁伤目标的数目m服从二项分布,即

(9)P_B(m|n,P_h)=

C n m

P h m

(1-P_h)ⁿ^-^m

其均值

m -

=nP_h。因而,一个毁伤元毁伤一个目标m次的均值为

(10)

m - n

P h n

因而有

(11)

P_B $m n | n, P h n$ = $C n m$ $P h n m 1 - P h n n - m = n → ∞$

1 m! P n m

e - P h

=P₀(m|P_h)

这表明,一个毁伤元毁伤一个目标的毁伤概率的密度函数不再是几何分布,而是一个泊松分布。即

(12)P_d~P₀(m|P_h)

由于m=0之项表示目标从未被毁伤,故有

(13)P_d=1-

e - P h

=1-

e - P P h 0

<P_h=P

P h 0

它常称为指数毁伤率,而

(14)

e - P h

e - P P h 0

=q_d

为相应体制下弹药的未毁概率。

若令

P=x~N[ $x -$ , $σ b 2$ ]

即命中点x服从均值为

x -

,方差为

σ b 2

的正态分布,则

(15)

P h 0

x~N[

P h 0 x -

P h 0 σ b 2

]

作变量置换

(16)w=

e P h 0 | x - x - |

则有

(17)f_ln(w)=

1 2 π P h 0 σ b | w |

exp

- 12 l n w P h 0 σ 2

是以w为变量的、用对数正态分布表达的命中而不毁事件的密度函数,将变量改回x,则有

(18)f_ln(x)=

e - | x - x - | P h 0

1 2 π σ b

exp

- 12 x - x - σ b 2

从而有

(19)P_d=1-∫_x_∈_Sβ(x-

x -

)f(x-

x -

)dx

是正态分布下的弹药毁伤概率。它常称为对数正态毁伤率,是指数毁伤率在正态分布下的一种形态。式中

(20)β(x-

x -

e - | x - x - | P h 0 P h 0

式(19)可看作毁伤元毁伤概率的通式。对前三种模型,β分别等于1,

S 1 S

P h 0

。

图1是f(x),f_ln(x)的示意图。

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图1 f(x),f_ln(x)示意图

很显然,f_ln(x-

x -

)覆盖迎弹面S的面积Ⅰ是命中而不毁的概率;f(x-

x -

)覆盖目标S的面积是命中概率;上两面积之差Ⅱ是命中且毁的概率;Ⅰ与Ⅱ之和与全概率之差则为未命中的概率。

6 结束语

综上所述,若毁伤元在迎弹面S_Z上的落点分布为

(21)Z=

x y

~N[

z -

σ b 2

]

且一枚弹药由L个毁伤元构成,则该枚弹药的毁伤概率

(22)H_L=1-

1 - ∫ z ∈ S z β (z - z -) f (z) d z L

本文在第二、三、四、五节分别介绍了四种射击毁伤模式。我国火炮武器系统的国军标中有关弹药毁伤概率的定义采用前两种模式,这显然限制了其使用范围,况且第三种形式还具有经验性,难以对其可信性的检测提供有说服力的方案。特别是,当应用第四种模式最为合理,而不得不用前三种模式时,将会引入新的误差。从式(13)可以看出,仅当P

P h 0

很小时,才可以由P

P h 0

代替P_d。这表明:对命中概率P很小的高炮,这种替代或可接受,但是不能用于大命中概率的导弹。这是现行国军标中关于高炮毁伤概率模型不能通用于导弹的一个主要原因。其实,放弃用迎弹面的“命中即毁”的面积来决定命中而毁的概率

P d 0

,而改用第四种,即对数正态分布,不仅算法的开销增加不多,而且在理论上更是完备的,况且相应的可信性的检测理论与方法更是成熟的。因而,将以对数正态律表达的毁伤概率模型纳入相应的国军标,是应该认真考虑的。

References

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[1]	潘承津. 武器系统射击效力[M]. 北京: 兵器工业出版社, 1994.

[2]	徐百顺. 点目标核毁伤概率数学计算方法讨论[C]// 第7届全国核电子与核探测技术学术年会论文, 1994:1048-1049.

[3]	中国人民解放军总参谋部炮兵装备技术研究所. GJBZ20499-98 高炮武器系统射击效力评定[S]. 北京, 1998.

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